在深層次理解分?jǐn)?shù)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

［摘 要］五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)是在三年級(jí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)評(píng)估學(xué)生的已有知識(shí)和能力水平，明確分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)與拓展點(diǎn)，從深化分?jǐn)?shù)特性、探索“整體”概念、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念、探索分?jǐn)?shù)的相對(duì)性等方面進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)概念形成深刻理解。

［關(guān)鍵詞］分?jǐn)?shù)認(rèn)知；數(shù)形結(jié)合；理性思辨；分?jǐn)?shù)意義；邏輯推理

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）17-0054-03

在我國(guó)的教育體系中，分?jǐn)?shù)的教學(xué)通常遵循兩個(gè)主要階段的遞進(jìn)模式。在小學(xué)三年級(jí)，通過(guò)具體直觀的模型來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作性學(xué)習(xí)，使他們親身體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程，并從整體與部分的關(guān)系中構(gòu)建對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)知。在小學(xué)五年級(jí)，將學(xué)生的直觀感受轉(zhuǎn)化為更為抽象的理性理解，通過(guò)歸納和總結(jié)，讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。同時(shí)，探討分?jǐn)?shù)與除法之間的內(nèi)在聯(lián)系，可進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。

以蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”一課為例，本教學(xué)活動(dòng)旨在通過(guò)一系列具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生歸納出分?jǐn)?shù)所代表的整體與部分關(guān)系，并進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)作為量的表現(xiàn)形式。為了深入探究學(xué)生從三年級(jí)到五年級(jí)在分?jǐn)?shù)概念理解上的變化，筆者對(duì)本市186名五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了系統(tǒng)的前測(cè)問(wèn)卷調(diào)研，前測(cè)題目和回答情況如圖1所示。

圖1 “分?jǐn)?shù)的意義”一課的前測(cè)題目和回答情況

其中，在解答題目1的③號(hào)圖形時(shí)，超過(guò)四成的學(xué)生選擇用[26 ]來(lái)描述，他們忽略了③號(hào)圖形中橢圓的“收納”作用，未能將兩個(gè)小方格看成一份。這一現(xiàn)象反映出學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解仍需深入。

在符號(hào)與圖形的轉(zhuǎn)換上，超過(guò)九成的學(xué)生能夠游刃有余地通過(guò)畫圖來(lái)表示[34]，但仍有超過(guò)六成的學(xué)生在畫圖表示[34]時(shí)，局限于將單個(gè)物體看成一個(gè)整體。訪談中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的想法較為簡(jiǎn)單，他們認(rèn)為只有在單個(gè)物體不完整時(shí)，才需要用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，而在多個(gè)物體構(gòu)成的情形里，他們往往覺(jué)得分?jǐn)?shù)是多余的。而部分學(xué)生則堅(jiān)持認(rèn)為整體中的物體或圖形必須是完整無(wú)缺、同類聚合、數(shù)量明確的。

值得注意的是，當(dāng)一個(gè)整體由多個(gè)部分組成時(shí)，學(xué)生使用的物體個(gè)數(shù)普遍為分母的倍數(shù)。這種選擇既體現(xiàn)了他們對(duì)數(shù)量平均分配的追求，同時(shí)也在一定程度上反映出他們受到教材展示的學(xué)習(xí)資源的影響。

教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)猶如打開一扇門，找到鑰匙是關(guān)鍵，即在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，教師需要幫助學(xué)生深入理解“一份”的真正含義。首先，教師需要引導(dǎo)學(xué)生跳出“單一”數(shù)量思維局限，讓學(xué)生看到在不同情境下，“一份”可以是多樣且靈活的。然后，教師需要調(diào)整教材的編排和呈現(xiàn)方式，打破學(xué)生對(duì)“整體”的固有認(rèn)知。最后，除了通過(guò)“平均分成幾份，取若干份”的方式來(lái)定義分?jǐn)?shù)，教師還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索分?jǐn)?shù)的其他維度。比如，分?jǐn)?shù)可以看作比例、比率的一種形式，甚至可以是一種表達(dá)部分關(guān)系的方式。這樣，分?jǐn)?shù)就不再僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，還成了一種能夠描述世界多樣性的工具。

一、喚起先驗(yàn)知識(shí)，深化分?jǐn)?shù)特性

在教學(xué)分?jǐn)?shù)這一抽象概念時(shí)，圖像是重要的輔助工具。課程伊始，筆者采用兩組圖形（如圖2）作為教學(xué)起點(diǎn)，讓學(xué)生理解不同圖形中[34]的具體含義。此過(guò)程旨在激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使他們深入思考問(wèn)題：“為何圖形不同卻都可以表示相同的分?jǐn)?shù)？”讓學(xué)生辨識(shí)分?jǐn)?shù)與之前學(xué)習(xí)的整數(shù)在概念上的差異，并進(jìn)一步深刻理解[34]所表達(dá)的部分與整體之間的關(guān)系及其本質(zhì)特征。

二、理性辯證：探索“整體”概念的深層數(shù)學(xué)意蘊(yùn)

在教學(xué)分?jǐn)?shù)概念的過(guò)程中，對(duì)“一個(gè)整體”的認(rèn)識(shí)至關(guān)重要，這是學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)。本課程旨在通過(guò)三個(gè)階段系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生理解“一個(gè)整體”的概念：首先，明確“整體”的定義和特征；其次，探討如何從整體中分割出部分；最后，分析部分與整體之間的比例關(guān)系。通過(guò)這三個(gè)階段，學(xué)生將能夠全面而深刻地理解分?jǐn)?shù)所代表的意義。

（一）深化理解，洞察“整體”奧秘

在教學(xué)活動(dòng)中，教師需要幫助學(xué)生理解將多個(gè)圖形視為一個(gè)統(tǒng)一整體的概念，特別是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到構(gòu)成整體的個(gè)體數(shù)量不必局限于分母的整數(shù)倍。隨后，教師可通過(guò)引入數(shù)字“1”來(lái)代表一個(gè)整體，并在相應(yīng)的圖形旁邊做出標(biāo)記，讓學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)與自然數(shù)在表達(dá)數(shù)量上的差異，從而促進(jìn)其思維模式的轉(zhuǎn)變。

（二）外延拓展與內(nèi)涵深化雙管齊下

鑒于部分學(xué)生在前測(cè)中表現(xiàn)出的對(duì)“整體”概念的誤解，即將整體限定為完整、同質(zhì)且數(shù)量明確的集合，以及學(xué)生在實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)多樣化“整體”的理解需求，筆者通過(guò)三個(gè)典型案例來(lái)拓寬學(xué)生對(duì)“整體”概念的認(rèn)識(shí)邊界，并深化學(xué)生對(duì)“整體”本質(zhì)屬性的理解。

【案例1】3名學(xué)生和1名老師整體的[34]。在處理由“3名學(xué)生和1名老師”組成的整體時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這一整體包含4個(gè)個(gè)體。學(xué)生在此基礎(chǔ)上，會(huì)發(fā)現(xiàn)3名學(xué)生占整體的[34]，因?yàn)樗麄冋紦?jù)了總數(shù)的[34]，以及每個(gè)個(gè)體都可以被視為整體的[14]，這表明整體的任何部分都可以根據(jù)其所占比例被識(shí)別和計(jì)算。

【案例2】[12]塊蛋黃派的[34]。對(duì)于“[12]塊蛋黃派”，學(xué)生首先認(rèn)識(shí)到這代表了整個(gè)蛋黃派的一半。進(jìn)一步地，學(xué)生學(xué)會(huì)了將這半塊蛋黃派再劃分為四個(gè)相等的部分，從中取出三個(gè)部分表示[34]。這一過(guò)程展示了即使是一個(gè)已經(jīng)被分割過(guò)的整體，也仍然可以被進(jìn)一步地劃分并用于表示分?jǐn)?shù)。

【案例3】一定長(zhǎng)度線段的[34]。在處理長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，如“6米”的線段，學(xué)生理解了這可以看作一個(gè)整體，并可以將其等分為四份，每份長(zhǎng)1.5米，取其中的三份來(lái)表示[34]。類似地，當(dāng)線段長(zhǎng)度變?yōu)椤?米”時(shí)，學(xué)生可以將7米等分為四份，并取其中的三份來(lái)表示[34]。這說(shuō)明了無(wú)論是確定的長(zhǎng)度還是變化的數(shù)值，都可以成為“整體”，只要它能夠被等分。

在實(shí)際教學(xué)中，采用多樣化的學(xué)習(xí)材料至關(guān)重要，這些材料可以是圖表、語(yǔ)言描述、具體數(shù)值以及變量等，這樣有助于學(xué)生突破先前的認(rèn)知限制，重新認(rèn)識(shí)到“一個(gè)整體”概念的廣泛應(yīng)用性和深刻內(nèi)涵。從圖形到文字，從數(shù)值到符號(hào)，從單一對(duì)象到復(fù)雜集合，再?gòu)木唧w實(shí)例到抽象理論的逐步過(guò)渡，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)概念的構(gòu)建和擴(kuò)展過(guò)程。

三、分?jǐn)?shù)概念的全面解讀：由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的掌握往往遵循從具象到抽象，再由抽象回歸具象的認(rèn)知規(guī)律。分?jǐn)?shù)作為一個(gè)基本的數(shù)學(xué)概念，其意義的理解亦遵循這一規(guī)律。教學(xué)中，盡管已通過(guò)圖形對(duì)[34]的特性進(jìn)行了充分闡釋，但在“一個(gè)整體”概念的擴(kuò)展中，[34]的內(nèi)涵也隨之深化。本課程著重于深化學(xué)生對(duì)[34]意義的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建起對(duì)[34]的多維直觀感受。

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們，[34]僅僅是一個(gè)數(shù)字，為何能在如此多的情境中找到對(duì)應(yīng)的整體來(lái)表達(dá)它呢？

生1：因?yàn)樗碇鴮⒁粋€(gè)整體平均分成四個(gè)部分，并選取其中的三個(gè)部分。

師：既然不同的“一個(gè)整體”都有它的[34]，那么一個(gè)整體中還有其他分?jǐn)?shù)嗎？

生2：將一個(gè)整體平均分為七個(gè)部分，選取其中的五個(gè)部分，便得到了[57]。

生3：將某個(gè)整體平均分為二十份，選取其中的十三份，便是[1320]。

……

師：你們能否用自己的話來(lái)說(shuō)明什么是分?jǐn)?shù)？

生（齊）：分?jǐn)?shù)是將一個(gè)整體平均分成若干份后，其中一份或數(shù)份的表達(dá)方式。

四、分?jǐn)?shù)概念的相對(duì)性探究：體驗(yàn)與邏輯的雙重路徑

分?jǐn)?shù)的相對(duì)性表現(xiàn)為三個(gè)方面：一是當(dāng)整體不同時(shí)，即便分?jǐn)?shù)形式一致，其實(shí)際代表的數(shù)量也有所差異；二是處于同一整體中，不同分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量亦有差別；三是在不同的整體之中，不同的分?jǐn)?shù)可能代表相同的數(shù)量。這與整數(shù)的性質(zhì)有明顯區(qū)別。為了讓學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的相對(duì)性，筆者策劃了一系列教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作、直觀感知和邏輯推理，逐步認(rèn)識(shí)和掌握分?jǐn)?shù)的這種相對(duì)性，從而能夠精確地進(jìn)行數(shù)學(xué)表述，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展推理能力。

【教學(xué)片段2】活動(dòng)一：實(shí)踐探究

師：各參與者檔案袋中的郵票總數(shù)不同，如果每位參與者都從各自的檔案袋中取出郵票的[12]，那他們?nèi)〕龅泥]票數(shù)量是否一致？

生1：相等。

生2：不等。

師：有“參與者從檔案袋中取出郵票的數(shù)量相等”“參與者從檔案袋中取出郵票的數(shù)量不等”兩種假設(shè)。請(qǐng)大家合作探究，驗(yàn)證猜想。

……

在本活動(dòng)中，郵票集合是整體，而從集合中取出的郵票數(shù)量則代表了該整體的一部分。當(dāng)整體的規(guī)模發(fā)生變化時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的部分的量也會(huì)相應(yīng)地調(diào)整。

【教學(xué)片段3】活動(dòng)二：理性選擇

師（出示圖3）：如果一個(gè)整體的[25]被揭示出來(lái)，那么這個(gè)整體的具體形狀是什么樣的？從5個(gè)圖形中選一選。

生1：我選圖形①，將一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成五份，其中兩份即代表了[25]。

學(xué)生2：我選圖形③，它由5個(gè)同樣的長(zhǎng)方形構(gòu)成，其中2個(gè)長(zhǎng)方形即代表了[25]。

……

教師應(yīng)注重訓(xùn)練學(xué)生從已知的部分量推斷整體量的思維能力，要求學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)[25]的含義，并分析部分與整體之間的關(guān)系，以確定整體量。

【教學(xué)片段4】活動(dòng)三：據(jù)理力爭(zhēng)

師：在一次捐款活動(dòng)中，文思捐贈(zèng)了其零花錢的[15]，而文采捐贈(zèng)了其零花錢的[35]。可由此推斷文采捐贈(zèng)的金額多于文思嗎？

上述問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生從抽象層面理解分?jǐn)?shù)，并探究部分與整體之間的關(guān)系。通過(guò)不斷的探究和辯論，學(xué)生不僅拓展了思考問(wèn)題的視角，還深刻領(lǐng)悟到在比較部分量時(shí)，必須明確它們所對(duì)應(yīng)的整體量。

分?jǐn)?shù)的認(rèn)知教學(xué)貫穿小學(xué)所有學(xué)段，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的先驗(yàn)知識(shí)和能力水平進(jìn)行評(píng)估，并確定分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)與拓展點(diǎn)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)概念的深刻把握。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 黃露嵐.依托核心問(wèn)題 構(gòu)建有效對(duì)話：以“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（1）：30-33.

[2] 王平平.圖像表征應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例研究：以“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”為例[D].昆明：云南師范大學(xué)，2023.

（責(zé)編 楊偲培）