有阻力的拋體運動問題探究

摘? ?要：拋射體在介質中的運動是一個平面問題，即沿著一平面曲線行進。運用導數、微積分的有關知識建立并解決有阻力的拋體運動的問題，得出各變量間的函數關系，并運用簡單的物理知識，通過求極限得到無阻力情況的結果。

關鍵詞：阻力；拋體問題；導數；微分方程

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0073-4

實際的拋體運動規律有簡單的也有復雜的，最簡單的莫過于在地球表面附近的拋體只受恒定的重力作用，應用高中的物理知識就可以求出其運動規律和軌跡方程。復雜的拋體運動如炮彈、火箭、導彈就需要考慮很多因素：空氣阻力、地球自轉引起的科氏力、緯度的變化、重力加速度的變化［１］。空氣阻力的變化也很復雜，速度不大時與速度成正比，速度較大時與速度的平方成正比，速度再大就與速度的立方甚至五次方成正比。如果所有因素都考慮的話，那么這種運動的規律將相當復雜，也不可能有解析解。一般工程上都是根據所考慮的因素列出微分方程組，利用電腦求出數值解。

本文只研究比高中稍微復雜的一類情況：可看成質點的拋體只受重力和空氣阻力作用，不考慮其他力的情況。空氣阻力的大小分兩種情況：空氣阻力大小與速度成正比；空氣阻力大小與速度平方成正比。第一種情況可以直接在直角坐標系中寫出運動微分方程組，并且可以求得其解析解。對第二種情況，可通過坐標變換的方式求出軌道方程在水平方向的解析解，但不能求出豎直方向的解析解，更不用說整個運動規律的解析解。因此，本文只討論兩種情況下的拋體運動的規律和軌跡方程。

１? ? 豎直向上的拋體運動

１．１? ? 阻力與速度成正比

由此可得到一個結論：與不受空氣阻力相比，物體在受與速度成正比的阻力時落地時間確實要短一些，且空氣阻力系數越大，物體落地時間越短。

１．２? ? 阻力與速度平方成正比

質量為ｍ的物體以初速度v0從地面豎直上拋，設空氣阻力f=kv2（k為常數）。接下來討論物體達到的最大高度和物體返回原處的速度大小。

如圖1所示，取y坐標豎直向上，原點O在地面上。則上升時，物體的運動方程為

２? ? 豎直向下的拋體運動

２．１? ? 阻力與速度成正比

質量為ｍ的質點，在有阻力的空氣中無初速地自離地面為ｈ的地方豎直下落，如阻力與速度成正比，研究其運動。

這就是所要求的關系。因為當ｔ→∞時，ｔｈ（ｋｇｔ）→１，故物體的速度由零逐漸增大，但以定值■為其極限。極限速度與運動物體在和運動垂直方向的最大截面積有關。例如，跳傘者自飛機跳下，如張開降落傘的極限速度約為５ ｍ/ｓ，而不張開降落傘的極限速度約為５０ ｍ/ｓ，相差１０倍左右。

３? ? 有阻力的斜拋運動

４? ? 討? 論

此結果與１．１完全一致。

討論３? ?軌跡開始時雖近似于拋物線，但當x值逐漸增大時（取vx0為正），軌跡的形狀也就逐漸與拋物線的形狀越差越大了。由上述討論還可以看出，當ｘ趨向于時，ｙ趨向于負無窮大，即軌道在x=處變成豎直直線。

參考文獻：

［１］葉柯． 有阻力豎直上拋的運動時間［Ｊ］．物理教學，１９９１，13（６）：１１.

［２］同濟大學數學系.高等數學（第六版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：２１－２９.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2023-12-18

基金項目：四川省哲學社會科學重點研究基地、四川省教育廳人文社會科學重點研究基地、四川省教育發展研究中心立項課題“‘五育并舉視域下校本化育人體系構建實踐研究”（ＣＪＦ２３０２８）。

作者簡介：王永雄（１９８３－），男，中學高級教師，主要從事高中物理競賽與強基計劃培訓。