由一道關于絕對值的題目想到的

前幾天的數學課上，我遇到了一道有趣的題目：

[x-2]+[x+2]的值最小時，x是多少？

經分析，我們可以發現，數軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，如圖1。

那么，當x＞2時，[x-2]+[x+2]就是x到2的距離的兩倍加[2-（-2）]；當x＜-2時，[x-2]+[x+2]就是x到-2的距離的兩倍加[2-（-2）]；當-2≤x≤2時，[x-2]+[x+2]就是[2-（-2）]，即4。

顯然，當原式的值最小時，-2≤x≤2，即x在加上的數與其相反數之間取值！

那么，再添加一項呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]的值最小時，x是多少？

同理，數軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，[x-12]就是x到12的距離。如圖2，

最終得出，原式值最小時，x為2，即x取數軸上三個數中位置居中的那個數。

那么，再添加一項呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]+[x+11]的

值最小時，x是多少？

同理，數軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，[x-12]就是x到12的距離，[x+11]就是x到-11的距離，如圖3。

最終得出，原式值最小時，-2≤x≤2。

經過多次嘗試，我發現：

求題目中代數式的最小值，當含有絕對值的項數為奇數時，在數軸上，x取數值居中的數；項數為偶數時，x在數值居中的兩個數之間取值。

但怎么證明呢？我想到了絕對值不等式。

我們知道，x2-2[x][ y]+y2≤x2+2xy+y2≤x2+2[x][ y]+y2，即（[x]-[y]）2≤（x+y）2≤（|x|+|y|）2，即[x]+[y]≥[x+y]≥[x-y]，這就是絕對值不等式，當xy≥0時左邊取等，當xy≤0時右邊取等。

對于代數式[x+a]+[x-b]+[x-c]（-a≤0≤b≤c），因為[x+a]+[x-b]+[x-c]=

[x+a]+[x-b]+[c-x]≥[（x+a）+（c-x）]

+[x-b]=[a+c]+[x-b]。因為[a+c]是一個常數，若要原代數式取最小值，[x-b]得最小，所以x=b，即在數軸上，x取三個數中數值居中的那個數。

對于代數式[x+c]+[x-d]+[x-b]+

[x+a]（-a≤-c≤0≤d≤b），因為[x+c]+

[x-d]+[x-b]+[x+a]=[x+c]+[d-x]+[b-x]+[x+a]≥[（x+c）+（b-x）]+[（d-x）+（x+a）]=[b+c]+[d+a]。若要原代數式取最小值，得滿足（x+c）（b-x）≥0且（x+a）（d-x）≥0，因為-a≤-c≤0≤d≤b，所以通過數形結合，在數軸上，x得在-c與d之間，即-c≤x≤d，x在數值居中的兩個數之間取值。

同理，其他項數的代數式都可以用這個方法證明。小伙伴們，你還有其他方法嗎？

教師點評

鄧橡逸格同學有一種挖地三尺挖出“病根”的精神，能以不同的方法實施一題多解、訂正、一題多變，題從何來，該題的優點、解法到注意點，小鄧都可以娓娓道來，給我留下了深刻印象。這里，小鄧用我提出的從“題根”（定理與公式）去拓展、探究、發現。該文切口很小，但觀察的視角很新，文中的“驚訝”“有趣”“嘗試”“證明”，無不說明作者對數學學習的自主性和趣味性。每個結論的得出，說明他在好奇心驅動下，不斷體驗著學習的成就感。這是創造式數學最有價值的學習方式，值得同學們借鑒。

（指導教師：符永平）