多元不等式最值（范圍）問題九大處理策略

［摘 要］ 解決多元不等式最值（范圍）問題是高中生甚至教師的一大薄弱環(huán)節(jié)，文章針對(duì)這一問題，從邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)形結(jié)合等角度出發(fā)探索處理策略，試圖提升讀者的思維能力和解題能力，為后續(xù)研究提供方向和思路.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；邏輯推理；多元不等式；最值；策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大要素. 數(shù)學(xué)家伍鴻熙說：“推理是數(shù)學(xué)的‘命根子’.”筆者認(rèn)為，邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的核心. 在高中數(shù)學(xué)中有一類多元不等式最值（范圍）問題對(duì)邏輯推理能力的要求較高，學(xué)生對(duì)這類問題往往難以入手. 筆者嘗試對(duì)這類問題的處理策略加以探究，供大家參考.

策略一：利用不等式的可加（乘）性建立條件與目標(biāo)的關(guān)系

題1 已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，則8x·

的取值范圍是（ ）

A. ［4，128］ B. ［8，256］

C. ［4，256］ D. ［32，1024］

分析 利用待定系數(shù)法先將目標(biāo)用已知的線性關(guān)系表示出來，再利用不等式的可加性進(jìn)行處理.

略解 8x·

=23x-2y. 設(shè)3x-2y=m（x+y）-n（x-y）=（m-n）x+（m+n）y，所以m-n=3，

m+n=-2，解得

m=，

n=-，則3x-2y=（x+y）+（x-y）. 因?yàn)?1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，所以3x-2y=（x+y）+（x-y）∈［2，8］，所以23x-2y∈［4，256］.

點(diǎn)評(píng) 該解法把x+y，x-y看著兩個(gè)整體進(jìn)行處理，運(yùn)用的是整體思想. 另外，對(duì)于這種條件與目標(biāo)均含有二元一次型式子的題目，也可以用線性規(guī)劃的方法進(jìn)行處理.

題2 已知x，y為實(shí)數(shù)，滿足2≤xy2≤3，3≤≤4，則的最大值是______，此時(shí)x+y=______.

分析 利用待定系數(shù)法先將目標(biāo)用已知的乘積關(guān)系表示出來，再利用不等式的可乘性進(jìn)行處理.

略解 設(shè)x5y-5=（xy2）m·

=xm+2ny2m-n，所以m+2n=5，

2m-n=-5，解得m=-1，

n=3.

因?yàn)?≤≤4，所以27≤

≤64. 因?yàn)?≤xy2≤3，所以≤≤. 由不等式的可乘性得9≤

≤32，即9≤≤32，故的最大值為32，此時(shí)

=4，

xy2=2，解得x=2，

y=1，x+y=3.

點(diǎn)評(píng) 該解法同題1的解法一樣，也運(yùn)用了整體思想. 但要注意的是，運(yùn)用不等式的可乘性時(shí)要有“同向且同正”的條件.

策略二：利用齊次化處理策略達(dá)到減元的目的

題3 已知正數(shù)a，b，c滿足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是______.

分析 由ln及的分式結(jié)構(gòu)容易想到，將已知的不等式條件同時(shí)除以c，作比值換元（將三元變成兩元），再利用線性規(guī)劃知識(shí)進(jìn)行處理.

略解 題設(shè)條件可化為

+≥5，

+≤4，

≥e

，設(shè)x=，y=，則3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x，y>0，目標(biāo)函數(shù)為z=，利用線性規(guī)劃知識(shí)易得的取值范圍為［e，7］.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于多元問題，常采取差值代換、比值代換等策略以達(dá)到減元的目的.

策略三：利用主元法，結(jié)合函數(shù)思想求最值

題4 設(shè)a>b>c>0，則2a2++-10ac+25c2的最小值是（ ）

A. 2 B. 4

C. 2 D. 5

分析 題目中的a，b，c只有大小關(guān)系，沒有等量關(guān)系，可看著a，b，c相互獨(dú)立，結(jié)合a，b，c出現(xiàn)的分布特征，依次將c，b，a看作主元進(jìn)行處理.

略解 以c為主元整理得2a2++-10ac+25c2=（5c-a）2+++a2≥++a2，再以b為主元整理得++a2=+a2≥+a2=+a2，最后以a為主元整理得a2+≥2·a·=4，當(dāng)且僅當(dāng)5c=a，b=a-b，a=即a=，b=，c=時(shí)取等號(hào).

點(diǎn)評(píng) 將其中一個(gè)變量看作主元，其他變量看作常數(shù)的處理方法稱為主元法. 主元法適用于變量相互獨(dú)立的多元問題. 另外，本題要注意同時(shí)取等號(hào)的條件.

策略四：利用基本不等式求最值

題5 a，b，c>0，求的最小值.

分析 先利用基本不等式消除常數(shù)項(xiàng)5，將原式化為齊次式，再利用待定系數(shù)法拆項(xiàng)以達(dá)到分式系數(shù)成比例，整體比值為常數(shù)的目的.

略解 ≥，假設(shè)=≥. 由=得λ=，所以≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)a2+b2+c2=，a=c，b=c，即a2=，b2=，c2=時(shí)取等號(hào).

點(diǎn)評(píng) 分式齊次化是一種常用的方法.若多元最值問題中出現(xiàn)了“和”“積”“平方和”“倒數(shù)和”等條件或待求對(duì)象，可首選基本不等式處理策略.

策略五：利用數(shù)形結(jié)合思想，給目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義

題6 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則

2x+y-2

+

6-x-3y

的最小值是______.

分析 x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部，可考慮結(jié)合目標(biāo)的幾何意義進(jìn)行處理.

略解 易得

6-x-3y

=6-x-3y，當(dāng)2x+y-2≥0時(shí)，

2x+y-2

+

6-x-3y

=x-2y+4；當(dāng)2x+y-2<0時(shí)，

2x+y-2

+

6-x-3y

=8-3x-4y. 利用線性規(guī)劃知識(shí)易得當(dāng)x=，y=時(shí)，

2x+y-2

+

6-x-3y

的最小值為3.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于二元最值問題，常通過探究條件與目標(biāo)的結(jié)構(gòu)是否具有直線、圓（圓面）、圓錐曲線的幾何特征，從而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行處理.

策略六：利用分類討論思想達(dá)到減項(xiàng)的目的

題7 設(shè)a>0，b>0，求maxa，b

，

+的最小值.

分析 本題中a，b沒有等量關(guān)系，可以通過討論a，b的大小關(guān)系，從而達(dá)到減少maxa，b

，

+中項(xiàng)數(shù)的目的.

略解 若a≥b，則M=maxa，b

，

+=maxa

，

+，M≥a，M≥+≥+=，所以M2≥a·=4，M=2. 若a<b，則M=maxa，b

，

+=maxb

，

+，M≥b，M≥+>+=，故M2>b·=4，M>2. 所以maxa，b

，

+的最小值為2.

點(diǎn)評(píng) 這類求最大中的最小或最小中的最大問題實(shí)質(zhì)是分段函數(shù)問題，因此分類討論是常規(guī)策略. 本題先討論a，b，+三項(xiàng)中的兩項(xiàng)a，b的大小，然后利用不等式的可乘性達(dá)到消元化常數(shù)的目的.

策略七：利用三角不等式放縮確定變量的取值范圍

題8 已知實(shí)數(shù)a，b，c，則（ ）

A. 若a2+b+c+a+b2+c≤1，則a2+b2+c2<100

B. 若a2+b+c+a2+b-c≤1，則a2+b2+c2<100

C. 若a+b+c2+a+b-c2≤1，則a2+b2+c2<100

D. 若a2+b+c+a+b2-c≤1，則a2+b2+c2<100

分析 利用三角不等式將絕對(duì)值的和轉(zhuǎn)化為和或差的絕對(duì)值，進(jìn)而確定a，b，c的大致范圍.

略解 用排除法求解. A項(xiàng)：舉反例，取a=b=-4，c=-12；B項(xiàng)：舉反例，取a2=100，b=-100，c=0；C項(xiàng)：舉反例，取a=10，b=-10，c=0. 因此選D.

關(guān)于D項(xiàng)的證明：

1≥a2+b+c+a+b2-c≥a2+a+b2+b，又a2+a≥-，b2+b≥-，所以-≤a2+a≤，-≤b2+b≤，即≤a≤，≤b≤. 不妨取a，b∈［-2，2］.

1≥a2+b+c+a+b2-c≥a2-a+b-b2+2c，因?yàn)閍2-a∈

-，6

?［-6，6］，b2-b∈

-，6

?［-6，6］，所以2c∈［-13， 13］，c∈［-7，7］. 所以a2+b2+c2<22+22+72<100.

點(diǎn)評(píng) 這里實(shí)質(zhì)上用的是放縮法，但要注意證明范圍的問題可以用放縮法，求范圍的問題不能用放縮法.對(duì)于含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式問題利用三角不等式轉(zhuǎn)化是常用的處理策略.利用三角不等式將絕對(duì)值的和（差）轉(zhuǎn)化為和或差的絕對(duì)值，可以起到放縮、消元的作用.

策略八：端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍

題9 已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）. 對(duì)任意x∈［1，5］時(shí)，不等式-2≤f（x）≤2恒成立，求a+b的取值范圍.

分析 利用-2≤f（1）≤2，-2≤f（5）≤2的必要性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)a+b的取值范圍加以討論.

略解 ①當(dāng)-<1，即a>-2時(shí)，有f（1）≥-2，

f（5）≤2，所以1+a+b≥-2，

25+5a+b≤2?a≤-5，這與a>-2矛盾.

②當(dāng)->5，即a<-10時(shí)，有f（1）≤2，

f（5）≥-2，故1+a+b≤2，

25+5a+b≥-2?a≥-7，這與a<-10矛盾.

③當(dāng)1≤-≤5，即-10≤a≤-2時(shí)，有f（1）≤2，

f（5）≤2，

f

-

≥-2，1+a+b≤2，

25+5a+b≤2，

b-

≥-2?b≤1-a，

b≤-23-5a，

-2≤b?a2+4a-12≤0，

a2+20a+84≤0?-6≤a≤2，

-14≤a≤-6?a=-6.

當(dāng)a=-6時(shí)，易得b=7. 所以a+b=1.

點(diǎn)評(píng) 利用端點(diǎn)效應(yīng)可以起到縮小參數(shù)取值范圍的作用，有時(shí)還會(huì)結(jié)合中點(diǎn)或頂點(diǎn)的取值綜合處理，這都屬于必要性探路的處理策略.

策略九：逆向思維推理，整體換元轉(zhuǎn)化

題10 （2024年九省聯(lián)考第14題）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)，設(shè)0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，則max｛b-a，c-b，1-c｝的最小值為_______.

分析 通過整體換元尋求目標(biāo)式與已知條件之間的聯(lián)系.

略解 設(shè)b-a=m，c-b=n，1-c=p（m，n，p>0），則b=1-n-p，a=1-m-n-p. 若a+b≤1，則m+2n+2p≥1. 令M=max｛b-a，c-b，1-c｝=max｛m，n，p｝，則M≥m，

2M≥2n，

2M≥2p，5M≥m+2n+2p≥1，M≥，當(dāng)m=2n=2p時(shí)，等號(hào)成立. 若b≥2a，同理可得M≥. 所以max｛b-a，c-b，1-c｝的最小值為.

點(diǎn)評(píng) 該解法用到了整體換元、不等式的可加性以及必要性探路等處理策略.題7是無條件最值，只能在目標(biāo)上做文章；本題則是有條件最值，求解關(guān)鍵是尋求條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系.

結(jié)束語

上述策略都是以數(shù)學(xué)運(yùn)算為基本功，邏輯推理為關(guān)鍵能力. 針對(duì)不同類型問題采取不同的處理策略，充分體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的重要作用. 除了上述策略外，還有類比推理、夾逼定理、放縮法等策略可以用于處理多元不等式最值（范圍）問題，讀者可進(jìn)一步進(jìn)行探究.