點共線與幾何最值

求解幾何最值問題，主要以簡單幾何模型為依托，運用化歸思想，結合軸對稱、平移、旋轉三大變換（或其組合），化繁為簡，化折為直，化動為定，化分散為集中. 通常情況下，在有點共線時可以取最值.

一、三點共線時取最值

例1 如圖1，四邊形[ABCD]是矩形，[AB=10]，[AD=42]，點P是邊[AD]上一點（不與點A，D重合），連接[PB]，[PC]. 點M，N分別是[PB]，[PC]的中點，連接[MN]，[AM]，[DN]，點E在邊[AD]上，[ME][?][DN]，求[AM+ME]的最小值.

解析：由直角三角形斜邊上的中線的性質可得[AM=12BP]，[DN=12CP]. 通過證明四邊形[MNDE]是平行四邊形，可得[ME=DN]，則[AM+ME=AM+DN=12BP+CP]. 如圖2，作點C關于直線[AD]的對稱點Q，連接[PQ]，[BQ]，則[BP+CP=BP+PQ]. 當點B，P，Q三點共線時，[BP+PQ]的值最小，最小值為[BQ]. 在[Rt△BCQ]中，根據勾股定理可得[BQ=BC2+QC2=422+2102=62]，[所以][AM+ME]的最小值[=12BQ=32].

二、多點共線時取最值

例2 1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置.意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）：當[△ABC]的三個內角均小于[120°]時，如圖3，將[△APC]繞點C順時針旋轉[60°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，由[PC=P'C" ， ∠PCP'=60°]，可知[△PCP']為 ① 三角形，故[PP'=PC].又因為[P'A'=PA]，所以[PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B].由 ② 可知，當B，P，[P']，A'在同一條直線上時，[PA+PB+PC]取最小值，如圖4，最小值為[A'B]，此時的點P為該三角形的“費馬點”，且有[∠APC=∠BPC=∠APB=] ③ .當[△ABC]中有一個內角大于或等于[120°]時，“費馬點”為該三角形的某個頂點. 如圖5，若[∠BAC≥120°]，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點.

（2）如圖6，在[△ABC]中，三個內角均小于[120°]，且[AC=3]，[BC=4]，[∠ACB=30°]，已知點P為[△ABC]的“費馬點”，求[PA+PB+PC]的值.

（3）如圖7，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知[AC=4 km]，[BC=23 km]，[∠ACB=60°]. 現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/[km]、a元/[km]、[2a]元/[km]，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為 元. （結果用含a的式子表示）

解析：（1）①等邊；②兩點之間線段最短；③[120°]；④[A].

（2）根據（1）的方法將[△APC]繞點C順時針旋轉[60°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，如圖8，即可知當B，P，[P']，A'在同一條直線上時，[PA+PB+PC]取最小值，最小值為[A'B].

根據[∠ACB=30°]可證明[∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°]. 由旋轉性質可知[AC=A'C=3]，則[A'B=BC2+A'C2=42+32=5]，所以[PA+PB+PC]的最小值為[5].

（3）總的鋪設成本[=PA·a+PB·a+PC·2a=a（PA+PB+2PC）]，當[PA+PB+2PC]的值最小時，總的鋪設成本最低.

如圖9，將[△APC]繞點C順時針旋轉[90°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，[A'B]，得到等腰直角三角形[PP'C]，易得[PP'][=2PC]，則[PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'].顯然，當B，P，[P']，A[']在同一條直線上時，[P'A'+PB+PP']取最小值，即[PA+PB+2PC]的最小值為[A'B].

過點[A']作[A'H⊥BC]，垂足為[H]，易得[A'H=2 km]，HC = 2[3] km，則BH = [43 ]km，于是[A'B=A'H2+BH2=213]（km）， 即[PA+PB+2PC]的最小值為[213 km]. 故總的鋪設成本為2[13a]元.

（作者單位：山東省棗莊市臺兒莊區馬蘭屯鎮第二中學）