從直觀認識到邏輯推理

經過前面走進圖形世界、平面圖形的認識（一）、平面圖形的認識（二）這3章的學習，同學們經歷了觀察、實驗、歸納、類比等數學活動，探索了基本圖形點、線、面、角、平行線、相交線和三角形的一些性質，在探索的同時對有關圖形性質的認識進行了簡單的推理。但僅憑直觀認識得到的結論未必正確，必須進行合乎邏輯的推理證明。本章的學習，我們主要通過對前面一些定理的證明，理解證明的基本過程，掌握證明的基本格式，會用數學的思維思考，會用數學的語言表達，為后續學習打下堅實的基礎。

一、基于情境，發現命題

人們在說理的時候，常常使用一些名稱或術語。對名稱或術語的含義進行描述或做出規定，就是給出它們的定義。同學們，你能說出線段中點的定義嗎？一個點把一條線段分成相等長度的兩條線段，這個點就叫作這條線段的中點，這就是中點的定義。由此請大家判斷下面這兩句話是否正確：①如果O是線段AB的中點，那么AO=BO；②如果O是線段AB的中點，那么AO≠BO。這兩句話的已知條件都是“O是線段AB的中點”，根據中點的定義，我們能判斷AO=BO這個結論正確，而AO≠BO這個結論不成立。由此得出：①的結論是正確的，②的結論不成立。

像①②這樣判斷一件事情的句子叫作命題，①這種正確的命題叫作真命題，②這種結論不成立的命題叫作假命題。在命題①中，“O是線段AB的中點”叫作這個命題的條件，“AO=BO”叫作這個命題的結論。這些概念的學習為后續證明做了充分的準備，下面就讓我們走進證明的世界吧！

二、感悟必要，體驗證明

公元1640年，法國著名數學家費馬發現：220+1=3，221+1=5，222+1=17，223+1=257，224+1=65537。而3，5，17，257，65537都是質數，于是費馬猜想的命題如下：對于一切自然數n，22n+1都是質數。這個命題看著似乎是正確的，但實際上，到了1732年，數學家歐拉發現：225+1=232+1=4294967297=641×6700417。這說明225+1是一個合數，從而得出這個命題是一個假命題。像歐拉這樣，舉出一個符合命題的條件，但命題結論不成立的例子，就可以說明命題是假命題，這樣的例子稱為反例。數學中，判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例。雖然通過觀察、操作、實驗、歸納、類比等方法進行合情推理能得到猜想并初步進行驗證，但這些猜想不一定都正確，因此對這些命題進行嚴格的證明是必要的。

2000多年前，古希臘數學家歐幾里得對前人在數學上的成果進行了整理，把人們公認的一些真命題作為公理，并以此為出發點，用推理的方法證實了一系列命題，編撰成人類文明史上具有里程碑意義的數學巨著《幾何原本》。在前面的學習中，我們也用了類似的思想，把一些真命題作為基本事實，并從基本事實出發證實了有關余角、補角、對頂角、平行線的一些結論。根據已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫作證明。經過證明的真命題稱為定理。接下來，就讓我們用數學家的思維方式，對三角形內角和定理進行嚴格的證明。歷史上，畢達哥拉斯證明了這個定理，隨后，歐幾里得在《幾何原本》中又提供了新的證法。

三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。

先寫出已知和求證。

已知：△ABC。

求證：∠A+∠B+∠C=180°。

歐幾里得的證明方法如下：

證明：如圖1，畫△ABC的邊BC的延長線CD，過點C畫CE∥AB。

∵CE∥AB（輔助線畫法），

∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）。

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）。

畢達哥拉斯的證明方法如下：

證明：如圖2，過點A畫直線l，使l∥BC。

∵l∥BC（輔助線畫法），

∴∠1=∠B（兩直線平行，內錯角相等），

∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）。

∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角的定義），

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）。

證明過程用符號表達，如“因為”用符號“∵”表示，“所以”用符號“∴”表示。證明過程通常包含幾個推理，每個推理應包括因、果和由因得果的依據，做到言必有據。其中，“因”是已知條件，“果”是推得的結論，由因得果的依據是基本事實、定義、已學過的定理等。一題多證，貌似證法不同，但實際上數學本質是相同的，都是通過添加輔助線，將內角和轉化成平角解決問題，實現多證歸一。事實上，證明一個命題的常用方法包括由因推果的綜合法和由果索因的分析法等。

三、逆向思維，創新應用

如果把一個命題的結論作為條件，條件作為結論，就可以得到一個新命題。其中一個命題是另一個命題的逆命題，類似于相反數，這兩個命題稱為互逆命題。例如，“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”。我們可以應用證明的方法得出“對頂角相等”是真命題，可以通過舉一個反例來說明它的逆命題是假命題。學會逆向思考，有助于我們探索并獲得一些新的結論，有助于我們從多方面感知事物之間的聯系。

人類對三角形內角和定理的認識，起源于拼圖驗證，即合情推理，成就于一題多證，即演繹推理。同學們通過對前人證明的再學習和再創造，經歷了對證明基本方法的了解和證明過程的體驗，感受了數學的嚴謹性和數學結論的確定性，感悟了演繹推理的邏輯要求。在后續的學習中，我們要發展言之有理、落筆有據的推理能力，發展有條理的思考和表達的能力，要善用合情推理和演繹推理正確認識事物，認識我們的現實世界。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城區教育發展中心）