特殊平行四邊形中動點最值問題

基本模型

模型1：兩點之間，線段最短.

條件：點A和點B是直線l同側兩個定點，點P是直線l上的動點.

問題：求PA + PB的最小值.

解題步驟：1.對稱，作兩點中任意一定點關于直線l的對稱點；2.連接，連接對稱點和另一定點，則與直線l的交點即為動點P的位置，如圖1，線段A'B的長度即為PA + PB的最小值.

證明：當點P在其他任意位置時（如P'位置），P'A + P'B = P'A' + P'B gt; PA + PB = PA' + PB = A'B.

依據：兩點之間線段最短.

模型2：垂線段最短.

條件：點A是直線l外一定點，點P是直線l上的動點.

問題：求AP的最小值.

解題步驟：如圖2，過點A作直線l的垂線，垂足所在的點的位置即為動點P的位置，此時線段AP的長度即為AP的最小值.

依據：垂線段最短.

變式應用

例1 如圖3，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P是對角線BD上一動點，求PE + PC的最小值.

解法1：取定點C或定點E關于直線BD的對稱點時，要充分注意到BD所在直線就是正方形的對稱軸，所以無論點C還是點E的對稱點一定還在正方形上，如圖4，因為PA = PC，所以點A就是點C關于直線BD的對稱點，PE + PC = PA + PE，根據“兩點之間線段最短”，當A，P，E共線時，如圖5，PE + PC = PA + PE = AE，即AE的長就是PE + PC的最小值.

根據邊長為2，點E為邊BC的中點，可得BE = 1，則AE = [AB2+BE2=22+12=5]，所以PE + PC的最小值是[5].

解法2：如圖6，取點E關于BD的對稱點E'（E'為邊AB的中點），CE'的長即為PE + PC的最小值. （請同學們將解題步驟補充完整.）

反思：在菱形和正方形中，對角線所在的直線是對稱軸.在尋找對稱點的時候，借用這個對稱軸，可以更簡便地解決問題.

例2 如圖7，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且AC = 6，BD = 8，點P是邊BC上一動點，且點P不與點B和點C重合，過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，連接EF，求EF的最小值.

解析：因為菱形的對角線AC⊥BD，PE⊥OB，PF⊥OC，所以四邊形OEPF是矩形. 連接OP，如圖8、圖9，根據矩形的對角線相等，得到EF = OP，求EF的最小值，也就是求OP的最小值.而點P是邊BC上一動點，點O是BC所在直線外一定點，根據垂線段最短可知，當OP⊥BC時，如圖10，OP的長度最小.

因為菱形的對角線AC = 6，BD = 8，所以OB = 4，OC = 3，可得菱形的邊長BC = [OB2+OC2=42+32=5].根據△OBC的面積 = [12OB×OC=12BC×OP]，可得OP = [OB×OCBC=3×45=2.4]，所以EF的最小值為2.4.

反思：矩形的對角線相等，菱形的四條邊相等，平行四邊形的對角線互相平分，等等，這些相等的線段為等量代換提供了條件.

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：8分鐘

在矩形ABCD中，AD = 4，∠ABD = 30°，點E是對角線BD上一動點（點E不與點B，D重合），則AE + [12]BE的最小值為 . （答案見第27頁）

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）

答案速遞

第33頁：6（提示：以BD為一邊，在AB的異側作∠PBD = ∠ABD = 30°，過點E作BP的垂線，垂足為點H，當AH⊥BP時，AE + [12]BE的值最小.）