探討線性方程組求解問題

摘要：對于線性方程組，只有在方程的個數等于未知量的個數，系數行列式不等于零的情況下，才可以使用克萊姆法則求得，也可以使用逆矩陣法求得。而對于一般的線性方程組，如何判定它是否有解、解是否唯一，以及在解不唯一的情況下，又該如何求出它的解。這個問題的解決，對理論和實際都具有十分重要的意義。以下以矩陣為工具，探求一般線性方程組解的情況和解的問題。

關鍵詞：線性方程組 系數矩陣 基礎解析 通解

中圖分類號：G642

Exploring the Problem of Solving Systems of Linear Equations

LIN Qinghua

Minjiang Normal College of Higher Education Fuzhou， Fujian Proivince 350000， China

Abstract： A system of linear equations can be solved by using Clem's rule only if the number of equations is equal to the number of unknowns and the determinant of the coefficients is not equal to zero， and it can also be solved by using the inverse matrix method. And for a general system of linear EMnbu06w7nuS6AeKDjKMJg==equations， how to determine whether it has a solution， whether the solution is unique， and how to find its solution if the solution is not unique. The solution of this problem is of great importance for both theory and practice. In the following， we use matrices as a tool to explore the case and solution of a general system of linear equations with solutions.

Key Words： System of linear equations; Coefficient matrices; Augmentation matrices; Basic solution system; Generalized solution

線性方程組是線性代數的主要內容之一，它的理論和實際應用都非常重要，同時在線性方程組中，線性方程解的情況和怎樣解的問題也是非常重要的[1]。

1 利用克萊姆法則和逆矩陣求解線性方程組

1.1用克萊姆法則求解線性方程組

對于個未知量個方程的線性方程組：

它的系數構成的行列式：

行列式稱為線性方程組（1）的系數行列式。

當系數行列式 在方程組（1）中不等于零時，方程組（1）有唯一的解。

其中 （j=1，2，…，n）是系數行列式 中第 列元素用方程組的常數項替換。

當≠0時，有且僅有唯一解為[2]

很明顯，對于線性方程組的導出組（又稱方程組（1）所對應的齊次線性方程組）

可以表示為

當系數行列式 ≠ 0 時，方程組（2）只有零解。

可以證明，=0方程組（2）有非零解。

1.2逆矩陣解線性方程組

線性方程組（1）可以寫成矩陣方程，其中

若可逆，則，因此通過求就可以求出，即該線性方程組的解。

實際上，利用逆矩陣解線性方程組時，一般都是采用初等行變換直接求出結果。

求的方法：若可逆，可以構造分塊矩陣，對其做初等行變換，當左邊的子塊變成時，右邊的子塊就變成了，則線性方程組的解就為。

2 以矩陣為工具，用高斯消元方法解線性方程組

在解線性方程組時，使用克萊姆法則或逆矩陣法求解是有條件的，只有方程的個數等于未知量個數，

且系數行列式不是零，滿足這兩個條件，才可以使用[3]。對于一般線性方程組的解的情況及求解問題，

下面將進行論述。

對于一般的線性方程組（也就是 個未知數、個方程）來說，

系數矩陣

n元未知量矩陣

增廣矩陣

常數項矩陣

線性方程組（3）可寫成矩陣方程

2.1 線性方程組（3）的解的判定

定理：元線性方程組有解，且當時，方程組有唯一解；

當時，方程組有無窮多解。

由此可知：當，線性方程組（3）無解。

2.2 高斯消元法解一般線性方程的組

線性方程組（3）可采用高斯消元法進行求解，其步驟如下：

其中，當時無解；當時繼續回代求出唯一解，

若為階方陣時，也可考慮使用克萊姆法則或逆矩陣求出唯一解；當時，

簡化為階梯形矩陣，首非零元所在列對應非自由變量（基本元），其余的為自由變量，

用自由變量將非自由變量表示出來，就得到方程的一般解。

例1：解方程組

解：

與原方程組同解的方程組為

即

其中為自由未知量。

于是得方程組的一般解為

，

其中是任意常數。

2.3 齊次方程組解的判定及解法

線性方程組（3）即所對應的齊次線性方程組為。則至少有一個零解。

定理：元齊次線性方程組有非零解。

方程組方程組只有零解。

若，則方程組必有非零解。

若，則方程組有非零解。

例2： 解其次線性方程組

解：

對應的方程組為

于是得方程組的一般解為

令，得方程組的通解為

3 借助矩陣，建立向量空間，求解線性方程組

線性方程組（3）的向量表示為：

其中，

線性方程組（3）所對應的齊次線性方程組的向量表示為：，

上面已探討過它們解的判定，接下來探討在向量空間中一般線性方程組的解法。

3.1齊次線性方程組的基及其通解

求齊次線性方程組 的所有解，只需找到解空間的一組基（即基本解系）即可求得[4]。

若是齊次線性方程組的任意一組基，則該齊次線性方程組的全部解為

其中，是任意常數。

因此，求齊次線性方程組的解的一般步驟[5]：（1）利用初等行變，將系數矩陣A化成行簡化階梯形矩陣；（2）寫出齊次線性方程組的一般解（3）求一組基（4）求齊次線性方程組的通解。

例3：

即方程組有無窮多解，其基礎解系中有3個線性無關的解向量，令

代入依次得

所以原方程組的一個基礎解系為

故原方程組的通解為，其中為任意常數。

3.2 非齊次線性方程組的解

定理：如果是非齊次線性方程組（3）的一個解，是其導出組的一個基礎解系，則是其導出組的全部解接。非齊次線性方程組（3）的全部接可表示為，其中是任意常數。

稱為非齊次線性方程組（3）的一個特解。

該定理表明：非齊次線性方程組的一個特解加上相應的齊次線性方程組的通解即為該非齊次

線性方程組的通解[6]。

例4：求非齊次線性方程組 的一般解。

解：

由R （A）=R （），知方程有解。又R （A）=2，n-r=3，所以方程組由無窮多解。

且原方程組等價于方程組

以下求基礎解析和特解

令自由量

帶入導出組的同解方程中

導出組的基礎解析為

令自由未知量帶入原方程組同解方程中

得到方程組的特解

則方程組的一般解為

其中c1、c2、c3為任意常數。

4 結語

本文探討了線性方程組的解的判定及線性方程組的解法。對于一般的線性方程組，線性方程組解的情況可以用增廣矩陣的秩、系數矩陣的秩和未知元個數 的關系來判定。特別地，對一般線性方程組的導出組，可以根據系數矩陣的秩與未知元個數 之間的關系，進行判斷。求解線性方程組，可以根據“高斯消元法”的步驟進行求解，也可以在向量空間中，通過先求出的導出組的基礎解系，然后依據相關定理求出的通解。特別地，對于線性方程組A 為n階方陣且時，克萊姆法和逆矩陣求解線性方程組的方法也可以考慮使用。

參考文獻

[1] 吳金元.方程組與不等式在應用題中的應用[J].數理化學習（初中版）， 2023（2）：6-8.

[2] 王麗莎，陳媛，徐運閣.線性代數中的線性方程組方法[J].高等數學研究，2024，27（1）：62-65，84.

[3] 林麗芳，曾月迪，陳梅香.“線性代數”課程思政元素的挖掘：線性方程組與高斯消元法為例[J].科學咨詢，2023（9）：71-73.

[4] 周楚祥.基于數值優化算法的太陽能電池參數提取研究[D]. 南京：南京郵電大學， 2023.

[5] 于鑫鵬.矩陣逆的逼近及其在線性方程組預處理技術中的應用[D].大連：大連理工大學，2020.

[6] 夏遠梅.關于利用初等變換法求解線性方程組的教學研究與探討[J].數理化解題研究，2021（21）：10-11.

構成的行列式：替換。，其中時無解；當時繼續回代求出唯一解，為階方陣時，也可考慮使用克萊姆法則或逆矩陣求出唯一解；當時，簡化為階梯形矩陣，首非零元所在列對應非自由變量（基本元），其余的為自由變量，的解的一般步驟[5]：（1）利用初等行變，將系數矩陣A化成行簡化階梯形矩陣；（2）寫出齊次線性方程組的一般解（3）求一組基（4）求齊次線性方程組的通解。，線性方程組解的情況可以用增廣矩陣的秩、系數矩陣的秩時，克萊姆法和逆矩陣求解線性方程組的方法也可以考慮使用。