探討一類函數的性質及其應用

摘 要：首先討論了初等函數在處的連續性和可微性，給出了定理1和定理2及其證明。其次討論了函數在無窮遠處的性質，給出定理3函數在上一致連續的充要條件，并在此基礎上給出一個推論和兩個性質。最后利用這些性質，探討函數在不同領域的一些應用，給出相應三個定理并加以證明。其中包括函數一致連續性充分條件的討論、函數在一點處四個Dini導數的任意性，以及函數在拓撲學中的一個應用。

關鍵詞：三角函數 冪函數 初等函數 一致連續

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A

中圖分類號：G64

On the Properties of a Class of Functions and Their Applications

FAN Wenqing

MinJiang Teachers College， Fuzhou， Fujian Province， 350108 China

Abstract：The paper begins with a discussion of the continuity and differentiability of elementary functions at ，giving Theorems 1 and 2 and their proofs. Next， the properties of functions at infinity are discussed， and Theorem 3 is given as a necessary and sufficient condition for their uniform continuity on ， based on which a corollary and two properties are given. Finally， these properties are used to explore some applications of the functions in different fields， giving the corresponding three theorems and their proofs. These include a discussion of sufficient conditions for uniform continuity， the arbitrariness of the four Dini numbers of a function at a point， and an application of function to topology.

Key Words： Trigonometric functions; Power functions; Elementary functions; Uniform continuity

初等函數是各類學科中最常用的函數族、冪函數和三角函數都是初等函數。常常使用冪函數復合三角函數，即在自變量上先作用三角函數再作用冪函數[]。而三角函數復合冪函數也有許多有趣的性質，本文研究形如的初等函數，并探討它們在處以及在無窮遠處的性質，最后給出這類函數的一些應用。

記，則在上有。

1 函數在處的性質

定理1 函數在上有定義且連續。補充定義

則在處有定義當且僅當或。

證明：冪函數和在上有定義，故在上連續。

（1）時，

極限存在當且僅當。

（2）時，，極限存在當且僅當。

（3）時， ①若，則；

②若，則取，得到，

取，得到，此時在處無定義。

綜上所述，在處有定義當且僅當或。證畢。

定理2 時，函數在與上有定義。此時若 在處也有定義，則（函數在上連續）。

其中時；時，。

證明：時，冪函數和在與上有定義。

容易發現在處有定義時，，

故在處連續，。

（1）若，則可以展開成具有收斂半徑的冪級數

故在上光滑；

（2）若，則，在上光滑。

（3）時，下面對非負整數使用數學歸納法證明：

①當時，具有階導函數，，其中和為實系數多項

式，它們的最低次項次數的較小者為。

②當時，結論成立。

假設結論對成立，對于，

記， 。

注意到若的最低次項次數較小，則由于，的最低次項在中，次數為，的最低次項次數不小于。的最低次項次數較小時，同理可以證明的最低次項次數為，的最低次項次數不小于。

由可知，和為實系數多項式，且。

又有連續可知在處可導，。

故結論對于成立。

用數學歸納法，結論對均成立。

故。

而時，和之中出現了次數為的項，而。

類似于定理1，有，故。證畢。

2 函數在無窮遠處的性質

定理3 函數在上一致連續當且僅當或。

證明：分類討論

（1）時，，故在上一致連續。

（2），，時，

故在上有界，一致連續。

（3），，時，此時，

故在上有界，一致連續。

（4），，時，類似（2） ，此時 ，不一致連續。

（5），，時，取數使得、、，

取，則，

對充分大的，有。

此時對于，有。

由微分中值定理。

故此時不一致連續。

推論 時，函數在上一致連續，當且僅當。

證明：由定理1，定理3可知：

從這個推論可以看出即使，函數在上的“波動”依然很大，除去一些平凡的情況，會在0處或無窮處產生“震蕩”。

性質1 無窮積分收斂當且僅當。

證明：時，。

由狄利克雷判別法[] 使無窮積分收斂，

而時，無窮積分不收斂。

（1）時，，積分收斂當且僅當。

（2）時， ，

積分收斂當且僅當。證畢。

在，或，時，在的無窮積分有非平凡的計算公式。性質2 。

證明：以復平面中原點為圓心，為半徑的圓上取兩點、，考慮以這兩點為端點的扇形圍道[]。

由Cauchy積分定理可知：，其中為兩點、之間的圓弧。注意到：

，（Gauss積分）

得到，取虛部得到。

3 探討函數的一些應用

首先給出函數的一個簡單但十分重要的應用[]：

定理4 存在上的有界連續函數，它不一致連續。

證明：取，，。

此時由定理2可知，

由定理3可知不一致連續，證畢。

我們定義函數的四個Dini導數如下：

由定義可以看出：在處的左導數存在當且僅當與相等且為有限數，在處的上導數存在當且僅當與相等且為有限數，在處可導時，四個Dini導數均等于。

在一般情況下，這四個數不會相等。事實上，即使在附近連續，這四個數可以取到任意的值，有以下結論：

定理5 對任意的實數，，存在使其在0處的四個Dini導數分別為，，，。

證明：取 ，由定理1可知。

連通性是拓撲學中的重要概念，雖然在大多數情況下連通是一個直觀的概念，但是對于一些復雜的圖形連通性卻很復雜。稱一個拓撲空間是連通的，是指不能表示成兩個不交開集的并；稱一個拓撲空間是道路連通的，是指中任意兩點，存在一條從到的道路，即存在連續映射使得[]。若拓撲空間道路連通則拓撲空間連通 []。本文的最后，給出函數在拓撲學中的一個應用。

定理6 存在連通但不道路連通的集合。

證明：考慮歐氏平面的子集。

為上連續函數的像集，由連通可知連通，從而的閉包也連通。

注意到，下面我們證明不道路連通。

假設存在一條從到的道路，

考慮有界閉集的最大數，當然且對于有。此時由連續性可知存在一列遞減的數滿足的橫坐標為，故。數列發散，但是收斂，矛盾。

綜上所述連通但不道路連通。

4 結語

總之，本文研究了初等函數在和無窮遠處的性質。在這基礎上，探討了該函數在不同領域方面的應用，表明由冪函數與三角函數復合而成的初等函數有許多可研究的性質，通過研究該類函數的性質，還可探討其在不同領域上的更多應用，說明研究這類函數是很有價值意義的。