如何選擇最佳方案

用一次函數確定最佳方案問題的一般步驟是：（1）找到自變量，并確定自變量的取值范圍；（2）根據文字、表格、圖象等信息列出函數關系式，建立函數模型；（3）結合實際需求進行比較，確定方案；（4）回歸實際問題，寫出選擇的方案.

例1 某小區為了綠化環境，計劃分兩次購進A，B兩種樹苗，第一次購進A種樹苗[30]棵、B種樹苗[15]棵，共花費[1350]元；第二次購進A種樹苗[24]棵、B種樹苗[10]棵，共花費[1060]元. （兩次購進的A，B兩種樹苗各自的單價均不變.）（1）A，B兩種樹苗每棵價格分別是多少元？（2）若購買A，B兩種樹苗共[42]棵，總費用為[W]元，購買A種樹苗[t]棵，B種樹苗的數量不超過A種樹苗數量的[2]倍. 求[W]與[t]的函數關系式. 請設計出最省錢的購買方案，并求出此方案的總費用.

解析：（1）設A種樹苗每棵價格為[x]元，B種樹苗每棵價格為[y]元，

根據題意得[30x+15y=1350，24x+10y=1060，]解得[x=40，y=10.]

答：每棵A種樹苗的價格為[40]元，每棵[B]種樹苗的價格[為10]元.

（2）設A種樹苗的數量為[t]棵，則[B]種樹苗的數量為（[42-t]）棵.

[由題意可得 42-t≤2t]，解得[t≥14]. [W=40t+10]（42 - t） = 30t + 420.

[∵30gt;0]，[∴W]隨[t]的減小而減小，

[∴]當[t=14]時，[W有最小值]，[W最小值=30×14+420=840]（元）.

則購進A種樹苗[14]棵、B種樹苗[28]棵，費用最省，最省費用是[840]元.

例2 為了保護環境，某開發區綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號的污水處理設備共[10]臺. 已知用[90]萬元購買A型污水處理設備的臺數與用[75]萬元購買B型污水處理設備的臺數相同. 每臺設備價格及月處理污水量如下表所示. （1）求[m]的值；（2）由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設備的資金不超過[165]萬元，問有多少種購買方案，并求出每月最多處理污水量.

[污水處理設備 A型 B型 價格（萬元[/]臺） [m] [m-3] 月處理污水量（噸[/]臺） [220] [180] ]

解析：（1）由題意得[90m=75m-3]，解得[m=18].經檢驗：[m=18]是原分式方程的解.因為[m=18]符合題意，[所以m的值為18].

（2）設購買A型污水處理設備[x]臺，則購買B型污水處理設備（[10-x]）臺，

由題意得[18x] + （18 - 3）（10 - x） ≤ 165，解得[x≤5].

因為[x]是自然數，所以[x可取0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5].

設某種方案每月能處理的污水量為[W]噸，

則[W=220x+180]（10 - x） = 40x + 1800.

[∵40gt;0]，[∴W]隨[x]的增大而增大，

[∴]當[x=5]時，[W]有最大值，[W最大值=40×5+1800=2000]（噸）.

因此，在[6]種購買方案中，購買A型、B型污水處理設備各[5]臺時，月處理污水量最多，每月最多能處理污水量為[2000]噸.

例3 某學校計劃到甲、乙兩家體育用品專賣店購買一批新的體育用品，兩家店都有優惠活動.甲店：所有商品按原價的[8.5]折出售；乙店：一次購買商品總額不超過[300]元的按原價付費，超過[300]元的部分打[7]折. 設需要購買體育用品的原價總額為[x]元，去甲店購買實付[y甲]元，去乙店購買實付[y乙]元，其函數圖象如右圖所示. （1）分別求[y甲]，[y乙]關于[x]的函數解析式；（2）若兩個圖象交于點[A]，求點[A]的坐標；（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪家店購買體育用品更合算.

解析：（1）y甲 = 0.85x.

當0 ≤ x ≤ 300時，y乙 = x；當x gt; 300時，y乙 = 300 + （x - 300） × 0.7 = 0.7x + 90.

∴[y乙=x" " " " " " " " " " " " " ，0.7x+90" " " " " " " " " .]

（2）令0.85x = 0.7x + 90，解得x = 600. 將x = 600代入y甲 = 0.85x，得y甲 = 0.85 ×600 = 510，∴點A的坐標為（600，510）.

（3）由圖象可知：當x lt; 600時，去甲店購買體育用品更合算；當x = 600時，去兩店購買體育用品一樣合算；當x gt; 600時，去乙店購買體育用品更合算.

反思：通過比較兩個函數的函數值選擇最佳方案的具體方法一般有兩種. 一是利用圖象直接比較. 在同一平面直角坐標系中，當取相同的自變量時，上方的圖象對應的函數值大，交點處的函數值相等，下方的圖象對應的函數值小，據此確定最佳方案. 二是利用函數的性質找到最大值或最小值，從而確定最佳方案. 當問題中已知條件比較多時，可以借助圖表分析，使問題解決更加直觀、方便.

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）