跨章節(jié)一題多解，實現知識互聯

［摘 要］ 跨章節(jié)一題多解，相較于章節(jié)內的一題多解，在提升解題能力的同時，借助思維導圖又能更好地實現知識互聯，以及在一定程度上實現各章節(jié)知識融合，從而建立立體化的知識體系.

［關鍵詞］ 一題多解；章節(jié)融合；思維導圖；知識互聯；知識立體化

跨章節(jié)一題多解問題的提出

一題多解，顧名思義是指一個問題可以有多種思路和方法來解決. 一題多解的意義在于：培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維；提高學生解決問題的能力；滿足不同學生的需求；幫助教師更好地了解學生的思考方式和學習情況，從而更好地指導學生學習.

但是在日常教學過程中，我們所接觸的一題多解大多是在同一章節(jié)知識體系內展開的不同思路或運算細節(jié)的處理，學生的認知結構中，各個章節(jié)各個方法相對孤立，缺乏比較和連接，于是不容易建立良好的數學方法結構，也就不容易培養(yǎng)數學理解能力. 相較之下，如果能夠提升跨章節(jié)一題多解的能力，利用不同章節(jié)里的知識從不同角度解決同一個問題，那么這將有利于學生綜合能力的提高，從而促進學生再認識已有知識和方法，改進和優(yōu)化思維過程，使得方法理解向深度和廣度拓展，實現知識立體化，獲得更深刻、更有廣度的數學知識結構體系，最終有效提升數學學科核心素養(yǎng).

1. 跨章節(jié)一題多解的難點

跨章節(jié)一題多解的難點如下：

第一，知識面覆蓋廣. 跨章節(jié)一題多解通常需要運用多個知識點，這要求學生掌握廣泛的知識，而不僅僅是某一章節(jié)的知識.

第二，抽象度較高. 一些跨章節(jié)一題多解的問題可能涉及抽象度較高的概念或原理，需要學生有一定的抽象思維能力.

第三，思維更發(fā)散. 這需要學生具有創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，能夠從不同角度出發(fā)尋找解決方法.

第四，綜合應用難度高. 跨章節(jié)一題多解的問題通常需要學生綜合運用多個知識點和技能來解決，這要求學生具有良好的綜合應用能力和分析問題的能力.

第五，需要學生具備較強的獨立思考和探索能力，這對于一些學生來說比較困難.

因此，要讓學生真正掌握跨章節(jié)一題多解的能力，需要在教學中注重知識面的廣度、抽象思維能力的培養(yǎng)、發(fā)散思維和綜合應用能力的訓練，并且善于鼓勵學生獨立思考、探索和創(chuàng)造.

2. 思維導圖對跨章節(jié)一題多解的幫助

思維導圖是提高跨章節(jié)一題多解能力的有效工具之一，具體表現在以下幾個方面.

（1）思維導圖可以幫助學生梳理知識點，將知識點按照邏輯關系進行組織，使得學生能夠清晰了解知識點之間的關系. 這有助于學生對多個知識點進行整合，并提高學生跨章節(jié)一題多解的能力.

（2）思維導圖通過分支和節(jié)點的形式，展示問題的多個方面和不同的求解思路，可以促進學生發(fā)散性思維的發(fā)展. 學生可以通過思維導圖自由發(fā)揮思維能力，提出多種可能的解決方案和思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

（3）思維導圖可以幫助學生綜合應用知識，提升學生的綜合應用能力. 學生可以將不同的知識點在思維導圖上進行組合和搭配，以達到解決問題的目的.

（4）思維導圖可以幫助學生回顧、總結和反思學習過程，自我檢查和評估所掌握的知識和技能，發(fā)現自己的不足之處，并不斷補充和改進.

案例探究

下面以一個例題為出發(fā)點，充分挖掘題設條件中所能提供的信息，借助思維導圖，嘗試建立每一種可能的解題思路與相應章節(jié)知識的聯系，舉行一場思維盛宴. 例題如下：“如圖1所示，在△ABC中，點D在邊BC上，且BD=2DC，∠BAC=90°，AD=1，則線段CD長度的范圍是______.”

1. 解題指導

羅增儒教授的《數學解題學引論》中有這樣一個解題坐標系［1］：如圖2所示，條件中能想到的信息組成一個“同心圓”，目標結論所需要的條件信息組成另一個“同心圓”，尋找解題思路的過程就是通過分析思考擴大兩個圓的范圍直至找到“交點”，最終的路徑可以是很多個，這就形成了一題多解. 一方面，每一種方法都可以再進一步思考是否可以優(yōu)化；另一方面，不同方法之間并不一定有“優(yōu)劣”之分，只是用到了不同分支甚至是不同章節(jié)的知識. 我們要珍惜這種思維碰撞，這對促進知識融合和提高綜合解題能力有極大的幫助.

2. 嘗試發(fā)散思維

我們試著以思維導圖的形式分析本題條件所關聯的知識點，請看圖3和圖4.

通過思維發(fā)散，圖3和圖4充分列舉了題目條件所關聯的在整個高中數學章節(jié)范圍內的知識點，以及到達目標有可能通過的路徑，其中包含解析幾何、向量、函數、不等式、三角函數等章節(jié)的知識點. 這樣一來，圖2所示的兩個“同心圓”就準備到位了，接下來要做的就是尋找兩個同心圓的“交點”，即充分挖掘圖3和圖4所述的知識點之間的聯系——捕捉有用的信息，通過觀察和分析發(fā)現隱蔽關系，建立條件和結論之間的有機聯系，進而從不同角度尋找解決問題的方法，形成不同的解題路徑.

3. 整合思路，形成解題過程

方法1（J-e） 極限作圖，觀察CD長度的上界和下界.

如圖5、圖6所示，以A為起點作兩條夾角為90°的射線. 因為AD=1，所以D在以A為圓心，1為半徑的圓上，且D在兩條射線之間的劣弧上運動. 當D確定時，B和C也隨之確定. 當D靠左時，CD的最大值接近1；當D靠右時，CD的最小值接近. 當然，數形結合的優(yōu)點在于直觀，缺點“形難入微”也比較明顯，在使用過程中有觀察出錯的可能. 盡管如此，數形結合仍然是我們快速解題的一個重要工具.

方法2（D-g） 利用直角三角形中三角函數的定義建立CD與θ的函數關系式.

如圖7所示，設∠EAD=θ，θ∈

0，

，則AF=sinθ，AE=cosθ，AC=sinθ，AB=3cosθ，CD=BC=·=.因為<+cos2θ<9，所以<CD<1. 需要強調的是，在建立函數關系式的時候，一定要控制好自變量的范圍.

方法3（C-cg） 建立平面直角坐標系，用兩點間的距離公式表示CD.

如圖8所示，以A為原點，AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，記B（a，0），C（0，b），則D

，

. 因為AD=1，所以+=1，即a2+4b2=9，所以CD==. 由a2>0，

b2>0得0<b2<，所以<CD<1. 需要強調的是，在代入消元時，被消的元的取值范圍要傳遞給新元.

方法4（A-f） 利用余弦定理建立CD與某直觀變量之間的等量關系.

如圖9所示，設CD=x，則cosC=，cosC=. 根據數學中“算兩次”的思想，可得=，整理得3-3x2=AC2. 又0<AC<3x，所以0<3-3x2<9x2，解得<x<1. 需要強調的是，利用等式存在性求其中一個變量的取值范圍時，要控制好其他變量的取值范圍.

方法5（G-g） 以，為基底表示，從而求模長范圍.

如圖10所示，記=a，=b，因為BD=2DC，所以=a+b. 因為

=1，所以a2+4b2=9，所以

=（b-a）==. 下同方法3.

方法6（F-f） 借助·=0，建立與已知長度的的等量關系.

如圖11所示，記=a，=b，a，b的夾角為θ，CD=

b

=t. 因為·=0，所以（a-2b）（a+b）=0，化簡得1-tcosθ-2t2=0，即cosθ=. 注意到θ∈（0，π），則cosθ∈（-1，1），所以-1<<1，解得<t<1.

方法6與方法4類似，利用等式存在性求某個變量的取值范圍，需要一定的知識儲備，這里匯集了解不等式、求值域和函數零點等知識點. 學生在日常學習中要注重知識的積累和總結，以及對方法的優(yōu)化和反思. 相關拓展可參考文［2］.

方法7（B-a） 構造三角形，利用兩邊之和大于第三邊的基本關系列不等式.

如圖12所示，取BC的中點E，連接AE，設DE=x，則AE==3x. 又AD=1，在三角形ADE中，有x+1>3x，

x+3x>1，

3x+1>x，解得<x<，CD=2x，所以<CD<1.

方法8（EI-h） 點A同時位于兩個隱藏的圓上，利用兩圓相交的充要條件列不等式.

如圖13所示，一方面，點A在以D為圓心，1為半徑的圓上；另一方面，點A在以BC為直徑的圓上. 借助兩圓相交的充要條件可得

1-CD<CD<1+CD，解得<CD<1.

方法9（E-d） 挖掘出一個深度隱藏的圓，在該圓內觀察CD長度的范圍.

如圖14所示，過C作AC的垂線，交AD的延長線于點E，取AE的中點O，則∠ACE=90°. 根據三角形相似可知==，所以DE=. 所以，點C在以AE為直徑的圓O上，從而DE<CD<AD，即<CD<1.

在方法8和方法9中，都用到了“隱藏圓”，這需要學生在日常學習中多思考、多發(fā)現、多總結、多概括，這些都是思維的基礎，豐富的知識模塊會帶來正向的思維定式，思維的敏捷性和發(fā)散性都能得到極大的提高. 與“隱藏圓”相關的拓展可參考文［3］.

結語

要培養(yǎng)學生跨章節(jié)一題多解的能力，就要注重培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維、綜合應用能力和自主學習能力等. 通過提供多種不同類型的問題、組織跨學科知識梳理、增加可供聯想的解題過程，引導學生分析問題本質，從而幫助學生掌握跨章節(jié)一題多解的能力，提高學生的綜合素質和解題能力.

跨章節(jié)一題多解可以幫助實現整個學科知識的互聯，再進一步，就是跨學科知識融合，教師可以嘗試將不同章節(jié)甚至不同學科的知識點組織起來，設計相關問題，引導學生綜合分析和解決問題，從而建立立體化的知識體系.

參考文獻：

［1］ 羅增儒. 數學解題學引論［M］. 西安：陜西師范大學出版社，2016.

［2］ 李忠良. 從一類含參等式存在性問題看“范圍的傳遞”［J］. 中學數學月刊，2016（04）：39-40 .

［3］ 李忠良. 尋找一些隱藏著的圓［J］. 中學數學教學參考，2017（28）：36-38.