跨學(xué)科主題式學(xué)習(xí)路徑思考

［摘 要］《課程方案》倡導(dǎo)強(qiáng)化學(xué)科實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)科探究活動(dòng)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、建構(gòu)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的過程，體會(huì)學(xué)科思想方法。文章以杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球“比賽場(chǎng)次”問題為例，開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，旨在探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的路徑，并讓學(xué)生從數(shù)學(xué)視角完整經(jīng)歷研究真實(shí)問題的過程。活動(dòng)分為三個(gè)階段：首先，明確研究的真實(shí)問題；其次，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識(shí)和多種方法分析并解決問題；最后，學(xué)生自主設(shè)計(jì)本校班級(jí)足球賽活動(dòng)賽制，通過遷移應(yīng)用和模型構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科融合。這一過程不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還能提高他們將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐性和創(chuàng)新性。

［關(guān)鍵詞］跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)路徑；數(shù)學(xué)模型：比賽場(chǎng)數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）17-0062-06

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”第85頁(yè)。（如圖1所示）

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中，形成發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力。教材通過引入學(xué)生感興趣的“乒乓球比賽”話題，為學(xué)生提供了探索的空間。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單情境出發(fā)，尋找規(guī)律，解決問題，并幫助學(xué)生領(lǐng)悟“化繁為簡(jiǎn)”的學(xué)習(xí)策略。

在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)通過1～5年級(jí)的各冊(cè)教材的“數(shù)學(xué)好玩”板塊學(xué)習(xí)了一些解決問題的基本策略和方法。例如，在學(xué)習(xí)一、二年級(jí)教材中的“做個(gè)加法表”“做個(gè)減法表”“做個(gè)乘法表”后，學(xué)生掌握了把算式有規(guī)律地整理在表格中的方法；在學(xué)習(xí)三年級(jí)教材中的“有趣的推理”“搭配中的學(xué)問”后，學(xué)生學(xué)會(huì)了在表格中進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷和推理，并能結(jié)合圖形與字母畫圖分析問題；在學(xué)習(xí)五年級(jí)教材中的“圖形中的規(guī)律”后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)在線段圖中有序地?cái)?shù)數(shù)和思考，能夠從簡(jiǎn)單的情境入手，尋找規(guī)律，解決問題。學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為本課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，本課將引導(dǎo)學(xué)生在理解規(guī)則的基礎(chǔ)上再次經(jīng)歷“從簡(jiǎn)單情形開始”解決稍復(fù)雜的搭配問題，學(xué)會(huì)解決問題的策略。通過數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理，學(xué)生能夠感受到體育與數(shù)學(xué)的互融互通，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維向其他領(lǐng)域的遷移。

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》（全文簡(jiǎn)稱《課程方案》）提出，加強(qiáng)知識(shí)學(xué)習(xí)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、現(xiàn)實(shí)生活、社會(huì)實(shí)踐之間的聯(lián)系，注重真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力。因此，聚焦杭州亞運(yùn)會(huì)等熱點(diǎn)賽事，積極引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)掘并提出數(shù)學(xué)問題，能打破生活問題與數(shù)學(xué)問題之間的壁壘。在解決問題的過程中，學(xué)生要尋找不同問題之間的關(guān)系，建立比賽場(chǎng)次相關(guān)問題的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化全過程。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還培養(yǎng)了他們將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐性和創(chuàng)新性。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合體育比賽賽程，了解循環(huán)賽、淘汰賽規(guī)則。

2.能用列表、畫圖等方式探究循環(huán)賽中蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單規(guī)律，并能運(yùn)用準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)規(guī)律。

3.在分析比較、抽象概括等思維活動(dòng)中，體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展模型意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

能用列表、畫圖等方式探究循環(huán)賽和淘汰賽中蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單規(guī)律，并能運(yùn)用準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表達(dá)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)模型意識(shí)。

【教學(xué)過程】

一、鏈接經(jīng)驗(yàn)，引出問題

師：大家知道2023年在杭州舉辦了一場(chǎng)重要的體育賽事是什么嗎？

生（齊）：亞運(yùn)會(huì)。

師：沒錯(cuò)。關(guān)于這次亞運(yùn)會(huì)，你們都知道些什么？

生1：中國(guó)獲得的金牌最多。

師：多少枚呢？

生1：201枚。

生2：杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”。

師：今天，讓我們跟隨琮琮、蓮蓮、宸宸，用數(shù)學(xué)的視角來觀察亞運(yùn)會(huì)。

師（出示拱墅運(yùn)河體育公園體育館圖）：這是杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽場(chǎng)館。杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽共設(shè)7個(gè)項(xiàng)目，其中男子單打比賽特別受到球迷的關(guān)注。屆時(shí)，將有64名選手參與這場(chǎng)激烈的角逐。如果每?jī)擅x手之間都需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，那么總共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽呢？

生3：“每2名選手之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽”是什么意思？

生4：就是2名選手進(jìn)行一場(chǎng)比賽。

師：能舉個(gè)例子嗎？

生4：3名運(yùn)動(dòng)員比賽，1號(hào)與2號(hào)比一場(chǎng)，1號(hào)與3號(hào)比一場(chǎng)，2號(hào)與3號(hào)也要比一場(chǎng)。

師：在體育賽制中，每?jī)擅\(yùn)動(dòng)員之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽就叫單循環(huán)賽制。

【思考：聚焦新近發(fā)生的、備受關(guān)注的熱點(diǎn)賽事——亞運(yùn)會(huì)，一方面，通過鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在真實(shí)情境中通過抽象概括提出數(shù)學(xué)問題；另一方面，為“用數(shù)學(xué)的眼光看亞運(yùn)會(huì)”奠定基礎(chǔ)，建立體育與數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察和思考，體會(huì)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科的綜合發(fā)展。】

二、自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）單循環(huán)賽

1.化繁為簡(jiǎn)

師：如果采用單循環(huán)賽制，64名選手一共要比賽多少場(chǎng)呢？（學(xué)生沉思）

師：看來大家都感覺這個(gè)問題很難。是不是覺得64名選手有點(diǎn)多，顯得有點(diǎn)復(fù)雜，那怎么辦？

生1：可以從人數(shù)少的情形開始研究。

師：這是一個(gè)好提議。從人數(shù)少的情形開始研究找到規(guī)律后，再去解決這個(gè)問題。那么，我們就從4名選手開始研究。

課件出示（如圖2）：

（學(xué)生獨(dú)立研究，教師巡視）

【思考：結(jié)合亞運(yùn)會(huì)比賽實(shí)際，將64名選手兩兩比賽的問題轉(zhuǎn)化為4名選手兩兩比賽的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡(jiǎn)單情形開始到解決稍復(fù)雜的搭配問題。這樣，通過真實(shí)情境的引入讓學(xué)生明確要研究的真實(shí)問題，再綜合運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分析問題，從而找到同類題型的規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決真實(shí)問題，為學(xué)生掌握“化繁為簡(jiǎn)”的解題策略打下基礎(chǔ)。】

2.探索規(guī)律

師：每位同學(xué)都有自己的想法。老師選取了幾幅作品，先來看數(shù)線段的方法，你能看懂嗎？（出示圖3）

生1：我們先看A比賽了多少場(chǎng)，以A為端點(diǎn)的線段有3條，比賽了3場(chǎng)；再看B，以B為端點(diǎn)的線段也有3條，但B與A已經(jīng)比過一場(chǎng)了，所以與B相關(guān)且還沒計(jì)數(shù)的有2場(chǎng)；C與A、B也已經(jīng)比了，只剩與D比賽的1場(chǎng)；至此，D與其他選手都比過了，所以4名選手一共比了3+2+1=6（場(chǎng)）。

師（出示表1）：這位同學(xué)用的也是數(shù)線段法，怎么列的算式不一樣呢？

生2：這里是各點(diǎn)之間的連線，2個(gè)人只用比1場(chǎng)，后來又來一人，3個(gè)人就增加了2場(chǎng)，4個(gè)人就再增加3場(chǎng)，所以是1+2+3=6（場(chǎng)）。

師：原來每增加1人，增加的場(chǎng)數(shù)就比現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)少1。雖然這兩種都是數(shù)線段的方法，但思考方式略有不同，這兩種方法都是正確的。

師（出示圖4）：你們能理解這幅圖嗎？

生3：從1出發(fā)分別和2、3、4連1條線，然后再?gòu)?出發(fā)分別和3、4連1條線，最后再?gòu)?出發(fā)和4連1條線。這樣不會(huì)漏數(shù)，也不會(huì)多數(shù)。

師：圖中的一條線表示什么？

生4：1場(chǎng)比賽。

師：一共比賽了幾場(chǎng)？

生5：6場(chǎng)。

師：剛剛老師看到有位同學(xué)寫了“4×3=12（場(chǎng)）”，對(duì)嗎？

生6：不對(duì)。有4名選手，每位選手比3場(chǎng)，但2名選手之間的比賽只進(jìn)行1次，所以還要除以2。

師：以圖4中的1與2的連線為例，1號(hào)選手與2號(hào)選手比一場(chǎng)，2號(hào)選手也要與1號(hào)選手比一場(chǎng)，這條線數(shù)了2次，計(jì)算場(chǎng)次時(shí)計(jì)1場(chǎng)即可，所以還要除以2。通過連線確實(shí)也得出一共比賽6場(chǎng)。

師（出示表2）：還有同學(xué)用表格的方法，好像有點(diǎn)復(fù)雜，誰看明白了？

生7（邊指邊說）：這個(gè)“√”表示選手1與選手2比一場(chǎng)，這個(gè)“√”表示選手1與選手3比一場(chǎng)，這個(gè)“√”表示選手1與選手4比一場(chǎng)，也就是說這一列表示一共比了3場(chǎng)；這個(gè)是表示選手2與選手3比一場(chǎng)，這個(gè)表示選手2與選手4比一場(chǎng)，這一列一共比了2場(chǎng)；這個(gè)“√”表示選手3與選手4比1場(chǎng)。最后，3+2+1=6（場(chǎng)）。

師：他說得清楚嗎？

生（齊）：很清楚！

師：我們給他送上掌聲！但老師有個(gè)疑問，為什么這些格子里不畫“√”呀？

生7：首先這里是因?yàn)樽约焊约翰荒鼙龋杂眯备鼙硎荆罩母褡邮且驗(yàn)閷?duì)應(yīng)的2名選手已經(jīng)比過了。

師：看了其他同學(xué)的作品，請(qǐng)你們把自己的作品再完善、修正一下。

師：在解決4名選手單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)問題時(shí)，有的同學(xué)連線，有的同學(xué)數(shù)線段，有的列表……你更喜歡哪一種方法？

生8：數(shù)線段。

師：喜歡數(shù)線段的請(qǐng)舉手——哇！看來英雄所見略同啊！

【思考：在研究只有4名選手的單循環(huán)賽問題時(shí)，先讓學(xué)生思考，然后收集并呈現(xiàn)學(xué)生畫圖、列表、連線等多樣化的解題策略，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生多元化和豐富的數(shù)學(xué)思維。】

3.概括規(guī)律

師：如果還想知道有5名、6名、7名、8名選手參加比賽的情況，該怎樣解決呢？接下來咱們分組研究。

學(xué)生板書：

5名 4+3+2+1=10（場(chǎng)）

6名 5+4+3+2+1=15（場(chǎng)）

7名 6+5+4+3+2+1=21（場(chǎng)）

8名 7+6+5+4+3+2+1=28（場(chǎng)）

師：你們同意這個(gè)解法嗎？

生（齊）：同意。

師：從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：比賽場(chǎng)數(shù)等于從比賽人數(shù)少1的數(shù)開始依次加，加的數(shù)比前一個(gè)數(shù)少1，直至加到1為止。

師：請(qǐng)結(jié)合例子來說明。

生1：比如有8名選手比賽，那就從7開始加，依次加6，加5……一直加到1。

師：他找到比賽場(chǎng)次與人數(shù)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。如果是64人呢？能應(yīng)用規(guī)律解決嗎？

生2：63加62加61加……一直加到1為止。

師（板書：63+62+…+6+5+4+3+2+1）：這么長(zhǎng)的算式，答案是多少呀？

生3：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。

師：怎么理解“64×63÷2 ”？

生4：每名選手比63場(chǎng)，有64名選手，64個(gè)63，因?yàn)橐话胫貜?fù)了，所以要除以2。

師：等于多少呢？

生5：2016。

師：[n]名選手呢？怎么計(jì)算場(chǎng)數(shù)？

生6：[n]×（[n]-1）÷2。

生7：（[n]-1）+（[n]-2）+…+3+2+1=[n]×（[n]-1）÷2。

師：同學(xué)們真會(huì)思考！通過探究，我們成功地解決了單循環(huán)賽中比賽場(chǎng)次的問題。在遇到這種復(fù)雜問題時(shí)，雖然同學(xué)們用的方法不同，但目的是一樣的，都是從簡(jiǎn)單情形入手，尋找規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律解決問題，這就是在化繁為簡(jiǎn)。同學(xué)們，這么復(fù)雜的問題都能被你們輕松搞定，看來化繁為簡(jiǎn)真是一種解決問題的好策略。

【思考：在交流、欣賞、質(zhì)疑、討論中，教師分別建立了4、5、6、7、8名選手比賽的數(shù)學(xué)模型，在肯定了學(xué)生的解題方法后，又把問題拋給學(xué)生：如果是64名選手呢？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)思維從感性具體發(fā)展到感性一般，從理性具體發(fā)展到理性一般，最終發(fā)現(xiàn)“[n]×（[n]-1）÷2”這一非常簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法。這是借數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理讓學(xué)生體會(huì)到體育和數(shù)學(xué)的互融互通，指向更高層次的跨學(xué)科融合。】

（二）淘汰賽

師：俗話說得好，理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感，看！這是亞運(yùn)會(huì)乒乓球賽程安排（出示圖5）。你看到什么？

生1：淘汰賽。

師：什么是淘汰賽？

生2：淘汰賽就是一人與另一人比賽，一人贏了，另一人輸了，輸了的人就不能繼續(xù)比賽了。

師：輸了就出局，贏了就繼續(xù)比賽。

課件出示（如圖6所示）：

師（出示圖7）：這是一位同學(xué)的想法，你能看懂嗎？

生3：每2人比賽就淘汰1人，64÷2=32（場(chǎng)）表示就是64進(jìn)32，同理得出32進(jìn)16、16進(jìn)8、8進(jìn)4、4進(jìn)2的比賽場(chǎng)數(shù)，最后2人比賽1場(chǎng)決出冠軍，比賽場(chǎng)數(shù)為32+16+8+4+2+1=63（場(chǎng)）。

師：其他同學(xué)同意嗎？

生（齊）：同意。

師：還有別的想法嗎？

生4：總共64人，要產(chǎn)生一個(gè)冠軍，所以比賽場(chǎng)數(shù)是64-1=63（場(chǎng)）。

師：這種方法對(duì)嗎？為什么？

生5：我認(rèn)為這種方法是對(duì)的，因?yàn)樽詈笠獩Q出1位冠軍，就要淘汰63人，所以要比賽63場(chǎng)。

師：如果是8名選手采用淘汰賽，需要幾場(chǎng)？

生6：7場(chǎng)。

師：7名選手呢？

生7：6場(chǎng)。

師：n名選手呢？

生8：n-1場(chǎng)。

師：發(fā)現(xiàn)了什么？

生9：淘汰賽的話，比賽場(chǎng)數(shù)等于比賽人數(shù)減1。

師：在本屆亞運(yùn)會(huì)的賽場(chǎng)上，經(jīng)過幾輪激烈爭(zhēng)奪，你們知道最終冠軍是誰嗎？（學(xué)生搖頭）

師：不知道也沒事，我請(qǐng)他來了（出示王楚欽奪冠領(lǐng)獎(jiǎng)圖，圖略），這就是王楚欽，他奪得了這枚分量十足的男子單打金牌。不僅如此，他還奪得了本屆亞運(yùn)會(huì)的男團(tuán)、男雙、混雙的金牌，成為當(dāng)之無愧的四冠王。（通過介紹運(yùn)動(dòng)員奮勇拼搏的事跡，給予學(xué)生成長(zhǎng)啟示，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的價(jià)值）（學(xué)生情不自禁地鼓掌）

【思考：在解決淘汰賽場(chǎng)數(shù)問題時(shí)，對(duì)學(xué)生提出的兩種解題策略進(jìn)行比較是非常有價(jià)值的。通過比較，學(xué)生可以體會(huì)到淘汰賽背景對(duì)理解問題和探求方法的啟發(fā)價(jià)值。通過任務(wù)鏈的逐步實(shí)施，伴隨問題鏈的推進(jìn)，學(xué)生的思維不斷深入，他們對(duì)比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)化建模意識(shí)也得到了提升。從粗糙的猜想到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃惴ǎ@是一個(gè)非常大的進(jìn)步，大大提升了學(xué)生的思維層次。】

三、遷移應(yīng)用，解決問題

師：亞運(yùn)會(huì)賽事很精彩，咱們實(shí)驗(yàn)小學(xué)近期組織的班級(jí)足球賽那也是搞得有聲有色。現(xiàn)在請(qǐng)你為學(xué)校三年級(jí)8個(gè)班足球比賽設(shè)計(jì)一種賽制，你會(huì)怎么設(shè)計(jì)？

生1：每個(gè)班至少要比2場(chǎng)，第1場(chǎng)輸了也還可以比第2場(chǎng)，如果兩場(chǎng)都輸了就退出比賽。

師：你是不是想說淘汰賽制偶然性太大，有一定運(yùn)氣成分，采用淘汰賽不太合適？

生1：是的。

師：那我們用單循環(huán)賽制，你們覺得怎么樣？

生2：要比的場(chǎng)數(shù)太多了。

師：用我們前面得到的規(guī)律求8個(gè)班單循環(huán)比賽，要比幾場(chǎng)？

生3：28場(chǎng)。

師：比賽時(shí)間這么長(zhǎng)，影響學(xué)習(xí)了可不好。

（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示贊同）

師：淘汰賽制不行，單循環(huán)賽制也不好，那怎么辦呢？

師：兩種賽制都不合適，那能不能兩者——

生（齊）：結(jié)合。

師：兩種賽制結(jié)合有什么好處？

生4：這樣不需要那么多場(chǎng)比賽，又利于班級(jí)真實(shí)足球水平的展示。

師：也就是使比賽更加地公平、公正，那我們就選用這種賽制——單循環(huán)賽+淘汰賽。

課件出示（如圖8）：

師（出示圖9）：一起來看看這位同學(xué)的解答過程，請(qǐng)他自己來介紹一下。

生5：有兩個(gè)組，每組有4個(gè)隊(duì)，在每個(gè)小組里采用單循環(huán)賽就是3+2+1=6（場(chǎng)），有兩個(gè)組，6×2=12（場(chǎng)）；每組前兩名的參賽隊(duì)進(jìn)入淘汰賽，也就是4個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，要比3場(chǎng)，所以一共是12+3=15（場(chǎng)）。

師：看來同學(xué)們都能學(xué)以致用了！真棒！

【思考：為本校三年級(jí)班級(jí)足球賽活動(dòng)設(shè)計(jì)賽制，是一項(xiàng)開放性、綜合性強(qiáng)的真實(shí)任務(wù)，旨在促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的遷移與模型構(gòu)建的能力。正是這樣的經(jīng)驗(yàn)遷移和拓展創(chuàng)新過程，推動(dòng)了數(shù)學(xué)與生活、與體育學(xué)科更深度地融合，有利于將學(xué)生培養(yǎng)成為善于解決真實(shí)問題的人。】

四、拓展延伸，感悟模型

師：今天這節(jié)課我們用化繁為簡(jiǎn)的策略一起解決了比賽場(chǎng)數(shù)的問題。其實(shí)這一策略早就在大家以前的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)過了。比如四年級(jí)學(xué)習(xí)的“有趣的算式”和五年級(jí)學(xué)習(xí)的“圖形中的規(guī)律”都應(yīng)用了化繁為簡(jiǎn)的方法。生活中還有很多類似比賽場(chǎng)數(shù)的問題，比如握手問題、購(gòu)票問題等，希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用化繁為簡(jiǎn)的方法解決更多復(fù)雜的問題。

【思考：回顧小結(jié)學(xué)習(xí)成果時(shí)，教師適時(shí)地介紹生活中類似比賽場(chǎng)數(shù)的問題，再次把學(xué)生帶到新的學(xué)習(xí)情境中，幫助學(xué)生在面對(duì)各種情形的實(shí)際情境時(shí)想到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。】

【課后思考】

綜合與實(shí)踐是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，是核心素養(yǎng)導(dǎo)向課程理念的直接體現(xiàn)，是落實(shí)實(shí)踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要形式。綜合與實(shí)踐領(lǐng)域中，小學(xué)階段以主題式活動(dòng)為主，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問題，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。本節(jié)課中，筆者結(jié)合教材內(nèi)容，將時(shí)事熱點(diǎn)引入課程內(nèi)容，立足綜合與實(shí)踐的特點(diǎn)與價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，希冀為綜合與實(shí)踐領(lǐng)域相關(guān)主題教學(xué)提出一些可行性的教學(xué)策略。

思考一：提供支架，形成策略

圖示化和直觀化是學(xué)生在數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)過程中常用表現(xiàn)方式，也是數(shù)學(xué)化走向模型化的基礎(chǔ)。為了優(yōu)化比賽場(chǎng)數(shù)探究素材，筆者首先結(jié)合亞運(yùn)會(huì)體育賽事，從“64名選手進(jìn)行乒乓球單循環(huán)賽共要比賽多少場(chǎng)”開始，讓學(xué)生理解單循環(huán)賽規(guī)則，并為后續(xù)的“用數(shù)學(xué)的眼光看亞運(yùn)會(huì)”做鋪墊。接著，引導(dǎo)學(xué)生逐步踏上從直觀到抽象的探究之旅，讓他們從簡(jiǎn)單情形開始尋找規(guī)律。在分析和解決4名選手比賽場(chǎng)次問題時(shí)，通過多元表征和直觀圖分析，學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出模型，建立實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，進(jìn)而深化對(duì)算法的理解，并認(rèn)識(shí)到算法的現(xiàn)實(shí)意義和價(jià)值，使數(shù)學(xué)思維可視化。

思考二：指向本質(zhì)，建立模型

在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要培養(yǎng)學(xué)生從日常生活中“看出”數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法分析和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。在本文所述的教學(xué)案例中，學(xué)生從某個(gè)具體情境的“比賽場(chǎng)次安排”問題出發(fā)，通過探究各類賽制下比賽人數(shù)與場(chǎng)數(shù)的關(guān)系，概括出一般模型。在這個(gè)模型化的過程中，學(xué)生參與具體的操作活動(dòng)并解決問題，借助具體任務(wù)進(jìn)一步感受和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。課堂上有三個(gè)任務(wù)，分別對(duì)應(yīng)求“單循環(huán)賽”“淘汰賽”和“單循環(huán)賽+淘汰賽”這三種賽制下比賽場(chǎng)數(shù)。整個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)直接指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用。

思考三：學(xué)科融合，提升素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：“在主題活動(dòng)中，學(xué)生將面對(duì)現(xiàn)實(shí)的背景，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法，分析并解決問題。”教師在教學(xué)中應(yīng)在秉持學(xué)科立場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科融合，堅(jiān)守并挖掘?qū)W科的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合能使學(xué)生在多學(xué)科的綜合性探究過程中，以某一學(xué)科的所見和所能彌補(bǔ)另一學(xué)科的所不見和所不能，不斷積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力與跨學(xué)科綜合素養(yǎng)的“雙增長(zhǎng)”。

本課在探究比賽場(chǎng)次的綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，通過三個(gè)任務(wù)鏈的逐步實(shí)施，層層推進(jìn)，使得學(xué)生的思維從粗糙的猜想變成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃惴ǎ瑢W(xué)生充分經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)化思維過程。倘若把課堂視為“教—學(xué)—做”合一的閉環(huán)過程，把“教出來”的“學(xué)出來”，再把“學(xué)出來”的“做出來”，就能打通素養(yǎng)與能力生成的“最后一公里”。

（責(zé)編 金 鈴）