熱力學·統計物理教學中的量綱問題

摘 要 本文就熱力學·統計物理的一道習題的解法展開討論，說明在物理問題推導過程有量綱物理量的規范運算方法，以及物理結果的規范表達方式。此外，論文簡單說明了Π定理并舉例利用Π定理對物理系統進行量綱分析。量綱分析在物理學中如此重要，因此在物理基礎課教學中應予足夠的重視。論文附錄給出了汪志誠《熱力學·統計物理》（第六版）教材中部分公式規范表達形式。

關鍵詞 量綱;熱力學;統計物理;Π定理

熱力學·統計物理是四大力學之一，是物理學專業重要基礎課程。該門課程在熱學的基礎之上，更加深入地研究熱運動的規律，比如物質的力學性質、熱學性質、電磁性質以及凝聚狀態等。課程中的熱力學主要是熱運動的宏觀理論，通過對熱現象的觀測、實驗和分析，物理學家總結出以熱力學三定律為基礎的宏觀熱學規律。統計物理則從微觀角度，通過大量微觀粒子的統計平均闡釋宏觀熱學現象的統計意義，同時還解釋了漲落現象等。熱力學和統計物理相輔相成構成熱學現象的完整描述[1]。

本文主要想討論熱力學統計物理中的物理量量綱問題，即對有量綱的對數和指數的運算問題。熱力學·統計物理中有很多運算過程需要對相關物理量求對數和指數，比如玻爾茲曼熵的計算、麥克斯韋速度分布律等等。在這樣的計算過程中，有一點是必須明確的，即對數和e 指數運算中的物理量必須是無量綱的，否則就會出現荒謬的結果。其實這個規則是物理學理論教學中一個基本法則，力學、電磁學等其他學科也必須遵循該法則。只是現行的熱力學·統計物理教材中很多時候為了表述方便，放棄了這個法則，以至于出現了大量的對有量綱物理量求對數或e 指數的例子。比如國內比較流行的汪志誠所著的《熱力學·統計物理》（第六版）教材（下文簡稱汪《熱統》教材）第33頁計算理想氣體熵公式（1.15.3）給出的熵表達式為[2]

Sm =CV，mlnT +RlnVm +Sm0

其中，T 是溫度，V 為體積，CV，m 是摩爾定體熱容。該公式對溫度和體積求對數，會讓很多讀者產生疑惑，即如果采用不同的單位制，比如，溫度用開爾文（K）、體積用立方米（m3）的結果，與溫度用毫開爾文（mK）和立方米（m3）的結果完全不一樣，而且不知道怎么做單位的轉換。怎么能是一個正確的物理表達式呢？ 對數中必須有一個溫度的標度T0 或者體積的標度V0，又或者將T 和Vm兩項合并放在一起得到一個無量綱的數之后再求對數，才能給出正確的結果。顯然，教材的著者了解該問題，因此特在此加了一個腳注：

“式中的T 和Vm 是有量綱的物理量，由于Sm0 中包括含有相同量綱的物理量的項，對應項所含量綱因子可相互消去。如果將式（1.15.2）寫成定積分，

則式（1.15.3）中的

Sm0 =S'm0-CV，mlnT0 -RlnVm0

可以更清楚地看出這一點。類似的情況以后不再說明。”

雖然該腳注說明了原因，這樣做在一定程度上也簡化了表達式。對于一個有經驗的物理學者來說無傷大雅，且方便一些。但是本文需要說明的是，這樣的表達式其實會給很多初學者以誤解，以為有量綱的物理量可以任意運算，而這樣容易出現因計算單位制改變而造成的非物理結果。更為重要的是，這樣的表達式可能失去了重要的物理法則，即物理量對物理量量綱的依賴性。這是物理學中的一個重要的規律。在課堂上如果詳細講解物理學的量綱標度依賴性會大大提高物理學習者的理解，也為后續的高級課程，如量子場論等，打下基礎。

為此，本文將從該教材的一道例題出發，來討論物理學量綱的問題，給出本文作者對該問題的看法。需要說明的是，本文作者都是這本教材的學習者和使用者（作者之一熊兆華二十余年講授熱統課，一直使用此教材），深受其影響，也想對教材作出一些修正。為此作者特將教材中的所有存在此類問題的表達式都找了出來，并給出其規范表達，以饗讀者。本文余下部分的安排是：第1部分給出教材中的例子并進行討論，第2部分作者討論中關于物理量量綱Π 定理以及應用舉例，第3部分給出本文結論，最后在附錄中列出我們找到的教材中的規范表達形式。

1 一道熱統例題量綱的討論

我們以教材第一章課后習題1.19為例子，分析量綱的問題。

其中，Cp =cpL。

整個求解過程看上去似乎是沒有問題的。但是正如引言所說，最終的結果看上去存在很大的問題。最直觀的當然就是對數函數中含有有量綱物理。這看上去很不合理。但是簡單分析也會發現計算結果中不同單位制的結果似乎又剛好抵消了。比如對同一物理系統我們用t 表示用開爾文（K）來計量的物理量具體數值，再用t 表示用毫開爾文（mK）來計量的物理量具體數值

結果看上去很神奇！ 如果不深入分析其中的原因就很難知道其中的奧秘所在。但是這其實是計算過程中對有量綱物理量的錯誤處理的結果，或者說不規范操作的結果。如果采用規范的方法，我們就會得到規范表達的物理公式，也不會出現以上看似神奇，卻有點誤導的結果。

出現上述問題的原因在于計算過程式（3）為了計算方便，把對數運算中分數的分子和分母分開，使用了對數中含有量綱的物理量計算項，比如ln（T1+T2／2）等，且一直保留到了最后的結果。這是一種非常不規范的計算，正確的計算方法一定要保證每一步的計算項都是合理的。為此本文給出以上推導過程的規范計算過程

以上表達式看上去就很合理，不會出現奇怪的量綱問題。在運算的過程中，我們一直保持了對數ln項中無量綱量，沒有破壞公式中每一項背后的物理含義。熵的量綱是熱量除以溫度，和熱容Cp 同一量綱。熱容后面的系數就是具體物理系統給出的無量綱的系數，表達式完全無單位變換的問題！

熟練的物理老師都會明白，以上式（3）和式（7）的計算結果其實一樣的。原因在于具體計算的熵增是一個定積分。讀者進一步的計算也可以由式（7）推導式（3），或者反過來推導也可以。但是需要說明的是規范表達形式（7）的物理意義非常清晰。從物理圖像上看，整個過程的熵增大概估計為整個系統的吸熱比上系統的溫度。式（3）則很看看出來這種物理性質來。雖然前面有熱容系數Cp ，但是Cp 后面跟著的系數則完全看不出來物理意義來。這就是本文引言所說的，雖然可以在物理教學中可以約定去掉一些看似不重要的常數，但是如果要真正理解某個過程的物理意義，公式中的每一項其實都有重要的意義，是不能夠任意去掉的。要不就會出現難以理解的現象。

為 了更直觀的說明以上討論，我們不妨定義兩個溫度

由于ΔT／TT無量綱，可以把它作為小量展開。式（7）變形運算過程因為有著清晰的物理意義，計算結果也一直保持著規范的形式。比如后面多出來的常數項自然被抵消了，很容易得到當桿子兩端溫差趨于零的時候熵增也為零的結果。而式（3）變形過程則很難進行下去，因為此時并沒有一個無量綱參數的存在，使得熵增為零的極限很難得到。公式花括號中的最后一項1顯得特別奇怪，難以理解其意義。因此，在物理學計算過程中保持公式中每一項合理量綱也具有非常重要的意義。這會保證在整個推導或計算過程中，物理意義的連續性和合理性。公式中的每一項都有著特定的量綱，例如溫度、質量、時間等，并代表著特定的物理意義。通過推導和理解每一項的物理意義，我們可以確保計算結果是合理的，符合物理規律。

處理以上分析的物理過程的意義外，量綱分析有助于理解各物理量之間的關系，以及在實際應用中選擇適當的單位和量值。實際上，關于物理量的量綱有個Π定律來說明量綱分析在物理研究中的重要性，下面我們來說明Π 定律及其相關應用。

2 Π 定理及其應用

Π定理是量綱分析中常用的定理，它為我們提供了一種將變量聯系起來以減少方程中物理量的方法。特別是定性分析物理系統的屬性是特別方便的。很多情況下，僅僅做量綱分析，就可以得到物理系統的很多信息。因此利用Π定理分析物理系統的量綱，進而確定物理系統的大體屬性，是成熟的物理學者必然熟練掌握的技能。要理解Π定理，我們首先來看量綱分析。物理量都有自己的單位[3]，由于各物理量之間存在著規律性的聯系，所以不必對每個物理量的單位都獨立地予以規定。我們可以選定一些物理量作為“基本量”，并為每個基本量規定一個“基本度量單位”，其他物理量的度量單位則可按照他們與基本量之間的關系式（定義或定律）導出，這些物理量稱為“導出量”，他們的單位稱為導出單位。按這種方式構成的一套單位，就構成一定的“單位制”。不同的單位制中，基本量的選取和數目都可以不同。

在選定了單位制之后，導出量的度量單位就可以由基本度量單位表達出來，這種表達式稱為該導出量的“量綱式”，設X1，X2，…，Xm 是所選單位制中的m 個基本單位，用[P ]代表導出量P的量綱式，有

[P]=Xa1 1 Xa2 2 …Xamm （11）

指數（a1，a2，…，am ）稱為物理量P 的“量綱”。很明顯，一個物理量的量綱與單位制的選擇有關。對上式兩端取對數，可以將量綱看成某個“矢量空間”中的“矢量”

ln[P]=a1lnX1 +a2lnX2 + … +amlnXm（12）

這里若把lnX1，lnX2，…，lnXm 看作m 維空間的“正交基矢”，則（a1，a2，…，am ）就是“矢量”ln[P ]在基矢上的投影，所以量綱式也可以簡寫為

ln[P]～ （a1，a2，…，am ） （13）

這里幾個物理量的量綱彼此獨立，是指無法用他們冪次的乘積組成無量綱量。用線性代數的語言表達，就是代表他們的矢量彼此線性無關。在m維空間中，最多有m 個彼此線性無關的矢量，m個矢量（a1i，a2i，…，ami）（i=1，2，…，m ）線性無關的條件是有他們組成的行列式不等于0

關于量綱分析的“Π定理”是物理學家白金漢姆（Buckingham）在1914年提出來的：設某物理問題內涉及n 個物理量（包括物理常量）P1，P2，…Pn ，我們所選的單位制中有m 個基本量（ngt;m ），則由此可做成n-m 個無量綱的量Π1，Π2，…，Πn-m 。在物理量P1，P2，…Pn 之間存在的函數關系式

f（P1，P2，…，Pn）=0 （15）

可表達成相應的無量綱形式

F（Π1，Π2，…，Πn-m ）=0 （16）

在n=m 的情況下有兩種可能：若P1，P2，…Pm的量綱彼此獨立，不能由它們組成無量綱的量;若不獨立，則還可能組成無量綱的量。以上是Π 定理的主要內容。Π 定理還有另一種表述形式：在上述條件下，第m +1個物理量Pm +i 解出可以由前m 個物理量P1，P2，…Pm 的xmi 次冪的積乘以一個無量綱的表達式表達，即

Pm+1 =Px11 1 Px221…Pxmm1Φ（Π2，…，Πn-m）（17）

Π定理的證明過程并不復雜，限于篇幅，這里不做證明。想要了解Π定理證明細節的讀者可以參閱文獻[3]。

文獻[3]不僅給出了Π定理的證明，還給出了利用Π定理對具體物理系統進行量綱分析得到了很多重要結論的例子。這些例子很多，這里選擇一個常見的單擺周期的例子來做說明。單擺是物理學重要的裝置，在大學物理教學中，在小角度擺動時，單擺的擺動可以近似看做滿足簡諧振動動力學方程。因此我們可以方便的得到單擺小角度擺動的周期T ，能量E 等。其實利用Π定理在沒有定量計算的情況下，也可以獲得很多單擺系統的信息。通常人們都會選定單擺的質量m ，重力加速度g 和擺長l 為獨立變量。要利用Π定理可以把上述物理量依據其量綱列成如下矩陣，每個縱列代表一個變量的量綱矢量。

很明顯，我們選取的m ，g 和l 量綱矩陣行列式不等于零，因此這三個量是線性無關的。而T 和E則可以由前面三個線性無關的物理量表示出來，或者說和前面三個線性無關的變量組成n-m 個無量綱的組合。那怎么找到這個組合呢？ 如果是比較簡單的物理量用眼睛看即可，或者“拼湊”也可以。其實嚴格的計算也不復雜，用線性無關的變量矩陣求解線性代數方程即可。比如我們要求T ，可以求解以下線性方程組

很明顯可以看出，x1 是m 參數系數;x2 是g 參數系數;x3 是l 參數系數，由這三個x 值作為對應三個參數的冪指數，就可以求出時間T 來。求解可得

其中，C0 是把 在零點歸一化系數，以上公式的系數都是無量綱的純數。小角度情況下，只取領頭階即可?？梢钥闯鰡螖[的周期T 既與質量m 無關，又與擺幅無關，都不是顯然的。這就是利用Π定理做量綱分析的巧妙之處。當然，根據小角度情況的結果，很容易得到C0=2π。至于其他高階修正系數，可以有單擺的動力學方程嚴格算出來。這里主要討論量綱分析，對這些系數就不做進一步討論了。

我們現在利用Π 定理，重新看上一節討論的教材1.19題。不妨選取熱量Q 和溫度T 作為基本量。因為只有兩個基本量，可以選取兩個線性無關的物理量量作為輸入參量。因此我們選擇定壓熱容Cp 和平均溫度TT 作為輸入參量，由此來分析溫差ΔT 和熵增ΔS。首先畫出量綱表

其中，C0，C1，C2，… 都是純數。很明顯，溫差ΔT 趨于零的時候，熵增為零，所以C0=0。依據對稱性分析，可以知道該系統是關于ΔT 的偶函數，所以C1，C3，…等都為零。第一個不為零的結果從C2 開始。這同時也保證了孤立系統熵增大于零的結果。這些結論都可以與嚴格計算結果式（10）保持一致。這表明我們正確地理解了物理現象背后的基本關系，并且使用了規范物理表達式。在計算過程中，保持量綱的正確有助于避免犯下計算錯誤，并確保我們得到的結果是物理上合理且符合預期。同時，保持量綱的正確可以保持公式背后的物理意義，使我們在計算和解釋物理現象時能夠保持清晰的物理圖像。式（9）很難得到有意義的物理結果來，也無法與量綱分析保持一致。因此，物理公式規范表達是物理學教學和研究過程中必須堅持的一個原則。

3 結語

本文通過一道練習題對熱力學·統計物理有量綱物理量的運算過程進行了分析，說明物理推導過程有量綱物理量規范運算方法，以及結果的規范表達方式。后面論文簡單說明了Π定理并舉例利用Π定理對物理系統進行量綱分析。量綱分析在物理學中如此重要，因此在物理基礎課教學中應予足夠的重視。其實在工程領域，量綱分析也至關重要。工程師能夠借助量綱分析更好地理解物理量之間的關系，選擇合適的材料、尺寸和工藝參數，確保產品性能和安全。量綱的理論為我們提供了一種簡潔而通用的物理量描述方法，為科學研究和工程技術應用奠定基礎。國際單位制的制定促進了全球科學研究和技術應用的合作?？偟膩碚f，量綱在物理學中的歷史和意義是多方面的。它不僅為科學研究提供了基礎，還對工程技術的發展和國際交流合作起著重要作用。不管是在物理學教學中，還是研究過程中，物理量的規范運算是一種重要的原則。掌握分析物理量量綱是一項重要物理學技能，希望本文能夠對量綱分析的教學有一定的幫助。

以上關于量綱的討論基本上都是基于經典物理進行的，實際上，在量子力學物理量綱以及標度就成為了更加重要的問題。這是因為在測不準關系是量子力學的基本規律，因此物理量的測量結果依賴于具體物理系統的能量標度，物理理論也隨著能量標度演化而演化，這就是量子場論中著名的重整化群跑動理論[4，5]。感興趣的讀者可以繼續深入學習量綱理論。

附錄

論文作者檢查了汪志誠《熱力學·統計物理》（第六版）教材中的物理公式，梳理出來有問題的表達式，并給出了規范表達形式。下面分章節分別給出。特別說明， 論文作者假定讀者對汪《熱統》教材足夠熟悉，因此附錄內容主要給出公式規范表達形式， 簡單補充說明，并沒有詳細說明其推導過程。

A 第一章 熱力學的基本規律