動態(tài)生成，讓高中數(shù)學課堂煥發(fā)光彩

［摘 要］ 數(shù)學教育既要遵循科學性，又要凸顯藝術性. 藝術與科學的本質區(qū)別在于：科學研究的是客觀規(guī)律，而藝術更強調獨特性. 在教育領域，永遠找不到兩個完全一樣的情境，因為課堂會隨著教學活動的推進而不斷變化. 文章從以下幾點對高中數(shù)學課堂的動態(tài)生成展開闡述：順應學生思維，自然生成；借助典型錯誤，促進生成；探索教學方法，驅動生成.

［關鍵詞］ 動態(tài)生成；思維；錯誤

課堂預設是指教師根據(jù)教學目標與學生的認知結構而設計的教學方案；課堂生成是指教學活動過程中，因為沒有出現(xiàn)課堂預設的信息或目標，教師結合當時的實際情況靈活調控課堂教學方向，更新教學方法，實現(xiàn)超越原計劃完成教學任務的過程. 預設與生成是課堂教學的重要組成部分. 精心預設能促進課堂的成功，而預設背景下的“生成”更精彩.

順應學生思維，自然生成

數(shù)學是思維的體操，不論是課前預習、課堂教學、課后作業(yè)，還是應試等，都離不開思維的支撐. 葉瀾教授認為：課堂是向未知方向前進的旅程，意外隨時都有可能發(fā)生，正是這些意外促成了課堂美麗的風景［1］. 學生思維的變化是課堂預設無法完全把握的，正是這些變化讓課堂變得更加生動，富有生命力.

縱然教師在課前都會結合學生的實際認知水平與教學內(nèi)容的特點，做好精心預設，但課堂教學是一個動態(tài)過程，學生的思維會隨著課堂教學的推進而發(fā)生一些奇妙的變化，靈感與奇思妙想就在這個時候不期而至. 面對這種情況，教師應敏捷地捕捉到學生思維的火花，應用自己的教學經(jīng)驗與智慧，順應學生的思維迅速作出判斷并調整教學方向，使課堂生成自然發(fā)生.

例1 在圖1的平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x+1）2+y2=16，點F（1，0），點E為圓C上的動點，點G為圓C上的另一動點，EF⊥FG，點M為線段EG的中點. 判斷：線段OM的長度是不是定值？如果是，請求出；若不是，請說明.

1. 課堂預設

預設1：結合幾何圖形的性質，分別連接CM，CG，根據(jù)圓的幾何性質，不難發(fā)現(xiàn)CM2+GM2=CG2=16. 在Rt△FEG中，已知MF是斜邊GE的中線，所以MF與GM相等，由此可知MC2+MF2=16. 假設點M（x，y），則（x0+1）2+y+（x0-1）2+y=16，經(jīng)整理，得x+y=7，即OM2=x+y=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

預設2：設y=kx+b為線段EG所在直線的方程，點E，G的坐標分別為（x，y），（x，y），列方程組（x+1）2+y2=16，

y=kx+b，消去y，得（1+k2）x2+（2+2kb）x+b2=15. 根據(jù)EF⊥FG，可知（x-1）（x-1）+yy=0，即（x-1）（x-1）+yy=xx-（x+x）+（kx+b）（kx+b）+1=（k2+1）xx+（kb-1）（x+x）+b2+1=b2-15++b2+1=0. 經(jīng)化簡，得b2=7k2+6.

因為點M是線段EG的中點，所以x=，y=，所以OM2=x+y=. 把式子b2=6+7k2代入其中進行化簡，可得OM2=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

2. 課堂生成

雖然教師在預設環(huán)節(jié)將兩種解題思路都考慮到了，但在實際教學中，沒有完全按照預設路徑走，學生給出了如下思維過程.

因為點E（x，y），G（x，y）都位于圓C上，同時FG⊥FE，所以列方程組（

x+1）2+y

=16，

（

x+1）2+y

=16，

（

x-1）（

x-1）

+y

y=0，整理該方程組，可得x

+y

=

15-2x，

x

+y

=15-2x，

x

x

+y

y

=x

+x-1.此方程組共有x，y，x，y四個未知數(shù)，而解這一方程組無法獲得這些未知數(shù)的值，學生的思維在此處出現(xiàn)了障礙. 教師若選擇置之不理，強行將學生的解題思路“掰”到預設的解題方法上去，難免消減學生的學習興趣. 教師若順應學生的思維繼續(xù)前行，不僅能柳暗花明，還能凸顯學生思維的價值，增強學生的學習信心.

師：獲得x，y，x，y這四個未知數(shù)的值并非我們解題的最終目標，對嗎？我們解題的最終目標是判斷MO是否為定值，因此可以換個角度思考，想辦法避開求這四個未知數(shù)的具體值——用這四個未知數(shù)來表示MO2，結合上述方程組中的三個等式，可以嘗試通過消除未知數(shù)求解問題.

教師話音剛落，就有學生提出了以下方法：MO2=

+

=［（x+y）+（x+y）+2（xx+yy）］=7，由此可確定線段OM的長度是定值.

師：太棒了！這就是解析幾何中常常用到的“設而不求”法，雖然我們無法獲得x，y，x，y這四個未知數(shù)的具體值，卻不會妨礙“線段OM的長度是定值”這個結論的生成.

教師用自己的智慧肯定了學生的思維價值，保護了學生的思維路徑，同時又不著痕跡地化解了學生思維受阻的點，成功讓課堂生成自然發(fā)生. 在此基礎上，教師進一步與學生一起總結本題的解題方法，以深化學生對“設而不求”法的認識. 因此，這是一個成功的教學案例，具有一定的參考意義.

<D：＼DW＼數(shù)學教學通訊（下旬）＼2023年＼2023數(shù)學教學通訊中旬（02期）＼aa-2.tif> 借助典型錯誤，促進生成

“過程與方法”教學強調教師要善于捕捉學生的錯誤，并充分利用錯誤的教學價值，幫助學生判斷錯誤的根源，尋求糾錯方法，以揭示知識的本質［2］. 實踐證明，錯誤是課堂動態(tài)生成的良好資源，正如心理學家蓋耶所言：“不允許學生犯錯，將會錯過最有成效的教學時刻.”確實，利用好課堂中一些關鍵且隱蔽的錯誤，不僅能有效啟發(fā)學生的思維，還能揭示問題的本質，提高教學效率.

例2 若想讓7個人排成一排，且甲、乙、丙三人為互不相鄰的關系，存在多少種排隊情況？

此為典型的排列組合中“相鄰與不相鄰”的問題，解決這一類問題行之有效的方法為“插空法”. 為了激發(fā)學生的思維，讓學生明確思考方向，教師對“插空法”先行示范，并適當加以練習，而后再將此題交給學生解決. 大部分學生拿到此題后，根據(jù)自身的認知結構，應用“插空法”很快就獲得了答案：存在AA=1440種排隊情況.

當教師認為此題求解結束時，突然有學生舉手提出：用“插空法”獲得的確實是這個結果，但用“排除法”卻得出了不同的結論，具體列式為A-3AA+2AA=2160.

師：你能將想法表達出來，值得表揚. 請給大家解釋一下所列式子的意義.

生1：從“排除法”的角度來看，甲、乙相鄰有AA種情況；乙、丙相鄰有AA種情況；甲、丙相鄰有AA種情況. 利用“捆綁法”可得甲、乙、丙三人相鄰有AA種情況. 3個式子AA都包含有甲、乙、丙三人相鄰的情況，這些情況一共被減了3次，因此需要加上2倍的AA，得到A-3AA+2AA=2160. 但用這種方法來計算，比用“插空法”多了720種情況，這是為什么呢？

這個問題成功吸引住了全體師生的注意力，此情此景，教師若回避這個問題，顯然不是上上之策，于情于理教師都必須解決這位學生的困惑. 因此，教師順勢將此作為一個典型的教學素材加以利用，一方面凸顯了這個問題的價值，另一方面可以從根本上幫助學生解題.

師：學貴有疑，你所提出的問題非常好！在排列組合類的問題中，探尋一個錯誤解法的根源確實不那么容易，現(xiàn)在我們就一起來探討：用“排除法”為什么比“插空法”多了720種情況？

（學生沉默）

師：現(xiàn)在我們一起來分析，當甲、乙兩人相鄰時，丙與他們相鄰存在多少種情況？

生（眾）：AA種. （顯然，錯誤的結果具有先入為主的效應. ）

師：究竟是不是這么多種呢？我們一起來排排看. 現(xiàn)在我們暫時不考慮其他四人，就排一排當甲、乙捆綁在一起時，丙與他們相鄰存在多少種情況. 用“甲乙”代表他們捆綁在一起，不可分開.

在教師的提示下，學生很快就得到下列4種情況：丙“甲乙”、丙“乙甲”、“甲乙”丙、“乙甲”丙.

師：很好，此排列的關鍵在于將“甲乙”捆綁在了一起. 如果將甲、乙、丙三人捆綁在一起排列，那么存在幾種情況呢？

生2：6種，分別為“甲乙丙”“甲丙乙”“乙丙甲”“乙甲丙”“丙乙甲”“丙甲乙”.

師：非常好！通過這個簡單的問題，你們有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學生頓悟，當“甲乙”確定在一起時，丙無法插入他們的中間. 同理可知，“甲丙”在一起時，乙不能插入他們的中間；“乙丙”在一起時，甲也不能插入他們的中間. 由此可知，在算式3AA中，“甲乙丙”在一起的情況有：“甲乙”丙、“乙甲”丙、“丙乙”甲、“乙丙”甲、丙“乙甲”、“甲丙”乙、“丙甲”乙、丙“甲乙”、甲“乙丙”、乙“甲丙”、乙“丙甲”、甲“丙乙”，共有2個A.

從中可以看出，在算式3AA中，包含的是2個AA，并非3個AA，因此A-3AA僅需加上1個AA，而AA=720，因此多出來的720種情況就顯現(xiàn)出來了！（師生都松了一口氣）

此過程充分顯示了教師教學的靈活性與智慧，列舉法的應用，使得模糊的問題變得一目了然，學生在一個簡單問題的牽引下，順利突破了思維障礙，錯解的根源也水落石出. 在實際教學中，教師把握好學生的錯誤資源，審時度勢地利用這些資源幫助學生追查錯誤根源并糾錯，不僅能充分暴露思維的障礙點，還能拓寬學生的視野，開闊學生的思維，深化學生對知識本質的認識，讓課堂在動態(tài)生成中煥發(fā)蓬勃生機.

探索教學方法，驅動生成

個體差異性使每一個學生偏好的解題方法不一樣，課堂上豐富多樣的解題方法常能營造出百花齊放的氛圍，讓每一個學生都能發(fā)現(xiàn)適合自己的思維方式. 同時，“一己之見”無法滿足學生的思維需求，將各種解題方法匯聚到一起，能讓學生從中辨析各種方法的優(yōu)劣，從而優(yōu)化解題思路，提高解題能力［3］. 當然，集思廣益的解題方法，也是對學生思維的回應.

例3 已知直線l的方程為2mx+（1-m2）y-4m-4=0，如果對任意實數(shù)m，直線l都與一個定圓呈相切的關系，則該定圓的方程是什么？

生3：假設該定圓的方程是（x-x）2+（y-y）2=r2，圓心（x，y）到直線l的距離為半徑r. 由題意可列等式=r，將該式整理成關于m的方程為（y-r2）m4+4y（2-x）m3+2（2x-y-8x+4y-r2+8）m2+4（xy-4x-2y+8）m+y-8y-r2+16=0. 根據(jù)題設條件“對任意實數(shù)m，直線l都與所設定圓相切”，可知上式為一個關于實數(shù)m的恒等式，且m的各次項系數(shù)與常數(shù)都是0，由此可得x=2，y=2，r=2. 因此，該定圓的方程是（x-2）2+（y-2）2=4.

生4：取幾個m的特殊值，獲得特殊的幾條直線，只要能求出這些直線的內(nèi)切圓，而后通過檢驗即可完成求解. 如當m=0時，直線是y=4；當m=1時，直線是x=4；當m=-1時，直線是x=0. 探索發(fā)現(xiàn)，與“y=4，x=4，x=0”三條直線相切的圓為（x-2）2+（y-2）2=4. 檢驗可知：從圓心（2，2）到直線l的距離d===2=r，與實數(shù)m并沒有關系. 因此，直線l和定圓（x-2）2+（y-2）2=4是相切的關系.

生5：把直線l的方程進行整理，生成關于m的一元二次方程為ym2-2（x-2）m-y+4=0，令判別式為0，可得4（x-2）2-4y（4-y）=0，經(jīng)整理，得（x-2）2+（y-2）2=4.

分析幾位學生所展示的解題方法后，師生共同認為：第一位學生所展示的解題方法，思維清晰、脈絡清楚，缺點是運算量大，對變形能力與運算能力的要求高；第二位學生的解題方法從幾個特殊情況出發(fā)，通過幾條特殊直線獲得定圓方程，并檢驗其是否符合一般情況，這種解題方法的可操作性強且計算量不大，值得推薦；第三位學生的解題方法，從表面上看是一步就獲得了定圓的方程，但該生自己都覺得是歪打正著的方法，并不理解為什么. 但有學生認為，第三種解法必然存在一定的道理，既然能準確獲得定圓的方程，并不一定是巧合，這種解法存在繼續(xù)研究的價值. 在該生的提議下，教師帶領學生沿著第三種解法繼續(xù)往下探索：

如圖2所示，關于x，y的方程2mx+（1-m2）y-4m-4=0表示無數(shù)條直線和一個定圓相切，無數(shù)條直線匯聚在一起就組成了定圓的包絡線. 定圓的圓心為（2，2），半徑為2. 若確定一個m，則對應包絡線中的一條.

相反，如果確定一個點（x，y），那么過點（x，y）的包絡線可能有兩條，對應關于m的方程有兩解；也可能只有一條，對應關于m的方程只有一解；還可能沒有，對應關于m的方程無解.

令判別式為0，從本質上來看，就是過點（x，y）的圓的包絡線只有一條，而點（x，y）是包絡線在定圓上的切點. 通過判別式為0而獲得的關于x，y的二元二次方程，即為待求的定圓的方程.

第三種解法的探索對教師的業(yè)務水平與專業(yè)素養(yǎng)的要求都比較高，該采取怎樣的方式與學生一起探索，需要結合實際情況而定. 若教師有過強的專業(yè)素養(yǎng)，選擇直接講解，能為學生答疑解惑；若將一些解法作為課堂研究的素材，師生通力合作，能促進課堂動態(tài)生成，不乏為上上之策.

總之，動態(tài)生成是教學所需，也是課堂常態(tài). 教師應不斷地提升自身的業(yè)務水平與綜合素養(yǎng)，靈活應對課堂中的各種意外事件，充分利用各種臨時形成的素材與資源，通過一定的教學手段改進方法，讓每一節(jié)課都在動態(tài)生成中煥發(fā)光彩.

參考文獻：

［1］ 葉瀾.讓課堂煥發(fā)出生命活力——論中小學教學改革的深化［J］. 教育研究，1997（09）：3-8.

［2］ 池長環(huán). 新課程理念下數(shù)學“生成性”備課研究［J］. 教育教學論壇，2012（24）：32-33+117.

［3］ 喻平，董林偉，魏玉華. 數(shù)學實驗教學：靜態(tài)數(shù)學觀與動態(tài)數(shù)學觀的融通［J］. 數(shù)學教育學報，2015，24（01）：26-28.