用分類討論思想解等腰三角形存在性問題

解決等腰三角形存在性問題時，同學們要抓住圖形固有的幾何特點，結合實際情況，運用分類討論思想（討論兩腰的歸屬），進行分析處理. 對下面這道以平面直角坐標系為依托的等腰三角形存在性問題，同學們就可以根據動點的坐標運用分類討論思想求解.

典例分析

例 如圖1，邊長為3的正方形ABCO在平面直角坐標系內，AO與y軸的正半軸重合，OC與x軸的正半軸重合，D是射線OB上的一個動點，連接AD，DC，直線DC與y軸交于點E，若△AED為等腰三角形，直接寫出點E的坐標.

解析：可以討論分別以A，E，D為等腰三角形的頂角頂點的三種情況.

（1）如圖2，當A為等腰三角形AED的頂角頂點時，AE = AD，則∠AED = ∠ADE. 由“三角形的外角等于不相鄰的兩個內角之和”可得∠OAD = 2∠AED. 由正方形的性質可得AO = CO，∠AOD = ∠COD，可證△AOD ≌ △COD（SAS），所以∠OAD = ∠OCD，則∠OCD = 2∠AED. 在Rt△EOC中，∠OCD + ∠AED = 90°，即3∠AED = 90°，則∠AED = 30°，所以EC = 2OC.

由正方形的邊長為3，可得EC = 2OC = 2 × 3 = 6.

由勾股定理可得OE = [EC2-OC2=33]，則點E的坐標為（0，[33]）.

（2）當A為等腰三角形AED的頂角頂點時，還有一種情況，如圖3，AE = AD，則∠AED = ∠ADE.

根據第（1）種情況可知，由△AOD ≌ △COD可得∠ADO = ∠CDO，則∠AED = 2∠ODC. 由∠AOB = 45°，∠AOB = ∠OED + ∠ODE，得3∠ODE = 45°，即∠ODE = 15°，所以∠OED = 30°，所以EC = 2OC = 2 × 3 = 6.

由勾股定理可得OE = [EC2-OC2=33]，則點E的坐標為（0，-[33]）.

（3）當E為等腰三角形AED的頂角頂點時，如圖4，EA = ED，則∠EAD = ∠EDA.

由“三角形的外角等于不相鄰的兩個內角之和”可得∠OED = 2∠EAD. 根據第（1）種情況可知，由△COD ≌ △AOD可得∠OCD = ∠OAD，即∠OED = 2∠OCD.

在△EOC中，∠OED + ∠OCD = 90°，即3∠OCD = 90°，則∠OCD = 30°，所以EC = 2OE.

設OE為x，則EC為2x，由勾股定理可得[OE2+OC2=EC2]，即[x2+32=]（2x）2，則x = [3]，所以點E的坐標為（0，[3]）.

（4）當D為等腰三角形AED的頂角頂點時，DA = DE，不存在這樣的等腰三角形.

綜上所述，點E的坐標為（0，[33]），（0，-[33]），（0，[3]）.

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：15分鐘

1. 如圖5，在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠B = 45°，AB = 6[2]，點F以每秒1個單位長度的速度由點A向點C勻速運動，到達點C即停止運動，G，H分別是AF，DF的中點，連接GH. 設點F運動的時間為t秒， CD = 8，若△FGH是等腰三角形，直接寫出t的值. （答案見第33頁）

難度系數：★★★★★ 解題時間：20分鐘

2. 如圖6，直線[y1=kx-2]和直線[y2=-3x+b]相交于點A（2，-1），B，C分別為兩條直線與y軸的交點. 在x軸上存在一點P，當△ABP是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標. （答案見第33頁）

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）