光滑曲面上繩子或鏈條張力的確定

王偉民　辛存良

摘? ?要：采用微積分的方法對一道涉及光滑的定滑輪上靜止繩子中張力的問題進行解析；推導沿高度遞增的光滑斜面拉動質量分布均勻的繩子需要的拉力公式，以例題解答的方式闡述這一公式在解決相關問題中的應用。

關鍵詞：均質繩；光滑曲面；張力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0070-4

將有質量的繩子或鏈條放在高度遞增的光滑曲面上，在其最上端施加外力使其保持平衡狀態，若繩子或鏈條的各部分都緊貼在曲面上，由于其自身重力的作用，繩子或鏈條有沿曲面下滑的趨勢，使得各部分相互牽拉而產生張力。因為繩子或鏈條與光滑曲面之間只存在正壓力，不存在摩擦力，所以，對平衡狀態下的繩子或鏈條，當其下端受到沿曲面切線方向向下的拉力，繩子或鏈條各部位依然緊貼曲面的情況下，這個額外施加的力會大小不變地“傳遞”到繩子或鏈條的各點——即繩子或鏈條各點的張力都比原來多出了這個增加的拉力。利用這一規律和相關條件，可以求解繩子或鏈條各點張力的大小。

1? ? 對一道力學題目的解析

例題１? 質量為ｍ、長為ｌ的均勻繩，搭在半徑為Ｒ的光滑的定滑輪上，如圖１所示，求繩中的最大張力［１］。

分析? 因為繩子質量分布均勻，滑輪是光滑的，所以繩子搭在滑輪上能夠保持靜止狀態時，滑輪兩邊繩子的長度必須是相等的。顯然，這種狀況下繩子張力最大的位置在其最高點，即圖２中的Ａ點，因此，我們只需確定該點繩子的張力即可。本題解法較多，下面先采用微積分的方法進行求解。

解析 如圖２所示，Ｃ點是壓在光滑滑輪邊緣圓弧型繩子上的任意一點，ＯＢ是滑輪的水平半徑，設∠BOC=θ。依題意可知，繩子的線密度為ρ=m/L。在Ｃ點的上方取一段微圓弧繩子dl，它所對的圓心角為dθ，那么這段微圓弧繩子的質量為

dm=ρdl=（m/L）Rdθ

在光滑滑輪上，沿滑輪邊緣的切線方向單獨牽拉這段微圓弧繩子并保持平衡時需要的拉力為

我們可否避開微積分方法，采用中學的知識進行求解呢？

2? ? 沿光滑曲面勻速拉動繩子需要的拉力

先分析沿光滑斜面向上勻速拉動質量分布均勻的柔軟繩子需要的拉力跟相關因素間的定量關系［２］。如圖３所示，光滑斜面的傾角為θ，用沿平行于斜面的力拉著線密度為ρ、長為Ｌ的柔軟繩子勻速上升，需要的拉力為

F=ρLgsinθ=ρhg

這說明，沿光滑斜面向上勻速拉動線密度為ρ的繩子需要的拉力，跟長度等于該段繩子在豎直方向上的投影且線密度也為ρ的繩子的重力相等。

由于任意曲面都可以視為很多傾角不同的斜面的組合，所以上述結論不僅適用于光滑斜面，也適用于光滑曲面——沿高度單調遞增的光滑曲面向上勻速拉動線密度為ρ的繩子。因為壓在光滑曲面上并處于牽拉狀態的繩子可以“傳遞”拉力，在拉動過程中，繩子的各部分都受到曲面的支持力（即繩子的各部分都是緊貼著曲面），所以處于平衡狀態時在繩子的上端施加沿曲面切線方向的拉力F，將等于長度為曲面上的繩子在豎直方向上投影的長度、線密度也為ρ的那段繩子的重力，即F=ρhg，如圖４所示。運用這一規律對相關問題進行求解，可以避開微積分而用中學的知識進行解答。

現運用這一規律對例題１進行解答。

跟前面用微積分方法求解的結果是一樣的。對于類似問題，我們都可以采用上述方法進行求解［３］。

3? ? 該方法在類似問題中的應用

例題２? 如圖５所示，截面外圍是拋物線的表面光滑的柱體橫放在水平桌面上，截面拋物線的對稱軸垂直于水平面。已知柱體截面（拋物面）的底面寬２ ｍ，高４ ｍ，一段線密度為２ ｋｇ/ｍ、質量分布均勻的鏈條放在柱體的側面上而保持靜止，此時鏈條在水平底面上正投影的長度為１ ｍ，求鏈條上的最大張力？（ｇ＝１０ Ｎ/ｋｇ）

分析? 由于柱體的側面都是光滑的，鏈條的質量分布均勻，所以靜止于柱體側面上的鏈條必然關于拋物線的對稱軸對稱，且拋物線頂點處鏈條的張力最大。因此，只要能夠確定拋物線兩側的鏈條在豎直方向上投影的長度，根據題目給出的鏈條線密度的條件，即可求解最高點鏈條的張力。

F=ρhg=2 kg/m×1 m×10 N/kg=20 N

即，鏈條上的最大張力為２０ Ｎ。當然，本題也可以用微積分的方法進行求解。不過，相比于直接運用公式F=ρhg的求解方法，采用微積分的方法進行解答的過程較為復雜。

例題３? 如圖７所示，表面光滑的圓柱體橫放于水平地面上，其截面半徑R=0.8 m（圖中為圓柱體的橫截面，Ｏ是截面圓的圓心）。Ａ、Ｂ為兩個半徑都是r=0.2 m金屬球的球心，Ａ、Ｏ、Ｂ三點在同一水平線上，Ａ'Ｃ、Ｂ'Ｄ是兩根輕質無彈性細線，將兩個金屬球與一段質量分布均勻的軟繩（圖２中壓在圓?。茫纳系睦K子）的兩端相連接，且Ｃ、Ｄ兩點是細線Ａ'Ｃ和Ｂ'Ｄ與圓Ｏ相切的切點。兩金屬球的質量均為０．４ ｋｇ，圓弧繩子的線密度為ρ=1 kg/m。試求繩上的最大張力。（?。纾剑保?Ｎ／ｋｇ）

分析 系統穩定后，Ａ金屬球受到自身重力、圓柱體對其水平向左的支持力和繩子對球的拉力這三個力的作用（Ｂ金屬球的受力情形類似，不再重復分析），其中球的重力及細線拉力的示意圖如圖８所示。因為圓柱體的側面是光滑的，CD段繩子及兩個金屬球的位置都是關于圓柱體的豎直直徑對稱，所以圓弧繩子最高點Ｅ處的張力最大，大小等于跟圓弧在豎直方向上投影長度對應、同樣線密度繩子的重力與細線ＡＣ對Ｃ的拉力（也等于對Ａ的拉力）之和。因此，根據題目條件，只要能夠確定細線對金屬球拉力的大小和弓形的高ＥＨ即可。

因為OH=Rcos∠COH=Rcos∠OAC=0.48 m，所以EH=OE-OH=0.32 m。

因此，繩子最高點Ｅ處的張力大小為

F=T+ρg·EH=5 N+1 kg/m×0.32 m×10 N/kg=8.2 N

所以，繩子上的最大張力為8.2 N。

4? ? 結? ?語

高度單調遞增的光滑曲面上放置的質量分布均勻的繩子（或鏈條）保持平衡狀態，或對其施加外力使其保持平衡狀態，如果繩子（或鏈條）上的各部分都是緊壓在曲面上，那么，由于自身重力而使繩子（或鏈條）上某點產生張力，張力的大小等于曲面上跟該點下方的繩子（或鏈條）在豎直方向上投影長度相等的同樣線密度的繩子（或鏈條）的重力。利用這一規律并結合相關條件，可以方便、快捷地求解光滑曲面上繩子的張力問題。

參考文獻：

［１］楊榕楠．更高更妙的物理：高考高分與自主招生決勝篇（第二版）［Ｍ］．杭州：浙江大學出版社，２０１８．

［２］王偉民，牟銀勇．等時圓——求解物體沿光滑斜面滑行問題中的橋梁［Ｊ］．物理教學探討，２０２３，４１（２）：６１－６４．

［３］曹鵬，李力．任意光滑曲面上靜止均質鏈所需拉力與總支持力的計算［Ｊ］．物理教師，２０１７，３８（６）：６１．

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：王偉民（1964-），男，中學高級教師，主要從事中學物理教學研究。

*通信作者：辛存良（1977-），男，中學高級教師，主要從事中學物理教學研究。