動態平衡問題賞析

動態平衡一直是高考考查的重點、難點，并且以考查形式多樣、靈活多變而著稱，掌握其中規律對解題事半功倍．下面總結相關規律與大家共享．

方法３ 幾何方法

重力G 大小方向不變，所對應的線段大小方向均不變，對應的幾何圖形為一個圓中的一條弦，初始位置如圖５所示，支持力FN 水平，與重力垂直，此時拉力FT 作為圓的直徑有最大值．擋板順時針轉動時，此矢量三角形也順時針轉動，拉力FT 離開直徑位置，一定減小;當擋板轉動到圖６位置時拉力FT 水平，與重力垂直，支持力FN作為圓的直徑有最大值，之后開始變小，所以支持力FN先變大后變?。?/p>

點評

此種方法適合形象思維比較好的學生．本題作為河北高考單項選擇題壓軸題，思維含量較高．并且這種題型不止一次出現在高考題中，２０１７年全國卷也曾經出現過，要引起重視．

例２ （２０１７年全國卷）如圖７所示，柔軟輕繩ON 的一端O 固定，其中間某點M 拴一重物，用手拉住繩的另一端N ，初始時，OM 豎直且MN被拉直，OM 與MN 之間的夾角為α（α＞ π／２）．現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α 不變．在OM 由豎直被拉到水平的過程中（ ）．

A．MN 上的張力逐漸增大

B．MN 上的張力先增大后減小

C．OM 上的張力逐漸增大

D．OM 上的張力先增大后減小

解析

２０１７年這道高考題作為多選的壓軸題得分率很低，但研究方法與例１是相同的．

由例１的方法３可知重力的方向在豎直方向，兩個變力中只要有一個力方向變到水平方向，與重力垂直，另一個力就成為力的三角形的外接圓的直徑，就有最大值，所以對于兩個變力可以總結為一句口訣“你水平，我最大”．

例１中當FN在水平方向時，拉力FT 最大，所以初始時拉力FT 就有最大值，之后一定在減小;當拉力FT 在水平方向時，FN有最大值，故FN先增大后減小．

例２中當OM 在水平方向時，FMN 有最大值（如圖８），發生在最終位置，所以FMN 一直增大;當MN在水平方向時FOM 有最大值（如圖９），所FOM 先增大后減小．

應用上述結論的前提是，不變的力必須是重力，因為重力在豎直方向，才有當一個變力處于水平方向時，另一個變力處于最大值．當這個不變的力是其他方向時，這個口訣就變成：一個變力與此恒力垂直時另一個力有最大值．

應用拉密定理解題．重物的位置由圖７變為圖８時，角度變化如圖１０所示，G／sinα＝FOM／sinβ＝FMN／sinθ，α 不變，β 由銳角變為９０°再變為鈍角，所以FOM 先變大再變小;θ 由１８０°減小到９０°，所以FMN 變大，答案為A、D．

２ 延伸拓展

以上兩題為兩變力夾角為鈍角，當兩變力夾角為銳角和直角會出現什么情況呢？

２．１ 當兩變力夾角為銳角時

例３ 新疆是我國最大的產棉區，在新疆超出７０％的棉田都是通過機械自動化采收．自動采棉機能夠在采摘棉花的同時將棉花打包成圓柱形棉包，通過采棉機后側可以旋轉的支架平穩將其放下．放下棉包的過程可以簡化為如圖１１所示模型，質量為m 的棉包放在“V”形擋板上，兩板間夾角為１２０°固定不變，“V”形擋板可繞P 處水平軸在豎直平面內轉動．在使BP 板由水平位置緩慢轉動到豎直位置的過程中，忽略“V”形擋板對棉包的摩擦力，已知重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）

A．AP 板對棉包的支持力逐漸增大

B．AP 板對棉包的支持力先增大后減小

C．BP 板對棉包的支持力先逐漸減小，后為零

D．BP 板對棉包的支持力先減小后增大

解析

圖１２在轉動過程中，AP 板、BP 板對棉包的支持力FA 、FB 與擋板垂直，所以兩力之間的夾角保持不變，符合此模型．但AP 、BP 成鈍角，則FA 、FB 之間的夾角為銳角（６０°）（如圖１２），應用拉密定理，在APB 逆時針轉動到BP 到豎直位置過程中，G／sinα＝ FA／sinβ＝ FB／sinθ.

轉動過程α＝６０°不變，當AP 轉到水平位置時（逆時針轉動６０°），BP 就不會對棉包有作用力了，即β 由１８０°減小到１２０°，變不到９０°，所以FA 大小由０增大到G;θ 由１２０°增大到１８０°，所以BP 對棉包的支持力FB 大小由G 減小到０;繼續繞P 轉動（由６０°轉動到９０°），就只有AP 對棉包有支持力作用，支持力由G 開始減小，所以FA 先增大再減小，所以選項B、C正確．

用幾何方法解此題時，三力構成的矢量三角形如圖１３所示，在AP 板轉到水平位置過程中，FA 、FB 均不會在水平方向，所以此過程力的變化均是單調的，FA 逐漸由零變為豎直方向，所以在變大;FB 由豎直方向變為零，所以在變小．當AP 變為水平后，再繞P 轉動，BP 板不再有支持力，只有AP 板有支持力，隨著AP 與水平面間夾角變大，FA 變小，當AP 轉到豎直方向時，FA ＝０，所以FA 先變大（到AP 水平前）后變?。ˋP 由水平轉動到過程結束），所以選項B、C正確．

點評

解題時可直接采用幾何方法，觀察是否有變力可能出現在水平方向，如果有就用“你水平，我最大”;若沒有，說明力的變化是單調的，可直接找初態和末態力的變化趨勢，就可知力怎樣變了．相對來說用拉密定理更簡單一些，但也得注意實際變化的具體情況，萬不可只從數學角度得出結論．

２．２ 當兩變力夾角為直角時

例４ （２０２１年湖南卷）質量為M 的凹槽靜止在水平地面上，內壁為半圓柱面，截面如圖１４所示，A為半圓的最低點，B 為半圓水平直徑的端點，凹槽恰好與豎直面接觸，內有一質量為m 的小滑塊，用推力F 推動小滑塊由A 點向B點緩慢移動，力F 的方向始終沿圓弧切線方向，在此過程中所有摩擦力均可忽略，下列說法正確的是（ ）．

A．推力先增大后減小

B．凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C．墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D．水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

解析

幾何方法 物體在緩慢移動的過程中推力F（切線方向）與支持力FN（半徑方向）始終保持垂直，所以兩個變力F、FN均是單調變化的（如圖１５Ｇ甲），故選項A、B均錯誤，選項C、D不涉及本文的方法，不再分析，本題答案為選項C．

拉密定理 受力分析如圖１５Ｇ乙所示，由拉密定理有mg／sin９０°＝ F／sinβ＝ FN／sinθ．

在滑塊由A 到B 的過程中β 由１８０°逐漸減小到９０°，所以F 逐漸增大;θ 由９０°逐漸增大到１８０°，所以支持力FN 逐漸減?。?/p>

３ 小結

此類題型為兩變力方向變化，但兩力夾角不變．當兩力夾角為鈍角時，變化不是單調的，如果恒力為重力，可直接用結論“你水平，我最大”來解決，也可用拉密定理來解．兩變力夾角為銳角和直角時，力的變化是單調的，直接觀察轉動過程中初態與末態力的變化即可．

高考試題在推陳出新的同時，也保留了一些典型的傳統題目，這類傳統題目對促進學生核心素養的培養，對綜合能力和分析解決實際問題能力的提升，都起著很好的作用．

（完）