小學數學教材中數學文化資源的融合開發

摘要 隨著課程改革的不斷深入，數學文化的教育教學價值日益凸顯。以特色版塊“你知道嗎”為載體，聚焦數學文化資源，依據其在課堂教學中的不同功能定位，形成數學文化資源融合模式：包含結構融合模式、互補結構融合模式、延展結構融合模式和提升結構融合模式。基于這些融合模式，設計“萌發—生長—豐盈”“一維—兩維—多維”“起步—延展—融合”“追問—思辨—提升”四條教學路徑，以期更好發揮數學文化“以文化人”的育人作用。

關? 鍵? 詞 小學教學；數學文化；數學文化資源；“你知道嗎”

引用格式 王衛東.小學數學教材中數學文化資源的融合開發[J].教學與管理，2024（20）：67-71.

數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[1]。數學文化是人類的物質與精神財富，也是數學學科教學的重要組成部分。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下稱《2022版課標》）在“課程理念”部分強調，數學課程內容的選擇“要關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化”[2]。數學文化并非自生自滅的封閉系統，而是一個開放的系統[3]，包括數學家、數學史、數學游戲、數學教育、數學在其他學科中的應用等內容。研讀現行的人教版、蘇教版及北師大版小學數學教材后發現：數學文化滲透在教材中的每道例題、習題里，除此以外，教材還設置了特色版塊“你知道嗎”，并以此為載體將數學文化加以集中呈現，這為在數學教學中融入數學文化提供了很多寶貴的、權威的教學資源。

然而，在日常教學活動中，對待數學文化資源時，有些教師常常止步于簡單處理，學生淺嘗輒止，一讀了之；有些教師甚至認為，數學文化資源屬于拓展內容，不在考試范圍內，為“節約”課堂教學時間，他們甚至選擇視而不見，一“跳”而過。那么，教材中的數學文化資源如何與例題、習題的教學相融合，才能發揮其教育教學價值呢？本文以教材中特色版塊“你知道嗎”為載體，探討數學文化的融合開發。

一、數學文化資源的教材分析

當數學文化的魅力真正滲入教材，到達課堂，融入教學時，數學就會平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學[4]。因此，數學文化資源與例題、習題教學的融合開發應從研讀教材開始，唯有在深度理解教材的基礎上，我們才能創造性地運用教材，才能更有效地發揮數學文化的育人價值。基于這樣的認識，筆者將人教版、蘇教版以及北師大版教材中“你知道嗎”的內容進行對比，發現其中涉及的數學文化資源具有以下三個編排特點。

1.教學內容具有主次性

上述三個版本的數學教材中，“你知道嗎”作為例題、習題的知識背景，常常被編排在某個知識節點的結尾處，起著延展例題、習題內容的作用。如果把教材中例題、習題內容看作數學課堂教學的“主食”，那么教材中的數學文化資源就好比是“輔食”，兩者在編排的數量、篇幅方面存在較大差異。這種主次分明的編排特點是由課程標準設置的課程內容所決定的，但需要注意的是，雖然與“主食”相比，數學文化所占比例不高，但其作為“輔食”的營養價值卻不可忽視。

2.編排分布具有不均衡性

數學文化滲透在教材的每一個細節中，但以“你知道嗎”為載體的數學文化資源，在編排時卻存在分布不均衡的特點。以蘇教版教材中涉及到的數學史為例（見表1），從學段來看，第三學段有10處，第一學段只有5處；從知識領域來看，“數與代數”領域高達16處，而“概率與統計”領域只有1處。即便在同一知識領域，不同學段里的數學文化資源也存在著數量上的差異。

3.內在關聯具有不穩定性

“你知道嗎”中涉及的數學文化是例題、習題的延伸，它與教材知識點之間有著很強的關聯性。如在學習方程時，三種版本的教材中都不約而同地引入了人類利用方程解決問題的歷史，介紹了我國《九章算術》中的方程思想。因此，知識之間的內在關聯也就決定了數學文化之間的結構關系，但教材中并非每個知識點之后都編排有“你知道嗎”，這就造成了數學文化資源之間的關聯程度時強時弱，具有不穩定性。

二、數學文化資源的融合模式

從教材編排特點可以看出，立足數學文化資源與例題、習題的關聯，對它們實施融合開發，既順應教材的編排特點，也符合學生的認知習慣，是一條切實可行的思考路徑。為此，筆者基于為數學課堂教學服務的理念，根據數學文化在課堂教學中的不同功能定位，對數學文化資源與相應的例題和習題之間的關系進行分類，由此形成了四種融合開發模式：包含結構融合模式、互補結構融合模式、延展結構融合模式和提升結構融合模式（如圖1）。其中A部分表示的是教材中的例題和習題，B部分表示的是教材中“你知道嗎”板塊中涉及的數學文化資源。

1.包含結構融合模式

顧沛教授認為，從狹義上說，數學文化包含數學精神、數學思想、數學方法、思維和觀點，以及它們的形成和發展。從廣義上說，除了上述內涵外，數學文化還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系，等等。其實，不管從哪個層面來看，教材中的例題、習題都屬于數學文化資源的一部分，數學文化包含且潤澤著例題、習題的教學，伴隨著學生學習數學的整個過程。

2.互補結構融合模式

《2022版課標》指出，要讓學生“能夠探究自然現象或現實情景所蘊含的數學規律，經歷數學‘再發現的過程”[5]，但受到文字篇幅、教學時長等因素的影響，教材中的例題和習題有時無法完整展現知識的萌發、發展以及豐盈的全過程。此時，“你知道嗎”中的數學文化資源就可以發揮補充功能，通過完善知識體系、豐富探究方法、講述數學故事、介紹數學歷史等方式，實施對例題、習題教學的必要補充。

3.延展結構融合模式

例題和習題是落實課程內容的主要載體，承擔著實施課程教學的重要任務，因此在不同的年級階段，教材都有著明確而又具體的知識教學要求。與例題和習題不同的是，數學文化資源無需承載著上述教學要求，但作為教材編排的延展內容，它們理應發揮前延和后展的教育功能。這里的前延與后展，既可以表現為對知識領域的拓展，也可以表現為對數學思想的貫通，還可以表現為對數學視野的開闊，等等。

4.提升結構融合模式

王梓坤指出，“向數學精英學習，學習他們先進的思想、方法和技巧，尤其是熱愛數學、追求真理的精神。”[6]也就是說，數學教學帶給學生的不僅僅是知識的習得，還有關鍵能力的提升，更有必備品格的塑造。發揮數學文化的提升融合功能，可在例題、習題教學中更好地實現育人的價值。因為與教材中例題、習題的內容相比，“你知道嗎”中提及的數學家研究數學的過程更鮮活、更具體，數學發展演變的歷程更生動、更直觀，對激發學生創新意識，培養理性精神也更為直接。

三、數學文化資源的教學路徑

1.基于包含結構融合模式，以“萌發—生長—豐盈”為教學路徑，建構知識體系

數學具有簡潔性，古今中外的數學家都追求數學發現的簡潔表達。然而，在這些凝練的數學文字和符號背后，承載著數學知識慢慢孕育、不斷生長的過程，也記錄著人類勇于探索、敢于創造的數學歷史。數學知識的發展歷史是數學文化的重要組成部分，借力數學史的教學，能夠引導學生認識到數學知識的來源與發展，體驗和感悟數學發展變化的特點，進而引導學生深入地理解數學知識、認識數學特征[7]。基于這樣的認識，我們以數學歷史為教學主線，在數學文化的滋養下帶領學生開展學科實踐，讓他們像科學家一樣去思考，在提出猜想、實踐操作、驗證猜想、形成結論的過程中，逼近數學知識的本質，感受數學文化的脈搏。

以“圓的認識”教學為例，北師大版數學教材六年級上冊“圓的認識（一）”中編排了如圖2的數學文化資源：

“圓，一中同長也”，這是古人在對圓的特征有了充分認識的基礎上，進行的一種精準而又凝練的表達，在很多經典的教學課例中都有著精彩的演繹。其實，古今中外關于圓的數學文化還有很多，如何將這些零散的數學文化資源進行整體建構，使之伴隨認識圓的整個過程呢？為此，教師采用包含結構融合模式，發揮數學文化資源的包含功能，以“萌發—生長—豐盈”為教學路徑，設計教學活動（見表2）。

上述教學活動中，教師引入數學文化“圓，一中同長也”“不以規矩，不能成方圓”“一切平面圖形中最美的是圓形”，并以教學板塊的形式將它們串點成線，貫穿于整個學習過程，從而保證課堂教學的整體性與層次性。此外，從三句數學名言衍生出三大學習任務、進而聚焦三大核心問題，使得例題、習題的教學得以浸潤在數學文化之下，從探究圓的特征到掌握圓的畫法，再到感受圓的魅力，數學知識在學生的心中悄然萌發、生長、豐盈。此外，在課的結尾部分，教師還引導學生在三句名人名言的基礎上說出屬于自己的“經典名言”，以此鼓勵他們去發現、思考、創造，實現了數學文化的傳承與創新。

2.基于互補結構融合模式，以“一維—兩維—多維”為教學路徑，豐富探究方法

數學文化是人類哲學思想與實踐智慧的結晶，不同的時代、不同的地域、不同的環境，使人們對數學有著不一樣的理解，也有著更為豐富的表達。然而，學科數學不等同于科學數學，為了遵循學生的認知特點和教育規律，也為了節約教學時間、提高教學效率，例題和習題中呈現的數學知識往往更純粹、探究方法更優化、數學思想更清晰。但我們不能因此而一葉障目不見泰山，誤以為這些就是數學的全部。為此，教材通過特色板塊“你知道嗎”對例題、習題進行了必要補充，其中不乏經典的數學文化資源。在課堂教學時，教師要發揮這些數學文化資源的補充功能，將它們和例題、習題的教學有機融合。

例如，哥德巴赫猜想是“數學皇冠上的明珠”，我國數學家陳景潤在此領域取得了舉世矚目的研究成果。在學生學習完倍數與因數之后，人教版、蘇教版五年級數學教材均拓展了相關內容。面對這一數學文化資源，教師們通常會讓學生通過閱讀了解哥德巴赫猜想，見證陳景潤的巨大貢獻，以此激發民族自豪感。這樣的教學固然需要，但我們的教學不能止步于此。

仔細研讀教材后不難發現：分解質因數是將合數分解成質數相乘的形式，哥德巴赫猜想是將數的分解形式從質數相乘擴充到質數相加，而數學家陳景潤“1+2”式的證明，更是將數的分解形式拓展至加乘混合。毫無疑問，教材中的數學文化資源極大地豐富了數的探究方式，形成了對教材例題與習題的有效補充。為此，筆者基于互補結構融合模式，發揮數學文化資源的補充功能，以“一維—兩維—多維”為教學路徑，將數學文化資源進行深度開發：從質數相乘的形式到質數相加的形式，再到加乘混合的形式。在學習活動中，探究的路徑從單一到多元，思維的方向從定向到發散。更為可喜的是，不少學生受此啟發還聯想到新的猜想：數的分解還有其他形式嗎？由此，他們的創新意識得以喚醒、探索興趣得以激發。

3.基于延展結構融合模式，以“起步—延展—融合”為教學路徑，貫通數學思想

經驗就是從已經發生的事件中獲取的信息，它是認識的初級階段，在學習活動中有著無法替代的作用。杜威就曾提出：“教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力。”兒童的認知過程離不開經驗的積累，在數學文化與課堂教學融合的過程中，教師以例題或習題中習得的經驗為起步，借助教材中數學文化資源的延展功能，通過遷移與變式對學生已有的經驗加以豐富，進而在內化與重構中實現新舊經驗的有效融合。

比如，關于平行四邊形面積計算公式的推導方法，在現行人教版、蘇教版教材中，例題采用的都是“割補法”，即把平行四邊形沿著高剪開后，補成一個面積相等的長方形，但在推導三角形、梯形的面積計算公式時，采用的卻是“倍拼法”，即把兩個完全相同三角形（或梯形）拼成一個平行四邊形。雖然都是把新知轉化為已知，但轉化路徑卻完全不同。平行四邊形、三角形和梯形編排在同一個單元，為什么采用的教學方法卻不一樣呢？究其原因，如果三種圖形轉化時都采用“倍拼法”，則兩個完全相同的平行四邊形拼起來后仍然是平行四邊形，無法將新知轉化為舊知；如果都采用“割補法”，則把三角形、梯形沿著高剪開后，很難拼成一個等積的長方形。

如何才能讓學生感受到轉化思想的一致性呢？教材編排的數學文化資源“半廣以乘正從”為解決這一問題帶來了啟發（如圖3）。為此，教師基于延展結構融合模式，發揮數學文化資源的延展功能，以“起步—延展—融合”為教學路徑，開展這樣的教學活動：起步階段，在學生學習完例題的基礎上，通過提問“這樣的方法正確嗎？”引導學生展開推理活動，認識到“半廣以乘正從”方法的正確性與合理性。延展階段，再次追問“教材中呈現的是等腰三角形，對于其他類型的三角形是否也可行呢？”由此引導學生從特殊到一般，探究“半廣以乘正從”方法的普適性。融合階段，通過反問“這樣的方法可以推導出平行四邊形、梯形的面積計算方法嗎？”進而實現“以盈補虛”思想的貫通（如圖4）。

4.基于提升結構融合模式，以“追問—思辨—提升”為教學路徑，培養理性精神

理性精神是數學素養之一，也是數學文化的精髓所在。《2022版課標》指出，要讓學生在數學學習的過程中“發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神”[8]。

在學習用方程解決問題時，教材編排了關于方程的數學發展史，我國古代數學家在這方面的貢獻也不容小覷（如圖5）。為了彰顯數學文化的力量，教師采用提升結構融合模式，發揮數學文化資源的提升功能，以“追問—思辨—提升”的教學路徑實施教學。

當學生讀完材料之后，教師追問：表示未知數時，我國古代數學家用的是“天元術”，西方數學家用的是字母，它們都能解決一些問題，可為什么我們現在學習方程時，通常是用字母來表示未知數呢？這樣的追問引發學生熱烈的討論，他們的思辨活動由此展開：有的同學猜測，用“天元術”表示未知數時寫的漢字比較多，筆畫也多，沒有字母寫起來簡潔方便；有的同學認為，中國古代的數學確實很輝煌，但是中國近代的數學并不發達，自然也就很難有機會在全世界傳播開來……在此基礎上，教師再次追問：“既然現在學習方程時，沒有沿用‘天元術，為什么教材還要介紹它呢？”深思之后，有的學生提出了這樣的觀點：這些都是我們祖先的智慧，作為后人，我們應該把自己國家的文明傳承下去；有的學生認為，只有認識到自己的不足，才會激勵我們奮發圖強，創造更先進的中華文明……透過這些看似平淡的數學史料，學生在思辨中尋到自己的答案。他們的理性思維在提升，理性精神在閃耀，與此同時，增強文化自信，培養民族自豪感，塑造積極向上的價值觀。

教育猶如一條大河，文化就是河的源頭和不斷注入河中的活水，研究教育而不研究文化，只能知道這條河的表面形態而摸不著它的本質特征[9]。數學文化和數學素養相輔相成，它們的指向相同，都是為了學生的發展，但教師在將它與教材中例題、習題教學相融合時，不能生搬硬套，更不能本末倒置，而要根據教與學的需要融合開發，這樣才能借助數學文化的滋養，讓學生見證數學知識的由來與未來，感受思想方法的鮮活與靈動，感悟文字背后的精神與力量。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：10.

[2][5][8] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數學文化學[M].成都：四川教育出版社，2001：5-10.

[4] 張奠宙.數學文化[J].科學，2003，55（03）：50-52.

[6] 王梓坤，為當代數學精英——菲爾茲獎得主及其建樹與見解題詞[M].上海：上海科技教育出版社，2001：2.

[7] 康世剛.小學課程中的數學文化：內涵特點、主要內容與學習價值[J].課程·教材·教法，2022，42（03）：99-105.

[9] 顧明遠.中國教育的文化基礎[M].太原：山西教育出版社，2004：1.

[責任編輯：陳國慶]