關于整系數多項式有理根的幾個定理及求解方法

張忠波

(江蘇省徐州市銅山區銅山中學 221100)

相關定理的運用，可以最大限度地將有理根的范圍縮小，從而進一步求出多項式的所有有理根，因此，定理的運用最大限速地簡化了做題的思路.下面我們對有關定理以及求解方法進行一一論述.

一、整系數多項式有理根的相關定理

我們利用定理一可以得到以下定理：

3.定理三 設q是整系數多項式的整數根，那么q就是常數項a0的約數.因為定理都是經過長期的論證推斷證明出來的正確的內容，因此這個定理在解題的過程中我們是可以直接運用的.

4.定理四 設整系數多項式f(x)=a0xn+an-1xn-1+…+a1x+a0的常數項a0是奇數，但是2p+q是偶數，那么p+q不是方程的有理根.

二、有理根的判定

關于整系數有理根的存在性問題我們通常的情況下可以把常數項的每一個因數分別代進多項式里面進行驗證，但是當一個算式里面常數項非常大，因數的個數也比較多的時候，多項式的次數也相應的比較高，那么計算量會非常的大，單純依靠我們人腦很難算出準確的答案，必須依靠計算機來進行幫助.但是，我們這是在直接計算的情況下，如果我們能首先判別多項式不可約，或者有些時候我們可以將一個多項式進行分解，如果這個多項式可以分解成好幾個多項式的乘積.那么我們依靠人腦求出多項式的有理根在理論上是可行的，應該能求得的，但是問題又來了，將一個多項式分解為幾個多項式的積并非一件容易的事情，在實際的操作過程中會有很大的困難.因此，研究多項式的有理根的問題，我們通常情況下從系數開始研究，首先判定是否存在有理根，下面是有理根的判別方法.

定理1 (Eisenstein判別法)：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在數學上為我們要求的式子.假設存在一個數p，使得

1.p+an；

2.p|an-1,an-2,…,a0；

3.p2+a0.

那么f(x)在有理數的定義域內是不存在約分情況的.

證明如果f(x)在有理數的定義域內是不存在約分情況，我們則可以根據2.2，f(x)在一定意義上講將可以進行次數上的降低以及分解：

f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m

因為p|a0，所以p能把b0或c0整除掉.但是p2+a0，所以p對于b0及c0而言不存在同時除掉的情況.在這種情況下我們應該假設p|b0但p+c0.另一方面，因為p+an，所以p|/bl.假設b0,b1,…,bl中首先不能被p整體除得的bk.通過對f(x)中xk的前面的常數進行分析，可以得到ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,bk-1,…,b0在某種意義上而言可以被p整體除得，所以bkc0在理論上也應該可以被p整體除得.可是p是我們數學上所言的素數，所以bk與c0中至少有一個被p整除.這在理論上是相互存在分歧的，是不統一的.

(1)p+a0;

(2)pm-1|an,但pm+an；

(3) (i)當m≤n時，pm-k|an-k,k=1,2,…,m-1,且p|a1,a2,…,an-m；

(ii)當sn≥m>(s-1)n+1時，其中s為正整數，pm-k|an-k,k=1,2,…,n-1 (注：當s=1時 ，與(i)相同) ，那么 ，多項式f(x)沒有有理根 .

知f(x)=(sx-r)(b0xn-1+b1xn-2+...+bn-2x+bn-1)式中b0,b1,...,bn-2,bn-1都是整數，比較兩邊系數，即得

因為p是素數，且p|an，由(△)知p|rbn-1，所以p|r或p|bn-1，同時，因為p+a0=sb0，所以p+s且p+b0. 如果p|r，那么由p|an-m+1，及 (△)中sbn-m+1=an-m+1+rbn-m，所以p|sbn-m+1,即p|bn-m+1，故p2|rbn-m+1.又因為p2|an-m+2及sbn-m+2=an-m+2+rbn-m+2，所以p2|sbn-m+2，即p2|bn-m+2.又因為pm-1|an-1及sbn-1=an-1+rbn-2,所以pm-1|sbn-1,即pm-1|bn-1,所以pm|rbn-1=-an,故pm|an.與pm|/an矛盾.必有p+r，則p|bn-1.

由于p|an-1及由 (△)式中rbn-2=sbn-1-an-1，所以p|rbn-2，但p+r，必有p|bn-2.

由(△)式依次類推知p|b1.

由p|a1及sb1=a1+rb0，得p|rb0.又由前面所述知p+b0且p+r，p為素數.相互反駁，故f(x)是不存在有理根的.

由(ⅰ)證明知g(y)無有理根， 故f(x)無有理根.

三、多項式有理根的求法

通過上面的定理我們可以總結出求一個整系數多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0存在有理根的方法：

第一步：首先判斷f(x)在定義域范圍內是否有有理根；

第二步：如果存在，求出an和a0的全部可能的因數；

整系數有理根的求法是人們常常討論的數學問題，有著重要的地位，本文相對全面地介紹了整系數有理根的求法，希望可以對正在學習此內容的人有值得借鑒的地方，從而起到一定意義上的幫助作用，這是寫作此文的目的所在.

[1] 楊繼明.關于整系數多項式有理根的求法[J].撫州師專學報,1994(3).