構(gòu)建思維框架 超越題型教學(xué)

［摘 要］ 目前，高三解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)仍局限于題型教學(xué)，如何突破現(xiàn)狀，真正發(fā)揮解析幾何的育人價值？回到幾何問題的本質(zhì)上，超越具體題目的“現(xiàn)象”，培養(yǎng)學(xué)生“哲學(xué)式”思考習(xí)慣，以及整體把握解題方向的能力，正是解析幾何的育人價值.

［關(guān)鍵詞］ 解析幾何；育人價值；“哲學(xué)式”思考習(xí)慣

問題的提出

解析幾何是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的難點，題型多樣，運算量大，得分率低.在有限的復(fù)習(xí)時間內(nèi)，師生都不愿意把時間花費在這塊“難啃的骨頭”上，害怕付出沒有收獲. 因此，解析幾何的復(fù)習(xí)教學(xué)多停留在有限的幾個專題上. 學(xué)生滿足于題型學(xué)習(xí)，而不見解析幾何的全貌. 復(fù)習(xí)教學(xué)突出了實踐階段的“算”，卻忽略了運算之前的“想”；突出了“一題多解”，卻忽略了“多題歸一”.

各種各樣的題型和運算能力的訓(xùn)練是必需的，但從育人的角度來看，它們并沒有終極意義. 引導(dǎo)學(xué)生尋求紛繁龐雜的題型背后的統(tǒng)一性，構(gòu)建分析問題的思維框架，并通過這個思維框架去領(lǐng)悟“幾何問題代數(shù)化”的精髓應(yīng)當(dāng)成為終極追求.

構(gòu)建分析問題的思維框架

高中數(shù)學(xué)的每部分內(nèi)容都有自己的研究對象和研究方法，那么解析幾何的研究對象是什么？它要解決的問題是什么？研究方法是什么？為了回答上述問題，我們需要詳細(xì)考察幾何問題的構(gòu)成.

幾何問題通常都有一個動點或一條動直線，而動點或動直線引起相關(guān)直線的運動，從而引起相關(guān)點的坐標(biāo)的變化，多數(shù)幾何問題中的相關(guān)直線或點還滿足一個幾何條件. 而我們要求解的就是運動變化過程中的“定、恒、最”三大問題，即固定的、恒定的、最大或最小的某一結(jié)果.

因此，幾何問題通常由三部分構(gòu)成，即運動變化的點或線、幾何條件、幾何結(jié)論. 明確了幾何問題的構(gòu)成后，我們再進(jìn)一步提煉解題的一般步驟.

1. 引入?yún)?shù)

對于運動變化的點或線，通常引入?yún)?shù)來表示.在題目的運動變化中，如果首動元素是點，可以引入點參數(shù)（x，y）；如果首動元素是線，依據(jù)條件，可以引入斜率k或縱截距b，也可以設(shè)y=kx+b，引入兩個參數(shù). 當(dāng)然，設(shè)點、設(shè)線還有其他方法，上述是常見的幾種. 體現(xiàn)首動元素的參數(shù)（簡稱主參數(shù)），有著“牽一發(fā)而動全身”的地位，參數(shù)定，則圖形定，相關(guān)點的坐標(biāo)或其他變元也跟著確定. 因此，相關(guān)的直線方程、點坐標(biāo)或其他變元都能體現(xiàn)主參數(shù). 主參數(shù)類似于函數(shù)的自變量，相關(guān)點的坐標(biāo)類似于函數(shù)的因變量，二者之間的關(guān)系常常體現(xiàn)為一個方程. 在最值問題中，主參數(shù)常常就是自變量，它是一個能貫穿所有、貫穿始終的量.

“引參”是幾何問題代數(shù)化的第一步，也是運用方程思想、函數(shù)思想解決問題的第一步. 引入什么作為參數(shù)，隨著我們觀察圖形的立足點的變化而變化，“設(shè)點”還是“設(shè)線”將影響隨后的運算路徑和運算量. 因此，在“引參”前，要深入理解條件之間的關(guān)系，選擇一個能關(guān)聯(lián)各方的量作為參數(shù).

其實，無論是學(xué)習(xí)方程、函數(shù)，還是學(xué)習(xí)解析幾何，“設(shè)元引參”都是解決問題的第一步. “設(shè)元引參”應(yīng)當(dāng)成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)，它是把問題“數(shù)學(xué)化”的第一步.

2. 幾何問題坐標(biāo)化

引入?yún)?shù)后，實現(xiàn)代數(shù)化的第二步就是把幾何條件坐標(biāo)化，即把幾何條件轉(zhuǎn)化成一個坐標(biāo)的式子. 斜率和幾何四大問題（平行、垂直、角度、長度〈距離〉）都有相應(yīng)的坐標(biāo)化公式，其中角度的坐標(biāo)化需要先把角轉(zhuǎn)化成它的某一個三角函數(shù)值再坐標(biāo)化. 也可以運用向量的知識來實現(xiàn)坐標(biāo)化，比如點到直線的距離（長度的一種）就可以用向量的投影長公式來實現(xiàn)坐標(biāo)化.

坐標(biāo)化的式子中既有橫坐標(biāo)又有縱坐標(biāo)，運算時通常都要消去其中一個，保留另外一個. 我們熟悉的一些公式就是“消參”的結(jié)果. 比如，兩點間的距離公式AB=，利用直線方程y=kx+b“消參”后，得到AB=

x

-x=

y

-y，這樣公式中就只有橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo). 類似的公式還有拋物線y2=2px（p>0）上兩點連線的斜率k===，這樣斜率公式中就只有縱坐標(biāo)了. 利用直線方程或拋物線方程來消“一次項”是常用的“消參”方法.

有些幾何條件無法直接坐標(biāo)化，如四點共mB6m1BWxKqNZus2H7WQnAJFOWbJsATc0VLEV45Ko5Ek=圓，需要依條件轉(zhuǎn)化成另一個幾何條件再坐標(biāo)化. 而有些幾何條件直接坐標(biāo)化將導(dǎo)致運算復(fù)雜，這樣就需要“轉(zhuǎn)化”，即把已知的幾何條件等價轉(zhuǎn)化成另一個幾何條件再坐標(biāo)化. 有時還需要挖掘圖形的幾何特征實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，例如2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第20題，不直接把“等腰直角”坐標(biāo)化，而是“挖”出直角頂點旁邊的兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)直角邊的長度相等，然后再坐標(biāo)化. 再如2019年高考浙江卷數(shù)學(xué)第21題，若能想到“三角形重心連接三個頂點組成的三個三角形的面積相等”這個性質(zhì)，就可以把三角形的面積之比轉(zhuǎn)化成線段之比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成兩個交點的縱坐標(biāo)之比. 這樣既減少了相關(guān)點的坐標(biāo)，還縮短了運算路徑，避開了運算“泥潭”. 如何轉(zhuǎn)化幾何條件是難點，需要對運算對象、運算途徑、運算目標(biāo)有整體上的把握，才能有目標(biāo)、有意識地去轉(zhuǎn)化.

3. 運算分析

把幾何問題坐標(biāo)化后，剩下的就是運算.運算的目標(biāo)是什么？為什么而算？我們需要從思維上整體把握運算，即理解每一個“運算”背后的動機，尋求運算的“統(tǒng)一性”. 運算的目標(biāo)首先是相關(guān)點的坐標(biāo)，即直線與曲線（包括直線）的交點或切點的坐標(biāo).為了方便，本文只討論直線與圓錐曲線相交的情況.

當(dāng)動直線與圓錐曲線相交時，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，消去y（或x），得到一個關(guān)于x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）（*）（方程的系數(shù)帶有主參數(shù)）. 設(shè)交點坐標(biāo)為A（x，y），B（x，y），則x，x（或y，y）是方程（*）的兩個根.方程（*）體現(xiàn)了交點坐標(biāo)與主參數(shù)之間的依存關(guān)系. 理論上可由求根公式分別求x，x（或y，y），但求解過程中常常采用“設(shè)而不求”的方法，為什么？因為求根公式是分式和根式的混合式，在運算過程中用求根公式分別求x，x（或y，y）會有很多不便，而且“消參”后如果x+x和x·x在坐標(biāo)式中整體出現(xiàn)，那么就可以通過韋達(dá)定理進(jìn)行整體替換，沒必要分別求x，x（或y，y），所以常常用“設(shè)而不求”的方法. 是不是所有的坐標(biāo)式都能通過韋達(dá)定理進(jìn)行整體替換呢？當(dāng)然不是. 例如（x-a）（x-b）（a≠b）這樣的“非對稱式”經(jīng)配湊后除了有含x+x，x·x的項和常數(shù)項外，還有含x（或x）這樣的單獨項，這些單獨項就無法通過韋達(dá)定理進(jìn)行整體替換. 另外，在極少數(shù)情況下，坐標(biāo)化沒有同時用到兩個交點A，B的坐標(biāo)，而只用了A的坐標(biāo)或B的坐標(biāo)（A與B的作用等價），這樣得到的就是一個只有一個點的坐標(biāo)式. 在這類情況下，用求根公式把這個點的坐標(biāo)解出來參與運算，也是一個不錯的方法.

特別地，當(dāng)其中一個點是曲線上的已知點時，另一個點的橫坐標(biāo)可由韋達(dá)定理求出來. 需要注意的是，無論是“設(shè)而不求”，用求根公式求，還是用韋達(dá)定理求，最終都要使得主參數(shù)能體現(xiàn)在相關(guān)點的坐標(biāo)中，這是運算的第一個目標(biāo). 另外，在某些問題中，為獲得相關(guān)點的坐標(biāo)與主參數(shù)之間的關(guān)系，無須聯(lián)立方程組，而是運用方程思想，直接把未知的相關(guān)點的坐標(biāo)當(dāng)作“已知”，用相關(guān)點的坐標(biāo)表示直線的方程，跟主參數(shù)一起參與運算，依條件獲得關(guān)于坐標(biāo)的“同構(gòu)方程”，然后再建立統(tǒng)一方程. 例如2021年全國高考甲卷理科數(shù)學(xué)第20題，過拋物線上的動點引圓的雙切線，切線和拋物線的交點坐標(biāo)與主參數(shù)之間的關(guān)系，就可以用“同構(gòu)法”獲得——此類問題用“同構(gòu)法”能簡化運算路徑. 運用“同構(gòu)法”須識別問題的“對稱性”，這不是直觀上的圖形對稱，而是兩個變元處于“等同”的地位，比如拋物線的“雙切線”問題中的切點坐標(biāo)，式子=λ，=λ中的λ，λ就有“等同”的地位.

運算的第二個目標(biāo)是“消參”，即把坐標(biāo)式統(tǒng)一成只關(guān)于橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的式子，與聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程相呼應(yīng). 一般地，若點（x，y）在曲線f（x，y）=0上，則把點（x，y）代入方程f（x，y）=0，得到x與y的一個關(guān)系式f（x，y）=0. 這個關(guān)系式在運算中起著很重要的作用（常用于“消參”，包括“直線消參”與“曲線消參”）.

總之，解析幾何中的運算通常包括兩個方面，一是聯(lián)立方程組獲得相關(guān)點的坐標(biāo)，二是“消參”，使主參數(shù)通過相關(guān)點的坐標(biāo)體現(xiàn)在坐標(biāo)式中，而要解決的“定、恒、最”三大問題分別涉及關(guān)于主參數(shù)的方程、恒等式、函數(shù)，這也是代數(shù)運算的最終目標(biāo).

具體案例

綜上所述，引入?yún)?shù)、幾何問題坐標(biāo)化、運算分析構(gòu)成了解決幾何問題的思維框架，這三個方面互相呼應(yīng)，形成了一個完整的“代數(shù)化”過程.下面以兩道高考試題為例，說明如何運用上述思維框架分析幾何問題，做到未動筆之前，整個行動“藍(lán)圖”就已經(jīng)在頭腦里形成（具體的解題過程不詳細(xì)呈現(xiàn)）.

試題1 （2021年新高考全國Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F（-，0），F(xiàn)（，0），點M滿足

MF-

MF=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

分析 （1）x2-=1（x>0）.

（2）本題的首動元素是點T，點T的運動引起圖形變化，引起相關(guān)點A，B及P，Q的坐標(biāo)變化.在運動變化過程中，兩條直線滿足條件TA·TB=TP·TQ，所以直線AB和直線PQ的傾斜角不是“自由”的，是受制約的. 但直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于一個定值，與點T的運動無關(guān). 在解題前，先要理解上述過程，再“由形轉(zhuǎn)數(shù)”. 由于結(jié)論是關(guān)于直線AB斜率和直線PQ斜率的，因此自然引入直線AB的斜率k和直線PQ的斜率k，然后把它們的方程都寫出來.

由于A，B，P，Q是雙曲線右支上的點，因此這四個點的橫坐標(biāo)都大于，去掉坐標(biāo)式中的絕對值得（1+k）·

x-

x-

=（1+k）·

x-

x-

，把

x-

x-

展開后，出現(xiàn)x+x和x·x，可通過韋達(dá)定理進(jìn)行整體替換. 由于直線PQ和AB的地位等同，只要把k替換成k，同理可得x+x和x·x.這樣參數(shù)t，k，k就在同一個式子中了，而我們的目標(biāo)是求k+k的值（定值），與t無關(guān)，因此預(yù)測t可以從等式兩邊排除掉，從而得到一個只有k，k的恒等式.

試題2 （2022年新高考全國Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：-=1（a>1）上，直線l交C于點P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面積.

分析 （1）C：-y2=1，l的斜率為-1.

（2）本題的首動元素是直線l（斜率等于-1的直線系），l的運動引起∠PAQ的變化.給定tan∠PAQ=2，相當(dāng)于已知∠PAQ，則直線l就能確定下來，關(guān)鍵是怎么把已知的∠PAQ坐標(biāo)化. 角的坐標(biāo)化主要有兩個途徑：①如果是傾斜角，先求角的正切值，再利用斜率的坐標(biāo)公式實現(xiàn)坐標(biāo)化；②一般的角可以利用向量的夾角公式cos〈，〉=實現(xiàn)坐標(biāo)化.

思路1 把頂角∠PAQ轉(zhuǎn)化為直線AP，AQ的傾斜角再坐標(biāo)化.

設(shè)直線AP，AQ與x軸相交于B，C兩點，由已知可得△ABC是等腰三角形. 已知頂角，則底角可求. 設(shè)底角為α，則tan（π-2α）=2，即-tan2α=2，由二倍角公式可得tanα=，即直線AP的斜率為. 設(shè)P（x，y），則=. 注意到點P（x，y）在雙曲線上，則-y=1. 聯(lián)立方程組

=，

-y

=1，解得點P的坐標(biāo)為

，

.

思路2 用向量的夾角公式實現(xiàn)坐標(biāo)化.

由tan∠PAQ可得cos∠PAQ=.設(shè)P（x，y），Q（x，y），則·=（x-2）（x-2）+（y-1）（y-1），利用直線方程y=-x+m消去y得·=（x-2）（x-2）+（-x+m-1）（-x+m-1），展開后會出現(xiàn)x+x和x·x.而

，

的坐標(biāo)化需要引入直線AP，AQ的斜率（分別為和-），則

=3

x-2

x-2（這里的絕對值無法先去掉），通過韋達(dá)定理進(jìn)行整體替換，化簡后得到m2-6m+9=2m2-8m-6（此時再討論正負(fù)號去掉絕對值），解得m=（舍去m=-1和m=3）.

解析幾何的育人價值

學(xué)完解析幾何后，學(xué)生最終能收獲什么呢？“通過學(xué)習(xí)知識來學(xué)會思考，學(xué)會分析和解決問題，培養(yǎng)和提高自己的能力，這就是知識的育人價值”，類似這樣的答案是無法讓人滿意的. 那么，知識學(xué)習(xí)的終點是什么？解題分析能力究竟由什么構(gòu)成？這些都是我們應(yīng)該追問并努力回答的.

康德認(rèn)為：一切人類認(rèn)知都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束. 具體到解析幾何的學(xué)習(xí)，認(rèn)知始于一個個具體題目的攻克，但是解再多的題目都不是終點，只有思維能從這些具體的現(xiàn)象中“一躍而出”，提煉出一種有概括性的“抽象真理”［1］，這一“真理”能運用到所有的題目上，并在反復(fù)運用的過程中領(lǐng)悟“幾何問題代數(shù)化”的精神實質(zhì)，這才是知識學(xué)習(xí)的終點.

上文所構(gòu)建的思維框架就是“抽象真理”的具體體現(xiàn)，它意味著現(xiàn)象、事實的各種聯(lián)系，學(xué)生應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷“由實到虛”的“哲學(xué)式”思考，能用思維整體把握事物，而不是局限于具體的題目或題型. 當(dāng)學(xué)生獲得“哲學(xué)式”思考能力后，他就能獲得某種認(rèn)知體驗，這是獨立于具體學(xué)科，具有普遍意義的腦力勞動，有助于其他學(xué)科的學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蘇霍姆林斯基. 給教師的建議［M］.北京：教育科學(xué)出版社，1984.