有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題探究

摘? ?要：拋射體在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)平面問(wèn)題，即沿著一平面曲線行進(jìn)。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、微積分的有關(guān)知識(shí)建立并解決有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，得出各變量間的函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用簡(jiǎn)單的物理知識(shí)，通過(guò)求極限得到無(wú)阻力情況的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：阻力；拋體問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)；微分方程

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2024）6-0073-4

實(shí)際的拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有簡(jiǎn)單的也有復(fù)雜的，最簡(jiǎn)單的莫過(guò)于在地球表面附近的拋體只受恒定的重力作用，應(yīng)用高中的物理知識(shí)就可以求出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律和軌跡方程。復(fù)雜的拋體運(yùn)動(dòng)如炮彈、火箭、導(dǎo)彈就需要考慮很多因素：空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)引起的科氏力、緯度的變化、重力加速度的變化［１］。空氣阻力的變化也很復(fù)雜，速度不大時(shí)與速度成正比，速度較大時(shí)與速度的平方成正比，速度再大就與速度的立方甚至五次方成正比。如果所有因素都考慮的話，那么這種運(yùn)動(dòng)的規(guī)律將相當(dāng)復(fù)雜，也不可能有解析解。一般工程上都是根據(jù)所考慮的因素列出微分方程組，利用電腦求出數(shù)值解。

本文只研究比高中稍微復(fù)雜的一類情況：可看成質(zhì)點(diǎn)的拋體只受重力和空氣阻力作用，不考慮其他力的情況。空氣阻力的大小分兩種情況：空氣阻力大小與速度成正比；空氣阻力大小與速度平方成正比。第一種情況可以直接在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程組，并且可以求得其解析解。對(duì)第二種情況，可通過(guò)坐標(biāo)變換的方式求出軌道方程在水平方向的解析解，但不能求出豎直方向的解析解，更不用說(shuō)整個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的解析解。因此，本文只討論兩種情況下的拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和軌跡方程。

１? ? 豎直向上的拋體運(yùn)動(dòng)

１．１? ? 阻力與速度成正比

由此可得到一個(gè)結(jié)論：與不受空氣阻力相比，物體在受與速度成正比的阻力時(shí)落地時(shí)間確實(shí)要短一些，且空氣阻力系數(shù)越大，物體落地時(shí)間越短。

１．２? ? 阻力與速度平方成正比

質(zhì)量為ｍ的物體以初速度v0從地面豎直上拋，設(shè)空氣阻力f=kv2（k為常數(shù)）。接下來(lái)討論物體達(dá)到的最大高度和物體返回原處的速度大小。

如圖1所示，取y坐標(biāo)豎直向上，原點(diǎn)O在地面上。則上升時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)方程為

２? ? 豎直向下的拋體運(yùn)動(dòng)

２．１? ? 阻力與速度成正比

質(zhì)量為ｍ的質(zhì)點(diǎn)，在有阻力的空氣中無(wú)初速地自離地面為ｈ的地方豎直下落，如阻力與速度成正比，研究其運(yùn)動(dòng)。

這就是所要求的關(guān)系。因?yàn)楫?dāng)ｔ→∞時(shí)，ｔｈ（ｋｇｔ）→１，故物體的速度由零逐漸增大，但以定值■為其極限。極限速度與運(yùn)動(dòng)物體在和運(yùn)動(dòng)垂直方向的最大截面積有關(guān)。例如，跳傘者自飛機(jī)跳下，如張開(kāi)降落傘的極限速度約為５ ｍ/ｓ，而不張開(kāi)降落傘的極限速度約為５０ ｍ/ｓ，相差１０倍左右。

３? ? 有阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)

４? ? 討? 論

此結(jié)果與１．１完全一致。

討論３? ?軌跡開(kāi)始時(shí)雖近似于拋物線，但當(dāng)x值逐漸增大時(shí)（取vx0為正），軌跡的形狀也就逐漸與拋物線的形狀越差越大了。由上述討論還可以看出，當(dāng)ｘ趨向于時(shí)，ｙ趨向于負(fù)無(wú)窮大，即軌道在x=處變成豎直直線。

參考文獻(xiàn)：

［１］葉柯． 有阻力豎直上拋的運(yùn)動(dòng)時(shí)間［Ｊ］．物理教學(xué)，１９９１，13（６）：１１.

［２］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：２１－２９.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2023-12-18

基金項(xiàng)目：四川省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地、四川省教育廳人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地、四川省教育發(fā)展研究中心立項(xiàng)課題“‘五育并舉視域下校本化育人體系構(gòu)建實(shí)踐研究”（ＣＪＦ２３０２８）。

作者簡(jiǎn)介：王永雄（１９８３－），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中物理競(jìng)賽與強(qiáng)基計(jì)劃培訓(xùn)。