問題導學，促進深度學習

蘇科版數學八（下）第十二章“二次根式”（第二課時）中，理解二次根式的概念是難點，理解二次根式的性質是重點。學生在學習了第一課時后，掌握了二次根式的概念，經歷了探索關于二次根式的重要結論的發現過程，初步具備了計算和化簡的一般方法，但運算的熟練程度存在一定差異，還需教師引導關注解決問題方法的多樣化，真正理解概念內涵，提高運用法則的靈活性和解決問題的能力。問題鏈的設置可以幫助學生挖掘知識的本質，引發學生深度思考，引導學生在探究感悟中逐步培養良好的思維方式。類比整式與分式等內容的研究方法，筆者嘗試以問題導學的方式設計教學，目的是促進學生深度學習，為后續一元二次方程和二次函數的學習做鋪墊。

一、教學目標

理解二次根式的意義，熟練運用二次根式的性質；經歷觀察、歸納等數學活動，在演算推理中滲透分類討論、由特殊到一般、數形結合等數學思想方法，歸納總結，培養嚴謹細致的學習態度和勇于實踐的精神。

二、問題設置

初中數學深度學習應該建立在對已有數學知識理解的基礎之上，對新知識進行深層次建構，并將其納入原有認知中，引導學生主動提出問題，通過對數學情境中的問題進行批判性分析，深化對問題的認識，在此基礎上，進行知識整合，把握本質，將知識有效遷移。引導學生用數學語言對問題進行猜想，去描述變化，深度學習就會自然發生。

1. 深度建構，問好問題

問題1 當x是什么樣的實數時，下列各式有意義？

（1）[x+2]；（2）[（x+2）2]；（3）[x2+2]；（4）[-（x+2）2]；（5）[-x+2]。

【設計意圖】從算術平方根的數學意義，到二次根式的雙重非負性；從完全平方式，到絕對值的變化，問題1讓學生在對比中深刻理解二次根式的雙重非負性，感悟普遍聯系的辯證觀念。

問題2 當x是什么樣的實數時，下列各式有最大或最小值？請分別求出最值。

（1）[2-x]；（2）3-[2-x]；（3）[2-x2]；（4）[x2+4]+[（12-x）2+9]。

【設計意圖】通過探究最值，引導學生思考負數沒有平方根以及二次根式的非負性，學會從轉化的角度去發現、思考。解決問題（4）要構建數學模型，從數形結合視角構造直角三角形，運用勾股定理，可以提升學生對最值問題探究的認識，體會二次根式最值問題的一般研究方法。

2. 靈活變式，拓展探究

問題3 當0lt;xlt;1時，求[（x-1x）2+4]-[（x+1x）2-4]的值。

拓展1 已知y=[8-x]+[x-8]+[12]，求 [yx+xy+2]-[xy+yx-2]的值。

變式1 已知xlt;0，求[4-（x+1x）2]-[4+（x-1x）2]的值。

變式2 化簡[（3-x）2]+[（x-7）2]。

【設計意圖】比較[a2]與（[a]）2 的異同點，對問題3進行拓展、變式，培養學生正確進行分類討論的科學態度，對解法深度分析；引導學生發現二次根式化簡的本質，得到解決問題的方法。

問題4 先化簡x+[1+2x+x2]，然后求x=-2時代數式的值。

問題5 先化簡x+[1+2x+x2]，然后求x=3時代數式的值。

拓展2 已知[x+1gt;0，x-1lt;0，]請化簡：[1+2x+x2]-[1-2x+x2]。

【設計意圖】拓展問題4，借助數軸，深挖數學模型，改變條件，讓結論不確定，引導學生積極思考，完善學生的認知，讓學生聯想已有的經驗與方法，搭建結論與條件之間的橋梁。

問題6 （1）計算[（x+4）2]-[（x-2）2]， （-4lt;xlt;2）。

（2）已知x、y滿足ylt;[x-2]-[2-x]+4，化簡[y-4]-[y2-10y+25]。

（3）已知a、b、 c分別為[△ABC]的三條邊長，請化簡[（a+b+c）2]+[（a-b-c）2]+[（b-c-a）2]-[（c-a-b）2]。

【設計意圖】由數及形，通過問題串促進學生對[a2]=[a]的正確理解，引入數學模型，建構概念的核心，鼓勵學生尋求條件與結論之間的過渡性條件并進行質疑和猜想。

3. 沉淀思維，升華問題

問題7 觀察：①[3-310] = [2710]=3[310]，②[4-417]=[6417]=4[417]，填空：[5-526]= " " " = " " " 。猜想：[n-nn2+1]（n[≥]2 ，n為自然數）=" " " " " " " "。

拓展3 觀察：①[3-22]=[（2）2+12-2×1×2]=[（2-1）2]=[2]-1，填空：[7-43]= " " " " " " "，[5-26] =" " " 。

變式3 化簡[1+1n2+1（n+1）2]。

變式4 設[19-83]的整數部分為a，小數部分為b，試求a+b+[1b]的值。

【設計意圖】拓展知識，探求一般規律，感悟化簡二次根式所涉及的知識、思路、策略等，幫助學生把新概念納入已有的概念系統中，突破難點，優化思維。

三、教學反思

數學教學是高階思維的教學，而不是數學結論的教學。問題鏈可以創設思維活動情境，有價值的問題是生成數學思維的源泉。本節課以問題驅動的方式，圍繞理解二次根式的概念、性質，循序漸進，以定義為起點，變化二次根式中被開方數的呈現形式，聯系完全平方式、絕對值及代數式的恒等變形，整體建構數學模型，追根溯源，讓學生感悟知識發生、發展的過程，體會知識間的密切聯系，避免了就題論題、一解到底的機械講解，強化了學法引導。對概念的辨析，要強化對概念“內涵”與“外延”的理解，不能局限于理解概念的定義，要用聯系和發展的眼光設計關聯的問題。本節課設計的問題圍繞二次根式的定義、性質及運用，明晰了數學概念從哪里來、為什么研究，引導學生掌握從特殊到一般的研究問題的方法，使學生對同類問題的認識更加深遠，真正做到有法可想、有法可用。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）