閱讀材料中的啟示：“換位”證明——反證法

今天遇到一道有趣的題目：

已知n是整數，n2是5的倍數，求證：n是5的倍數。

直覺告訴我，n肯定是5的倍數，但是如何有力地證明它呢？

教材中的“看一看”引起了我極大的興趣。書中要求證“兩直線平行，同位角相等”，它先假設同位角不相等，再證明此假設是錯誤的，最終得出了與假設相反的結論。

通過咨詢老師，我了解到此證明方法叫作“反證法”。這種方法不是直接證明結論，而是去否定與結論相反的一面，從而間接地證明結論。

為了使我更深入地理解此方法，老師給我出了道題：

使用反證法證明“在同一平面內，若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線也互相平行”。

我冥思苦想了一段時間，想出了證法：

已知：如圖1，在同一平面內，有直線AB、CD、EF，且AB∥EF，CD∥EF。

求證：AB∥CD。

我們可以先假設AB不平行于CD，則AB與CD相交，設交點為P。又因為AB∥EF，CD∥EF， 所以過P點有兩條直線，而AB和CD都平行于直線EF，這顯然與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾。因此，假定AB不平行于CD是錯誤的。由此可知，AB∥CD。

理解了反證法的精髓，我豁然開朗，很快想出了開篇那道題的證法：

假設n不是5的倍數，即n不能被5整除，則n被5除的余數可能為1、 2、 3、4，即n=5m+1或n=5m+2或n=5m+3或n=5m+4（m為整數）。

①當n=5m+1時，n2=（5m+1）2=5（5m2

+2m）+1，由于5（5m2+2m）是5的倍數，而1不是5的倍數，所以n2不是5的倍數。

同理可知：

②當n=5m+2時，n2=（5m+2）2=5（5m2

+4m）+4。

③當n=5m+3時，n2=（5m+3）2=5（5m2

+6m）+9。

④當n=5m+4時，n2=（5m+4）2=5（5m2

+8m）+16。

它們都不是5的倍數，這些結果都與題設矛盾，所以得證：n是5的倍數。

我將我的想法告訴老師后，老師狠狠地表揚了我。

經過本次研究，我了解并初步學會了使用反證法。反證法所體現出的逆向思維和“換位”思想，可以幫助我們很好地解決一些數學問題，使我們在只依靠所給條件思考而走到山窮水盡局面的時候，呈現出柳暗花明又一村的境地。

教師點評

數學教材給我們提供了很多有趣、有價值的閱讀材料。小作者通過教材提供的閱讀材料，進行學習研究，積極和老師交流，獲得新的證明思路，并大膽使用研究收獲，應用到問題解決中，從而學有所獲，學有所得，學有所用，其學習方法、探究意識值得肯定，值得大家借鑒。

（指導教師：楊石波）