用不等式組制訂最優方案

在生活中，我們經常會遇到制訂最優方案的問題. 此時若結合不等式組相關知識，則可做出最優決策，最大程度地省錢或賺錢.

典例分析

例1 某校組織師生參加夏令營活動，現準備租用[A]，[B]兩種型號客車（每種型號的客車至少租用一輛）. [A]型客車每輛租金[500]元，[B]型客車每輛租金[600]元. 每輛A型客車坐滿后載客40人，每輛B型客車坐滿后載客55人. 若該校計劃租用[A]型和[B]型兩種客車共[10]輛，總租金不高于[5500]元，并將全校[420]人載至目的地. 該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

解析：設租用[A]型客車[m]輛，則租用[B]型客車（10 - m）輛，

由題意得[500m+60010-m≤5500，40m+5510-m≥420，]" 解得[5≤m≤263].

[∵m]取正整數，[∴][m的值可以為5]，[6]，[7]，[8]，[∴]共有[4]種租車方案.

設總租金為[w]元，則[w=500m+600（10-m）=-100m+6000].

[∵][-100lt;0]，[∴w]隨著[m]的增大而減小，[∴]當[m=8]時，[w]的值最小，為5200元，

[∴]租[8]輛[A]型客車、[2]輛[B]型客車最省錢.

例2 2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，成為許多創業者的首選. 甲經營了某種品牌小電器生意，購進1臺A種品牌小電器需要15元，購進1臺B種品牌小電器需要20元，銷售1臺A種品牌小電器獲利3元，銷售1臺B種品牌小電器獲利4元.

（1）甲用不少于2750元且不超過2850元的資金一次性購進A，B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍.

（2）在（1）的條件下，所購進的A，B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些，并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少.

解析：（1）設購進[A]種品牌小電器[a]臺，則購進B種品牌小電器（150 - a）臺.

由題意得[15a+20（150-a）≤2850，15a+20（150-a）≥2750，]解得[30≤a≤50]，

∴購進A種品牌小電器數量的取值范圍是[30≤a≤50].

（2）設獲利[w]元，由題意得[w=3a+4（150-a）=-a+600].

∵所購進的A，B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，

∴[-a+600≥565]，解得[a≤35]，∴[30≤a≤35].

[∵w]隨[a]的增大而減小，[∴]當[a=30]時獲利最大，[w]最大[=-30+600=570]（元）.

因此，甲合理的采購方案是購進[A]種品牌小電器30臺、[B]種品牌小電器120臺，最大利潤是570元.

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

1. 學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動. 到達農場后分組進行勞動，參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名. 勞動實踐結束后，學校在租車總費用2300元的限額內，租用客車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師. 現有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如表1所示. （1）租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車 "

輛；（2）學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？（答案見第33頁）

難度系數：★★★★★ 解題時間：20分鐘

2. 某市A，B兩個蔬菜基地得知C，D兩個災民安置點分別急需蔬菜240噸和" " "260噸的消息后，決定調運蔬菜支援災區，已知A蔬菜基地有蔬菜[200噸]，B蔬菜基地有蔬菜[300噸]，現將這些蔬菜全部調運至C，D兩個災區安置點，從A地運往C，D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B地運往C，D兩處的費用分別為每噸15元和18元. 設從B地運往C處的蔬菜為x噸. （1）請填寫表2，并求兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值；（2）設A，B兩個蔬菜基地的總運費為w元，求出w與x之間的函數關系式，并求總運費最小的調運方案. （答案見第33頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學）