經歷知識生成 發展核心素養

［摘 要］ 讓知識在課堂中自然生成是發展學生數學學科核心素養的基礎，教師的精心設計與細節處理則決定著知識是否能自然生成. “雙曲線的方程”是高中階段的重要內容之一，對夯實學生的知識基礎，促進學生學力發展具有重要價值. 因此，研究者從“創設情境，提煉概念”“活動探索，構建結構”“建立模型，深化應用”“深度學習，感悟提升”等方面展開教學活動設計，并有針對性地談幾點思考.

［關鍵詞］ 知識生成；數學學科核心素養；雙曲線

隨著新課改的深入推進，以數學學科核心素養為導向的教學模式受到廣大教育工作者的認可，不少教師也對此展開了大量實踐與研究. 探索發現，關注知識形成的過程，不僅能讓學生對知識內容做到“知其然且知其所以然”，還能有效發展學生的數學思維，激發學生的數學潛能，提升學生的數學學科核心素養. 課堂是師生雙邊積極互動與交流的場所，也是促進教學相長的陣地. 教師作為課堂的組織者與引導者，需要充分了解學情，引導學生親歷知識生成的過程，從真正意義上提升學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等素養. 本文以“雙曲線的方程”教學為例，談談具體如何操作.

教學分析

1. 教學內容分析

雙曲線是繼橢圓之后的又一曲線，學生在本節課之前已經學習過圓和橢圓的相關內容. 雙曲線是在圓和橢圓基礎上建構的又一新知，學生通過知識的類比與學習方法的遷移，想要掌握本節課的內容，難度并不大. 基于以上分析，可見本節課除了能夯實學生基礎知識與基本技能外，還能提升學生的數學能力.

2. 學生情況分析

從學生的實際認知水平來看，處于該階段的學生已經具備良好的學習能力，能在自身已有的知識結構上通過類比遷移探索新知. 因此，教學本節課的關鍵在于由教師引導學生掌握知識規律特點，親歷知識形成與發展的過程，以增強學生數學抽象、數學運算與邏輯推理等能力，這些都是提升學生數學學科核心素養的基礎.

3. 教學目標分析

從教學內容特點與學生學情分析來看，本節課除了要教會學生掌握雙曲線的定義、標準方程等核心知識外，還要引導學生親歷知識形成的過程，從雙曲線的標準方程的推導過程中探索其他更多問題，并不斷提升學生的數學審美觀，實現五育并舉.

教學實踐與分析

1. 創設情境，提煉概念

情境1 用多媒體展示圖1，引導學生欣賞這些美圖，發現本節課即將探索的幾何圖形——雙曲線.

情境2 某市有三個監測站分別為A，B，C，已知B處于A的正西方向，AB=10 km，C處于B的北偏西30°方向，BC=6 km，監測站的監測對象為M站. 若A在某一時刻接收到M傳遞來的信號，過了6秒B與C同時接收到這一信號，這一信號的傳播速度為1 km/s，則M站的具體位置在哪里？

學生看到情境2，第一反應就是畫圖探索，即以AB為橫軸，其中點為原點建系，根據題設條件探尋M站的具體位置，并思考當MB-MA恒為一個數的情況下，M站的軌跡是怎樣的.

設計意圖 雖說高中生具備一定的邏輯推理能力，但在實際應用時，依然會習慣性地結合形象思維去分析問題. 因此，帶領學生從具體情境著手思考問題，可成功驅動學生的探索欲，為教學奠定基礎. 學生從具體情境中抽象問題的本質，并以數學語言去歸納總結問題，能有效提升自身的邏輯推理與數學抽象素養.

情境1不僅陶冶了學生的審美情操，還讓學生學會了從不同物品中提煉相同點，為揭露雙曲線這一數學內容打下基礎，促使學生帶著興趣進入學習狀態；情境2則讓學生在虛擬的情境中充分發揮想象，將抽象的文字不斷形象化，為本節課的教學探索奠定了基礎，對發展學生的空間想象與抽象素養具有重要意義.

2. 活動探索，構建結構

教學活動的開展可增強學生的探索熱情，讓學生全身心地投身于新知的建構中來. 本節課，結合知識特點與學情需要，筆者設計了如下探究活動.

活動1 折紙探索.

課前為各學習小組準備好A4紙. 如圖2所示，在紙張上隨意確定兩點F，F，以點F為圓心，小于FF的長度為半徑作圓. 在作出的圓F上任取一點P，折疊紙張，使點P與F重疊，用鉛筆將折痕l畫出來，與PF相交于點M；再隨機選擇點P，P，…，折疊PF，PF，PF，…，將折痕l，l，l，…畫出來，與PF，PF，PF，…相交于點M，M，M，…. 重復上述操作，大量交點構成了一條曲線. 當學生自主操作完成后，教師帶領學生在幾何畫板上演示上述操作，讓學生更直觀地看到曲線的形狀（如圖3所示）.

師：通過以上折疊操作，是否都能獲得一個雙曲線圖形？

在這個問題的啟迪下，學生經合作交流，發現：①若FF=

F

P-FP，交點M的軌跡為兩條射線；②若FF<

F

P-FP，不存在交點軌跡. 雙曲線的定義在活動探索中自然生成.

設計意圖 折紙活動的開展，使學生對雙曲線的定義有了具體形象的認識. 同時，幾何畫板的應用，又深化了學生對折紙活動和抽象的雙曲線的理解，促進學生抽象素養的發展. 學生在此過程中化被動為主動，不斷增加探索熱情，提煉數學思想方法，獲得了良好的數學抽象能力與數學建模能力.

活動2 問題思考.

師：通過以上探索可見雙曲線和橢圓之間存在著相似性，大家能根據認知經驗，借助類比遷移法自主獲得雙曲線的標準方程嗎？

在這個問題的點撥下，學生主要從以下幾個環節著手分析：①將直線FF作為x軸，線段FF的中點作為原點建立平面直角坐標系；②假設點M（x，y）是位于雙曲線上的任意點；③列式

FM -

FM =2a；④將點M（x，y）代入

FM -

FM =2a，得

-

=2a；⑤化簡式子. 簡而言之，即經歷建系、設點、列式與化簡的過程，獲得雙曲線的標準方程.

設計意圖 引導學生基于自身原有認知經驗來探索問題，即將探索橢圓方程的思路遷移到雙曲線的探索中，有效提升學生的類比分析能力，增強學生知識與方法的正遷移能力，培養學生的轉化能力與推理能力.

3. 建立模型，深化應用

例1 化簡方程：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

學生經交流，認為可從橢圓和雙曲線的定義出發去化簡：因為2c>2a>0，所以c2-a2>0. 令b2=c2-a2（b>0），代入（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）得-=1（a>0，b>0）.

設計意圖 公式當然是越簡潔越好，標準方程的推導，同樣需要遵循簡潔的原則. 若學生得到的結論比較煩瑣，就需要想辦法去優化它，此為推動邏輯推理素養與數據分析能力發展的重要途徑.

例2 下列各雙曲線的焦點坐標及a，b，c的值分別是什么？

①-=1；②-=1；③4x2-9y2=-36；④4x2-9y2=36.

對于這個問題，學生一致認為只要將待求方程轉化為標準方程，結論就能自然而然地生成了.

例3 怎樣從雙曲線的方程來分析其焦點位于哪根軸？

對于這個問題，學生同樣認為需要將待求方程轉化為標準方程后進行判斷，即系數為正數的情況下，變量所對應的坐標軸就是焦點所處的那根軸.

例4 若雙曲線的標準方程是+=1，其焦點在x軸上，則實數m的取值范圍是什么？

求解這個問題后，要求學生提出新問題.

設計意圖 設計上述幾道例題，一方面考查學生對雙曲線標準方程的理解與應用情況，另一方面促使學生感知數形結合思想的重要性，進一步提煉數學思維，為提高解題效率做鋪墊. 在課堂教學設計時，教師要充分考慮自身的示范作用與導向性，根據學情與教情擇取恰當的教學方式以提升學生的解題能力. 例如，最后一個問題就是基于學生獲得雙曲線的定義而設計的，此為豐富學生學習經驗與提升學生學習能力的重要舉措.

4. 深度學習，感悟提升

師：說說你在本節課中的收獲與感悟.

設計意圖 開放性問題促使學生從自身認知習慣出發，基于課堂學習情況，通過總結與提煉，逐層深化對知識的理解，并在類比分析過程中感悟數學思想方法，完善認知結構，發展核心素養.

思考與感悟

1. 五育并舉，讓課堂充滿活力

良好的審美觀能帶給學生正能量，讓學生對自己、他人與社會時刻保持積極的態度，為創新意識的形成與發展奠定基礎. 本節課，筆者從學生的認知規律出發，借助豐富的情境啟發學生的智力，讓學生通過情境的探索獲得用數學眼光觀察現實世界和用數學思維思考現實世界的能力. 探究活動中的折紙環節，一方面提升學生動手動腦的能力，另一方面讓學生在“做中學”中獲得良好的操作技能. 整個課堂因探索而充滿了生機與活力，學生的德育、智育、美育、勞育等也得到了有效發展，因此這是一節成功的課堂，從真正意義上實現了五育并舉.

2. 問題引領，讓知識自然生成

數學家哈爾莫斯認為“問題是數學的心臟”，數學課堂就是由一個個問題堆砌而來的. 學生在由淺入深的問題的引領下不斷深化思維，深刻理解所學內容，并隨著對問題探索的深入而提升各項學力. 正如張奠宙教授所言：知識有科學與教育兩種形態，即發生與呈現形式. 問題的應用可將知識的發生形式展示在學生面前，學生通過對問題的探索，獲得用數學眼光觀察事物與用數學思維思考事物的能力. 想要讓學生親歷知識形成的過程，就要想辦法將教學內容轉化為一系列具有探究價值的問題，以啟發學生的思維，讓問題推動課堂的發展. 如本節課，筆者結合學情與知識特點設計了一系列處于學生思維最近發展區的問題，成功激活了學生的探索欲，使學生在主動觀察、總結提煉中明確什么是雙曲線，為后續的靈活應用夯實了基礎.

3. 教育信息化，促進學力發展

雖說實操活動能增強學生的切身體驗，讓學生對知識的來龍去脈產生明確認識，但手工操作的局限性比較大，如折紙操作的次數就受到很大限制，這給學生觀察一些數學現象帶來了弊端. 信息技術的介入則能化解這一矛盾. 在教育信息化飛速發展的當下，有很多實操活動都可以結合信息技術進行. 實操與信息技術的融合，將數學現象刻畫得更加清晰，給學生的深刻理解帶來了便利. 如本節課的折紙活動，在幾何畫板的加持下，雙曲線的形成過程非常直觀、清晰. 學生通過實操與幾何畫板的應用，對雙曲線的理解更加深刻. 因此，實際操作與信息技術的深度融合是提升學生學力的重要舉措，也是發展學生數學學科核心素養的重要方法.

總之，引導學生經歷知識生成的過程，首先要做好教學分析，在對教學內容、學情與教學目標有明確認識的基礎上設計教學方案，并在各個環節中精心設計問題，以逐層推進學生思維的發展，讓學生在自主觀察與主動分析中學會“三會”，提升“四能”，培養數學學科核心素養.