周期多孔區(qū)域壓電特征值問(wèn)題的多尺度漸近算法

摘 要： 針對(duì)周期多孔區(qū)域壓電特征值問(wèn)題，本文基于二階雙尺度（Second-Order Two-Scale，SOTS）分析方法提出了多尺度漸近有限元法. 該方法將壓電問(wèn)題的特征函數(shù)和特征值展開(kāi)為周期參數(shù)的二階級(jí)數(shù)，得到其均勻化特征值方程和均勻化系數(shù)，然后根據(jù)“校正方程”的思想計(jì)算了特征值的一階和二階校正. 本文對(duì)該方法進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)，并在二維多孔結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了驗(yàn)證. 結(jié)果表明，該方法能夠有效識(shí)別多孔區(qū)域的壓電特征值，而且通過(guò)將校正項(xiàng)添加到均勻化解中還可以再現(xiàn)位移和電勢(shì)的原始特征函數(shù).

關(guān)鍵詞： 壓電特征值問(wèn)題； 多孔材料； 多尺度漸近展開(kāi)方法； 二階漸近估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)： O241. 82 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 041005

1 引言

復(fù)合壓電材料將壓電陶瓷和非壓電聚合物結(jié)合起來(lái)［1］，充分利用每種材料最有利的特性，且可被制成多種結(jié)構(gòu). 壓電材料在電場(chǎng)中受力會(huì)產(chǎn)生形變和極化，而非壓電材料則對(duì)電彈性的性能產(chǎn)生影響. 國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者開(kāi)發(fā)了多種方法來(lái)描述這些復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的物理和力學(xué)行為［2-4］，其中最常見(jiàn)的是多尺度方法. Nguetseng［5］介紹了雙尺度收斂方法，Allaire［6］隨后開(kāi)發(fā)了該方法. Deng 等［7］研究了邊界層問(wèn)題，并用雙尺度有限元方法求解耦合壓電作用下周期結(jié)構(gòu)中復(fù)合材料的電勢(shì)和位移. Vanninathan［8］研究了多孔區(qū)域中當(dāng)周期變小時(shí)特征值和特征向量的收斂性. Cao 等［9］研究了多尺度方法在多孔域中的二階橢圓方程Dirichlet 問(wèn)題的譜性質(zhì)及其應(yīng)用. 研究表明，多尺度方法和均勻化可以獲得特征值問(wèn)題的特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的近似解.

本文使用多尺度方法［10-16］研究具有周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的多孔域中的壓電特征值問(wèn)題，旨在獲得特征值和對(duì)應(yīng)特征函數(shù)的一階及二階漸近展開(kāi)式.后文組織如下. 第2 節(jié)介紹周期復(fù)合域，并給出壓電特征值問(wèn)題. 第3 節(jié)導(dǎo)出特征值和特征函數(shù)的一階與二階漸近展開(kāi)式，并給出特征值的誤差估計(jì). 第4 節(jié)為方法的算法實(shí)現(xiàn). 第5 節(jié)考慮了1 個(gè)二維周期結(jié)構(gòu)上的實(shí)例. 第6 節(jié)為結(jié)論.

本文采用了Einstein 求和約定的慣例，粗體字母表示矩陣或向量函數(shù).

2 壓電特征值問(wèn)題

考慮如圖1 所示的二維平面結(jié)構(gòu)的周期多孔壓電結(jié)構(gòu)，區(qū)域Ωε 由許多周期排列的孔洞單胞Y *組成，其中單胞Y * （ y ）= Y - S，Y = [ 0，1]d且d表示維數(shù)，S 為孔洞. S 的邊界為ω，Y 的邊界為?Y，那么單胞Y * 的邊界?Y * 可表示為?Y * =ω ∪ ?Y，從而整個(gè)區(qū)域Ωε 可以表示成

其中Ω 是簡(jiǎn)單的連通區(qū)域，I 為指標(biāo)集，

I = { z ∈ Zd |ε （Y * + z ）? Ω ? Ωε }.

整個(gè)多孔區(qū)域的邊界?Ωε 可表示為

表1 分別列出了ε = 1/8 和ε = 1/16 時(shí)的網(wǎng)格信息以及SOTS 方法下的單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格. 很明顯，在宏觀網(wǎng)格下進(jìn)行有限元計(jì)算所需的網(wǎng)格的大小比單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格的大小要小得多. 因此，進(jìn)行有限元計(jì)算的時(shí)間和空間將大大增加. 使用SOTS 有限元方法，單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格的單元數(shù)與結(jié)點(diǎn)數(shù)保持不變，當(dāng)周期ε = 1/16時(shí)單胞個(gè)數(shù)增多，SOTS 有限元法更具計(jì)算優(yōu)勢(shì).表2 給出了前10 個(gè)特征值及其估計(jì)值和對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差. 從表中可以看到，均勻化特征值都比參考特征值要大，但都幾乎接近參考值. 當(dāng)加入一階和二階校正后，其相對(duì)誤差都小了很多，并且二階校正的相對(duì)誤差更小得多，這說(shuō)明SOTS 方法可以提供比均勻化特征值更好的近似值.

圖4 和圖5 展示了ε = 1/8 時(shí)第1 個(gè)特征值的特征函數(shù)，包括位移和電勢(shì). 圖4b 的圖像顯示均勻化函數(shù)在區(qū)域上呈平滑線型，說(shuō)明添加一階和二階的校正可以很好地捕捉到區(qū)域內(nèi)的振蕩. 此外，圖4d 中的二階解明顯近似于圖4a 中的精細(xì)解. 圖5 所示的電勢(shì)函數(shù)也觀察到類(lèi)似的結(jié)果. 由于電勢(shì)的數(shù)值巨大，電勢(shì)的FOTS 和SOTS 漸進(jìn)解有顯著差異，盡管它們看起來(lái)幾乎相同. 因此，我們認(rèn)為二階校正器對(duì)于精確反映兩個(gè)物理場(chǎng)的局部振蕩行為是不可或缺的.

圖6 給出了ε = 1/16 時(shí)的第1 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的有限元參考解和SOTS 漸進(jìn)解的圖像. 隨著周期ε 的減少，SOTS 解更接近于均勻化解，每個(gè)周期內(nèi)的振蕩幅度也變得更小. 更明顯的是，SOTS 解和參考計(jì)算之間也更加接近.

6 結(jié)論

本文提出了二階雙尺度漸近方法用于預(yù)測(cè)多孔區(qū)域中的壓電特征值模態(tài)問(wèn)題，獲得了位移和電勢(shì)函數(shù)的漸近表達(dá)式. 通過(guò)求解一階和二階單胞問(wèn)題，本文得到了均勻化材料系數(shù). 根據(jù)“校正方程”的思想，本文得到了特征值的一階和二階修正. 本文設(shè)計(jì)了相應(yīng)算法，并對(duì)具有二維周期多孔的典型復(fù)合材料進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算. 結(jié)果表明，本方法在模擬周期配置下的彈性位移和電勢(shì)方面非常有效，且漸近均勻化有限元算法對(duì)于計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間有限的復(fù)雜壓電問(wèn)題具有很強(qiáng)的靈活性.

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（責(zé)任編輯： 周興旺）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（11801387，11971336，11971337）； 四川省自然科學(xué)基金（2022NSFSC0322）； 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金（YJ201811）