例析密度、壓強、浮力綜合計算

[原題呈現]

例 水平桌面上放著一個底面積為100 cm2的容器，倒入12 cm深的水。如圖1甲所示，用彈簧測力計掛著一個圓柱體從水面緩慢勻速浸入水中；根據測得的數據繪制出彈簧測力計示數F與圓柱體下表面距液面高度h的關系如圖1乙所示。（ρ水 = 1.0 × 103 kg/m3，g = 10 N/kg）求：

（1）圓柱體恰好浸沒時，圓柱體受到的浮力；

（2）圓柱體恰好浸沒時，容器底受到的水的壓強；

（3）圓柱體的密度。

[破解策略]

本題考查了阿基米德原理、液體壓強公式的應用，利用好稱重法并且能從圖象得出相關信息是解題的關鍵。

（1）由圖象可知，當h = 0 cm時，圓柱體處于空氣中，彈簧測力計示數F1 = 3 N，則圓柱體重力G = F1 = 3 N；當h = 5 cm后，彈簧測力計的示數F2 = 2 N且不變，說明此時圓柱體浸沒在水中，對圓柱體進行受力分析，其受到拉力和浮力的合力與其重力平衡，則圓柱體浸沒后受到的浮力F浮 = G - F2 = 3 N - 2 N = 1 N。

（2）圓柱體恰好浸沒時，根據阿基米德原理，由F浮 = G排 = ρ液gV排可得，圓柱體排開水的體積V排 = [F浮ρ水g]" = [1 N1.0×103 kg/m3×10 N/kg] = 10 - 4 m3 = 100 cm3，則水面升高的高度Δh = [V排S容] = [100" cm3100" cm2] = 1 cm，則此時水的深度h = h0 + Δh = 12 cm + 1 cm = 13 cm = 0.13 m（注意單位換算），容器底受到水的壓強p = ρ水gh = 1.0 × 103 kg∕m3 × 10 N/kg × 0.13 m = 1.3 × 103 Pa。

（3）圓柱體浸沒時，圓柱體的體積等于排開水的體積，即V = V排 = 100 cm3 = 1 × 10 - 4 m3。根據G = mg可得圓柱體的質量m = [Gg] = [3 N10 N/kg] = 0.3 kg，圓柱體的密度ρ = [mV] = [0.3 kg1×10-4m3] = 3 × 103 kg/m3。

[總結提升]

考點一：求解浮力大小

常見浮力的求解方法有四種，分別是：產生原因法（F浮 = F向上 - F向下）、示數差法（F浮 = G - F拉）、阿基米德原理法（F浮 = G排 = ρ液gV排）、受力分析法（結合受力情況，列出受力平衡關系式）。現將快速確定使用哪種方法的思路分析如下。

首先，如果題目中提到了物體在液體中的深度、物體的表面積（尤其是上、下表面積），那么優先用產生原因法，此時還要結合液體壓強和液體壓力公式。其次，如果題目中出現了彈簧測力計，或者有描述彈簧測力計示數變化的圖象（如上文例題），那么優先考慮示數差法（浮力實驗題大多使用該方法）。再次，阿基米德原理法可以說是所有浮力題中必考的方法，所以同學們需要將F浮 = G排 = ρ液gV排這個公式牢記于心，使用時尤其要注意書寫原始公式F浮 = G排，注意g的取值。最后，在題目中已知較少的情況下，應優先考慮受力分析法，一般這種情況常伴隨力與運動的分析，例如對漂浮、懸浮、沉底三種靜止狀態的分析和對上浮、下沉兩種動態情況的分析。在受力分析時，還要注意外力存在的情況，比如在水中按壓和受支持力的情況。

考點二：求解壓強大小

液體壓強的公式較為簡單，需要注意以下3點。

1. 公式p = ρ液gh中，ρ的單位要用kg/m3，h的單位要用m。h在公式中指深度而非高度，即從被測位置到自由液面（與大氣相連）的距離。

2. 形杯問題（敞口或縮口容器）中的液體壓強問題，即便給出了容器底面積，也不要用p = [FS]求解，這是因為容器側壁是傾斜的，容器底部受到的液體壓力F不是液體重力，真正的液體壓力是以容器底為底面積、液體高為高度的那一部分柱形液體的重力。

考點三：求解密度大小

求密度的題目往往不會直接給出物體的質量和體積，需要同學們根據浮力相關知識點進行求解。

對于質量，我們需要結合重力求解，根據公式G = mg計算出質量的大小。但題目中往往很少直接給出重力，一般是結合受力分析才能得到。比如，我們需要在物體漂浮或懸浮時對物體進行受力分析，重力與浮力二力平衡，根據浮力的求解，間接求出重力，從而計算出質量。

對于體積，它的求解方式更加依賴浮力。比如我們需要在物體浸沒時，找到對應的浮力，再根據F浮 = G排 = ρ液gV排這個公式間接求出V排。又因為物體處于浸沒狀態，所以此時V排 = V物。

若物體漂浮沒有完全浸沒，那么求解物體密度時還有一個小技巧：根據二力平衡F浮 = G物可推導出ρ液gV排 = ρ物gV物，即ρ液V排 = ρ物V物，可寫為[ρ物ρ液=V排V物]，即物體的密度與液體的密度之比等于物體浸沒在液體體積V排與物體體積V物之比。

[變式探究]

1. 將同一個長方體放入A、B兩種液體中，物體都漂浮，它在A、B兩種液體中露出液面的體積分別是它的體積的[12]和[13]，則A、B兩種液體的密度之比為（ ）。

A. 4∶3 B. 2∶3 C. 3∶2 D. 3∶4

2.如圖2所示，彈簧測力計下面掛一實心圓柱體，將圓柱體從盛有水的容器上方離水面某一高度處緩緩下降（其底面始終與水面平行），使其逐漸浸沒入水中某一深度處，如圖3是整個過程中彈簧測力計的示數F與圓柱體下降高度h變化關系的數據圖象。（容器厚度不計，g = 10 N/kg）求：

（1）圓柱體浸沒時受到的浮力。

（2）圓柱體的密度。

（3）不考慮水面上升，圓柱體在剛浸沒時下表面受到的水的壓強。

答案：1. A 2. （1）8 N" "（2）1.5 × 103 kg/m3 （3）400 Pa

（作者單位：沈陽市第一三四中學）