周期復合結構上的彈性二次特征值問題的多尺度漸近分析方法

摘 要： 針對周期復合結構上的彈性二次特征值問題，本文提出了一種基于二階雙尺度（Second-Order Two-Scale， SOTS）方法的多尺度分析方法. 該方法考慮速度阻尼效應的二次特征值問題，給出了特征值、特征函數的二階漸近展開，以及特征值的誤差估計. 本文給出了方法的有限元實現，并通過近似值和參考解之間的定性和定量比較驗證了方法的有效性. 數值算例結果表明，特征值與特征函數中的二階校正項對于重構單胞內特征函數的局部信息發揮著重要作用.

關鍵詞： 周期復合結構； 二階雙尺度漸近分析； 二次特征值問題； 線性化

中圖分類號： O241. 82 文獻標志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 041006

1 引言

特征值問題在科學和工程中的許多領域有重要應用. 然而，在許多結構系統中，雖然線性特征值分析足以預測模態響應，但當考慮阻尼項時卻存在不足. 在系統振動分析中經常出現多項式特征值問題［1］，二次特征值問題是多項式特征值問題的一種特例. 與廣義特征值問題相比，這個問題不太常見，也不太容易被解決，而在大量應用中卻必段解決這個問題，特別是在結構力學、諧波系統、電路仿真及流體力學的動態分析中.

隨著先進材料和結構的快速發展，具有精細微觀結構的復合材料的性質成為一個備受關注的研究領域，其中就存在一些重要的數學和計算問題需要解決. 當前，傳統計算方法并不能以合理的計算開銷解決精細尺度下的高精度計算問題，且可能導致解的不一致穩定，特別是當我們考慮由非均質材料組成的結構時計算成本很高，因而通常使用材料的宏觀或均勻化信息來進行建模.

在Marchenko 等［2］提出多尺度漸近展開法之后，Ngnetseng［3］和Allaire［4］提出了雙尺度收斂方法，提供了一種獲得均勻化模型的方法. 此外，對于復合材料，Liu 等［5］指出，幾乎所有復合材料都具有多尺度特征. 為了更準確地預測復合材料的物理和力學性能，Cui 等［6］提出了一種考慮二階校正項的二階雙尺度（Second-Order Two-Scales，SOTS）方法. Cao 等［7］給出了多孔區域中具有混合邊界的橢圓特征值問題的二階漸近級數收斂性的嚴格證明. Ma 等［8］還將SOTS 方法擴展到坐標變換下具有周期性構型的復合材料的熱傳導問題.該方法的一些其他應用還有Steklov 彈性特征問題［9］以及擬周期孔洞結構的橢圓特征值問題［10］等.

本文將使用二階雙尺度漸近展開方法研究周期復合結構下彈性二次特征值問題. 我們首先進行雙尺度漸近分析，然后給出數值算例驗證了漸近模型的有效性.

除非特別指出，本文中均使用Einstein 求和約定.

2 周期復合結構下的彈性二次特征值問題

為簡單起見，我們考慮二維問題. 周期復合結構如圖1a 所示，記為Ωε，其代表單胞Q 由圖1b 所示，其關系表示為

設x 和y 分別為宏觀坐標和微觀坐標，相互關系用一個小參數ε表示為y= x/ε-?x/ε?，其中???代表向下取整運算.

考慮具有速度阻尼項的彈性二次特征值問題

假設Ωε =[ 0，1 ]2. 在圖2a 所示的二維周期復合結構Ωε 中，單胞結構域如圖2b，單胞由2 種材料組成，中心為半徑為0. 3 的圓，材料信息列在表1 中.

為了執行有限元計算并驗證SOTS 漸近算法的收斂性，表2 中給出了具有不同ε 的計算網格的信息. 可以清楚地看到，SOTS 計算的網格劃分數遠大于FE 精細計算的網格劃分數，并且由于其獨立于ε，漸近計算只執行1 次，大大節省了內存以及計算時間. 在經過一階單胞函數的有限元計算之后，我們可以根據等式（8）得到均勻化系數

ρ0 = 3.767，c0 = 0.354，

對于振動分析，只有前幾個最小的特征模是有意義的. 因此我們只計算前10 個特征值并在表3 中列出了ε = 1/8 時的特征值和相對誤差. 可以看出，均勻化和一階校正后的相對誤差結果之間相差不大，與精確的特征值之間差距較大，而通過二階校正后所得到的結果明顯好于一階，因而進行二階校正很有必要.

下面對特征函數進行分析，在圖3 中給出當ε = 1/8 時第1 個特征函數第2 個分量的實部Re （ uε2，1 ） 的估計，精細解如圖3a 所示，均勻化解如圖3b. 可以看出曲線是足夠光滑的，足以描繪精細解的宏觀行為，當增加一階（圖3c）或者二階校正項（圖3d）后，雖然都能夠捕捉精細解的局部振蕩行為，但是經過二階校正后的圖像明顯更加逼近精細解.

為了進一步證明特征函數漸近計算的效果，在圖4 中我們給出了當ε = 1/8 和ε = 1/16 時第6個特征值（單特征值）對應的特征函數的第2 個分量的虛部Im （ uε2，6 ） 在x1 = x2 軸上的比較. 從圖4b中可以看出，當ε 變小時，雖然特征函數的振蕩頻率變高了，但是從細節圖中仍然可以看出二階校正項在逼近精細解中發揮著重要作用.

6 結論

在本文中，我們應用二階多尺度漸近分析方法來解決周期復合域中的彈性二次特征值問題.通過對特征函數和特征值的漸近展開定義一階和二階單胞函數，并通過引入適當的輔助彈性函數，得到了特征值和特征函數校正器的非線性表達式. 接著我們建立了有限元，通過數值算例證明漸近模型的有效性. 本文得出結論：對于較小的ε，漸近模型的表現效果更好，而且添加二階校正對于捕捉特征函數局部微觀信息是有必要的.

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（責任編輯： 周興旺）

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