單元大概念視域下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中創(chuàng)新思維能力的養(yǎng)成研究

［摘 要］ 新形勢下，國與國之間的競爭是創(chuàng)新人才的競爭，如今的數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著更多元、更多變?nèi)瞬诺呐囵B(yǎng). 如何立足我國基礎(chǔ)教育國情，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，致力于單元大概念視域下發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維呢？對此，研究者進行了大量探索與實踐，從核心概念的界定出發(fā)，以“復(fù)數(shù)的乘法”教學(xué)為例，具體談?wù)剢卧蟾拍钜曈蛳屡囵B(yǎng)創(chuàng)新思維的具體措施.

［關(guān)鍵詞］ 大概念；創(chuàng)新思維；復(fù)數(shù)

隨著時代的發(fā)展，“大概念”一詞在數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的頻率越來越高. 為了滿足時代進步的需要，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維刻不容緩. 將單元大概念與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)有機地融合于一體是實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的重要方式，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要舉措.

核心概念的界定

1. 大概念

大概念（Big Idea）源于美國，屬于一種統(tǒng)整性概念，即歸納與整合一些特定的概念，融合生活現(xiàn)象、學(xué)科知識與基礎(chǔ)技能，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的概念網(wǎng)絡(luò). 單元大概念，顧名思義是指某個單元的概念體系.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強調(diào)教師需重視學(xué)科大概念，在精選學(xué)科內(nèi)容的基礎(chǔ)上實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 至此，大概念被提到了重要的位置，但在實際應(yīng)用時卻困難重重，究其主要原因在于它的整合性比較強，不少教師尚未適應(yīng)從宏觀的角度設(shè)計教學(xué)，尤其在單元大概念視域下培養(yǎng)創(chuàng)新思維，仍需進一步探索.

2. 創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是指突破常規(guī)思維的界限，用獨特、新穎的方式解決實際問題的過程. 該過程主要從反常規(guī)的視角去提出問題、分析問題，并從新視角提出與眾不同的解決問題的方案. 因此，創(chuàng)新思維是一種具有社會意義的成果. 實踐證明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是推動社會進步與發(fā)展的原動力.

具體措施

1. 教學(xué)現(xiàn)狀分析

高考背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生在知識的學(xué)習(xí)上缺乏一個連續(xù)的整體性，對知識的掌握存在“低、淺、散”等現(xiàn)象，無法從宏觀的視角認(rèn)識知識背后所蘊含的邏輯關(guān)系與思想方法，尤其在創(chuàng)新思維的發(fā)展上普遍存在不足. 新課標(biāo)強調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)需及時更新并優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在知識的“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”中發(fā)展創(chuàng)新思維.

復(fù)數(shù)應(yīng)用較為廣泛，它從實數(shù)擴充而來，因此依然延續(xù)了實數(shù)所具備的特點與運算律等. 但不少教師認(rèn)為這部分內(nèi)容比較簡單，于是直接帶領(lǐng)學(xué)生進入復(fù)數(shù)計算應(yīng)用環(huán)節(jié)，而忽略了復(fù)數(shù)計算理解教學(xué). 殊不知，缺乏理解的應(yīng)用，只是機械式模仿. 以單元大概念為核心設(shè)計教學(xué)，不僅能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，還能進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 教學(xué)簡錄

單元大概念視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以教材為依托，利用系統(tǒng)論分析“具有某種內(nèi)在聯(lián)系”的內(nèi)容，經(jīng)整合與重組形成結(jié)構(gòu)完整的單元教學(xué)體系. 如圖1所示，筆者以學(xué)科大概念為節(jié)點，從“分析教學(xué)要素”“明確教學(xué)目標(biāo)”“設(shè)計核心問題”與“多元評價與反思”四個環(huán)節(jié)著手設(shè)計教學(xué)流程.

（1）分析教學(xué)要素，提取大概念誘發(fā)創(chuàng)新思維

教學(xué)要素主要包括課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)情等. 關(guān)于復(fù)數(shù)章節(jié)的教學(xué)，新課標(biāo)強調(diào)引導(dǎo)學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運算及其幾何意義；教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容主要包括復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的三角表示等，著重強調(diào)要凸顯代數(shù)運算和幾何直觀的融合性，讓學(xué)生從中感悟知識間的關(guān)聯(lián)特征，并從整體的角度理解復(fù)數(shù)章節(jié)，以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng).

鑒于高中生具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與創(chuàng)新意識，復(fù)數(shù)的引入又是一次數(shù)系擴充，因此教學(xué)時可帶領(lǐng)學(xué)生站在整體的角度，類比之前幾次數(shù)的學(xué)習(xí)過程，將數(shù)系擴充的規(guī)則作為大概念實施單元學(xué)習(xí)，其中將復(fù)數(shù)的乘法運算與幾何意義整合成一個小單元實施學(xué)習(xí). 這種整合設(shè)計是基于發(fā)展的角度而來的，是促使學(xué)生萌生創(chuàng)新意識的基礎(chǔ).

（2）確定教學(xué)目標(biāo)，以大概念引領(lǐng)創(chuàng)新思維

教學(xué)目標(biāo)是制定教學(xué)計劃與實施教學(xué)活動的方向標(biāo). 維金斯認(rèn)為教學(xué)設(shè)計首先要明確預(yù)期的教學(xué)成效，整個課堂教學(xué)活動圍繞這個預(yù)期成效而展開. 新課標(biāo)已為大家初步制定了單元教學(xué)目標(biāo)，教師可以此為出發(fā)點，借助大概念的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)逐步細(xì)化教學(xué)任務(wù)，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的概念體系奠定基礎(chǔ).

如圖2所示，結(jié)合數(shù)系擴充規(guī)則、課程標(biāo)準(zhǔn)和核心素養(yǎng)要求制定復(fù)數(shù)單元大概念教學(xué)目標(biāo).

（3）設(shè)計基本問題，以大概念培養(yǎng)創(chuàng)新思維

理解大概念的本質(zhì)并不是一蹴而就的事情，而要通過概念圖的繪制幫助學(xué)生逐層理解概念群，明晰概念間存在的層級關(guān)系. 本節(jié)課，數(shù)系擴充規(guī)則涉及的子概念有復(fù)數(shù)的加法、幾何意義、多項式乘法、代數(shù)表示、三角表示、三角函數(shù)等. 想要逐個突破這一個個的子概念，離不開基本問題的驅(qū)動.

單元大概念視域下的問題設(shè)計需關(guān)注具體的方向，每個問題都指向于大概念的理解，學(xué)生通過對問題的思考與探索不僅能掌握基本知識與技能，還能促進“四能”的發(fā)展. 問題驅(qū)動下對已有經(jīng)驗進行反思，可鍛煉學(xué)生遷移知識的能力，為創(chuàng)新能力的發(fā)展創(chuàng)造機會.

問題1 回顧并說一說復(fù)數(shù)加法的定義與幾何意義.

追問1：眾所周知，實數(shù)存在乘法運算，復(fù)數(shù)是否也存在乘法運算呢？

追問2：自主猜想并說一說復(fù)數(shù)的乘法運算法則與幾何意義是什么.

設(shè)計意圖 數(shù)系從實數(shù)擴充到復(fù)數(shù)，必然會涉及運算問題，類比實數(shù)的運算法則猜想復(fù)數(shù)的運算是學(xué)習(xí)能力遷移的表現(xiàn). 復(fù)數(shù)既然是實數(shù)的擴充，那么復(fù)數(shù)與實數(shù)必然有所聯(lián)系和區(qū)別. 聯(lián)系和區(qū)別在哪兒呢？這是需要學(xué)生思考的問題.

問題2 你對復(fù)數(shù)乘法的“規(guī)定”是怎樣理解的？

追問1：之前在什么情況下遇到過類似的“規(guī)定”？

追問2：這些“規(guī)定”存在共性特征嗎？

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)生從小到大認(rèn)識了不少數(shù)學(xué)“規(guī)定”，如0和任何數(shù)相乘都為0，分母不能為0等. 這些“規(guī)定”具有確定性與辯證統(tǒng)一性.

問題3 思考復(fù)數(shù)乘法是不是也滿足結(jié)合律、交換律與乘法對加法的分配律呢？

追問1：實數(shù)乘法是否滿足以上規(guī)律？

追問2：說說證明復(fù)數(shù)乘法運算律的過程.

追問3：根據(jù)實數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法運算律來分析以上所提到的“規(guī)律”具有什么優(yōu)勢.

設(shè)計意圖 復(fù)數(shù)運算律的探索是研究復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生通過探究題的分析與思考獲得結(jié)論. 親歷探究，一方面可讓學(xué)生切身感受復(fù)數(shù)乘法運算所遵循的一般規(guī)律，另一方面還能感知復(fù)數(shù)乘法與實數(shù)乘法的共性特征，因而從代數(shù)形式上將實數(shù)乘法有機地融入復(fù)數(shù)乘法. 此過程，教師除了設(shè)計基本問題與追問外，還要站在學(xué)生的角度做好引導(dǎo)與點撥工作. 如乘法交換律的證明，教師首先要思考學(xué)生需要做些什么，該如何操作. 此環(huán)節(jié)，需帶領(lǐng)學(xué)生分析：對任意z，z，z∈C，z·z=z·z成立嗎？而后引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明，必要時給予規(guī)范的示范性指導(dǎo).

學(xué)生在自主證明中，不僅能體會復(fù)數(shù)乘法的本源為實數(shù)乘法，還能訓(xùn)練思維的縝密性與創(chuàng)造性，這是促進創(chuàng)新能力發(fā)展的過程.

復(fù)數(shù)的乘法與兩個多項式相乘高度相似，其滿足乘法結(jié)合律、交換律以及乘法對加法的分配律也就能理解了. 如此分析，復(fù)數(shù)和實數(shù)乘法運算具有高度一致性就理所當(dāng)然了.

關(guān)于數(shù)學(xué)知識體系的進一步擴充，想要確保其內(nèi)部和諧、統(tǒng)一，就需對一些法則做出明確規(guī)定.

問題4 說一說復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

追問1：復(fù)數(shù)相乘和向量相乘存在聯(lián)系嗎？說明理由.

追問2：關(guān)于數(shù)列1，x，-1，有沒有哪種運算能將1轉(zhuǎn)化為x，而后將x轉(zhuǎn)化成-1？

設(shè)計意圖 鑒于向量的點乘結(jié)論僅為數(shù)量，不滿足乘法運算的封閉性特征，因此無法用向量相乘來分析復(fù)數(shù)相乘. 關(guān)于數(shù)列1，x，-1的問題的提出，意在引出復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，此問難度相對較大，是瑞士數(shù)學(xué)家阿甘達(dá)在1806年所解釋的復(fù)數(shù)幾何意義.

問題5 是否可用一個新的量來表達(dá)復(fù)數(shù)相乘？

追問1：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=r，∠ZOx=θ，則復(fù)數(shù)z是多少？（以a+bi的形式呈現(xiàn)）

追問2：若r（cosθ+isinθ）=z，r·（cosθ+isinθ）=z，則z·z的值是多少？

追問3：嘗試用圖形來描述上一個問題中z·z的值.

追問4：說一說復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

追問5：若復(fù)數(shù)z滿足（i+1）z=2i，則z的值是多少？

設(shè)計意圖 既然無法用向量來描述復(fù)數(shù)相乘，就需要用其他量來表示. 事實證明，用輻角與復(fù)數(shù)的模來表示復(fù)數(shù)效果不錯，也就是常說的復(fù)數(shù)的三角表示法. 假設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，那么（a，b）就是與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)點Z的坐標(biāo)，分別用r，θ來表示坐標(biāo)（a，b），則a=rcosθ，b=rsinθ，rcosθ+irsinθ=z=r（cosθ+isinθ），此為復(fù)數(shù)z的三角表示式.

在三角表示的基礎(chǔ)上分析兩個復(fù)數(shù)相乘可將其結(jié)果表示成三角形式：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知，

z·

z=

z·

z. 關(guān)于追問5，學(xué)生容易得到如下兩種解題方法：①假設(shè)z=a+bi，代進（i+1）z=2i，獲得a=b=1，因此z=；②用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義解題，由于

z·

z=

z·

z，因此i+1·z=2i，所以z=.

通過問題的驅(qū)動，學(xué)生在單元大概念的背景下逐層深入地理解了復(fù)數(shù)的定義、運算規(guī)則等. 每個核心問題配上相應(yīng)的追問，為學(xué)生的思維搭建了“腳手架”，讓學(xué)生能順應(yīng)問題探尋研究方向，完成教學(xué)目標(biāo). 整個過程，都以學(xué)生的主動探索為主，教師只起到引導(dǎo)的作用，這種“以生為本”的模式成功訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

（4）多元評價反思，從真正意義上落實大概念

新課標(biāo)強調(diào)教學(xué)設(shè)計需注重“教、學(xué)、評”一體化，單元大概念視域下的教學(xué)評價需重點關(guān)注過程性與形成性評價，對于學(xué)生的思考過程、行為表現(xiàn)、創(chuàng)新意識等，從多維度進行分析、評價與反思. 教學(xué)完畢后，教師還應(yīng)結(jié)合評價結(jié)論對教學(xué)進行反思與調(diào)整，借助團隊的力量完善教學(xué)方案，以進一步提高教學(xué)成效，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.

總之，單元大概念視域下的教學(xué)設(shè)計需重點關(guān)注知識的整體性與關(guān)聯(lián)性. 鑒于知識間存在嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生以概念為節(jié)點，建構(gòu)層次清晰的知識網(wǎng)絡(luò)圖，使得教學(xué)目標(biāo)更加明確，提高教學(xué)效益的同時還能促進創(chuàng)新思維的發(fā)展.