通過創(chuàng)造性使用教材助力日常教學(xué)

［摘 要］ 基于課標(biāo)要求，以教材為載體，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材可有效拓展教學(xué)空間，落實(shí)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的導(dǎo)入教學(xué)為例，提出根據(jù)教材特點(diǎn)與缺陷重新整合教材內(nèi)容實(shí)施教學(xué)，凸顯創(chuàng)造性使用教材助力日常教學(xué)的優(yōu)勢.

［關(guān)鍵詞］ 教材；創(chuàng)造性；等差數(shù)列；導(dǎo)入教學(xué)

隨著新課改如火如荼地推進(jìn)，課堂教學(xué)不再是教教材，而是創(chuàng)造性使用教材. 主要表現(xiàn)在教師根據(jù)學(xué)情特點(diǎn)科學(xué)地調(diào)整、增補(bǔ)、重組教材，讓整合之后的教材與課標(biāo)要求更契合，以助力學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 然而，當(dāng)前仍有部分教師對創(chuàng)造性使用教材的理解還不夠到位，甚至有些教師劍走偏鋒，在開發(fā)教材時脫離了教學(xué)實(shí)際. 事實(shí)上，想要創(chuàng)造性使用教材，就要領(lǐng)悟教材的編寫意圖，學(xué)會用發(fā)展的眼光基于整體的視角開發(fā)與整合教材.

創(chuàng)造性使用教材的重要性

數(shù)學(xué)教學(xué)屬于人類的一種活動，教師應(yīng)在“再創(chuàng)造”的基礎(chǔ)上實(shí)施教學(xué)，即引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，重塑知識形成與發(fā)展的過程，讓學(xué)生從親歷中感知知識的來龍去脈，由此完善對教材內(nèi)容的理解. 此處提到的“再創(chuàng)造”，需要教師基于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對知識的內(nèi)在關(guān)系與本質(zhì)產(chǎn)生深刻理解，而非機(jī)械地直接呈現(xiàn)結(jié)論性內(nèi)容. 因此，創(chuàng)造性使用教材顯得尤為重要.

剖析教材

本文所提的“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”選自人教A版（2019）選擇性必修第二冊教材，筆者在剖析學(xué)情、教情與考情的基礎(chǔ)上對創(chuàng)造性使用教材提出一些新的思考.

1. 教材設(shè)計(jì)意圖的分析

教材以“1+2+3+…+100”的高斯算法為教學(xué)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注首尾相加法，通過類比來揭露首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列要分成n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況；而后利用高斯算法對這兩種情況進(jìn)行分析，經(jīng)化簡獲得求前n個正整數(shù)的和的公式. 此為探索特殊情況的過程. 想要明確一般情況，需要學(xué)生在此基礎(chǔ)上應(yīng)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

高斯在數(shù)學(xué)算法上作出過杰出貢獻(xiàn)，同時高斯算法與本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容又有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此將高斯算法作為開篇內(nèi)容，既可滲透數(shù)學(xué)文化，又能激發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列前n項(xiàng)和的探索興趣. 教材對公式的推導(dǎo)應(yīng)用了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，此為常見且重要的思想方法之一，對開發(fā)學(xué)生的理性思維具有重要價值，也是學(xué)生獲得一般化數(shù)學(xué)研究方法的重要階梯. 基于以上分析來看，如此設(shè)計(jì)教材的目的在于滲透數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的探索欲，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神，為學(xué)生獲得一般化數(shù)學(xué)研究方法奠定基礎(chǔ).

2. 教材缺陷思考

從編者的角度來看，教材如此設(shè)計(jì)確實(shí)很恰當(dāng)，不論思想方法、思維品質(zhì)、興趣激發(fā)，還是研究方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)文化等，方方面面都考慮到了，堪稱完美. 但考慮到學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，筆者認(rèn)為授課時，若憑借教材所提的高斯算法進(jìn)行課堂導(dǎo)入，則存在如下幾個問題：①首尾相加法是高斯想到的，而非學(xué)生想到的，存在將算法機(jī)械地傳授給學(xué)生的嫌疑，缺乏知識“再創(chuàng)造”的過程；②以高斯算法為起點(diǎn)，深入“倒序相加”的過程比較生澀，若處理不好則學(xué)生只能被動接受，無法真正做到“知其然且知其所以然”；③對公式的認(rèn)識比較表淺，無法實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)［1］.

基于上述剖析來看，即使按照教材流程順利完成教學(xué)任務(wù)，也難以真正錘煉學(xué)生的思維. 鑒于此，筆者針對本節(jié)課教學(xué)進(jìn)行了研究與思考.

創(chuàng)造性使用教材的過程設(shè)計(jì)

新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視教學(xué)過程，教師可從問題的提出、分析與解決等方面逐步暴露學(xué)生的思維過程，促使學(xué)生深刻理解知識的來龍去脈. “等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)，可將數(shù)形結(jié)合作為教學(xué)主線，即先借助直觀圖形誘發(fā)學(xué)生直觀想象，再以抽象的代數(shù)表達(dá)助推學(xué)生發(fā)展邏輯推理素養(yǎng). 為了充分體現(xiàn)創(chuàng)造性使用教材對助推課堂教學(xué)的益處，本文詳細(xì)探討課堂的導(dǎo)入環(huán)節(jié).

師：如圖1所示（用多媒體展示），此為一堆圓木樁，最上面一層有1根木樁，逐層往下分別有2根、3根、4根……誰來說說當(dāng)層數(shù)為100時，共有多少根木樁？

生1：可以考慮首尾配對，即第一層與最后一層配對，第二層與倒數(shù)第二層配對……一共可配50對，列式為（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

值得注意的是，若學(xué)生沒有想到這種首尾相加法，教師需要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo). 若引入不當(dāng)，則存在直接灌輸?shù)南右桑慈艚處燑c(diǎn)撥不當(dāng)，則與教材直接呈現(xiàn)高斯算法有相同的問題.

師：非常好！你們所提的這種算法與偉大的數(shù)學(xué)家高斯想到的算法一樣，看來大家都具備數(shù)學(xué)家的基本素質(zhì). 這位同學(xué)以列式的方法來計(jì)算木樁的總數(shù)量，對運(yùn)算技巧的要求較高，如果從圖形的角度來分析，能否利用更便捷的方法來計(jì)算呢？

生2：從木樁堆的側(cè)面來看，100層木樁堆放在一起形成了一個三角形. 從圖形的角度來看，木樁的總數(shù)量與三角形的面積有關(guān)系，但是木樁堆構(gòu)成的三角形的面積與木樁的總數(shù)量難以等同，思維至此卡殼了.

師：這一想法有點(diǎn)意思，三角形的面積公式大家都很熟悉，既然無法將三角形的面積與木樁數(shù)量畫上等號，可否從其他圖形來思考呢？

生3：或許可用平行四邊形來分析.

師：哦？請描述得更具體一些.

生3：增加同樣多的木樁進(jìn)行拼搭，將原本100層的三角形木樁堆轉(zhuǎn)化為每一層均有101根木樁的100層平行四邊形木樁堆，由此可得平行四邊形木樁堆的木樁總數(shù)量為（100+1）×100=10100，則三角形木樁堆的木樁總數(shù)量是10100÷2=5050.

師：非常好！將轉(zhuǎn)化之前的三角形木樁堆用數(shù)列來表示，該如何描述呢？

生4：應(yīng)該屬于等差數(shù)列，其首項(xiàng)與公差均為1.

師：通過以上探索，明確了1+2+3+…+100=5050，即首項(xiàng)與公差均為1的等差數(shù)列前100項(xiàng)的和為5050. 將這一結(jié)論進(jìn)行推廣，用S來表示該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可否得到Sn的表達(dá)式？

生5：可以，S=.

師：可否用直觀圖形來表示？

生6：如圖2所示，將a，a，…，a從上到下擺放成三角形，其中第1行的圓點(diǎn)數(shù)量為1，第2行的圓點(diǎn)數(shù)量為2，第3行的圓點(diǎn)數(shù)量為3，以此類推，第n行的圓點(diǎn)數(shù)量為n，將所形成的三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，則每一行的圓點(diǎn)數(shù)量均為n+1，共有n行. 因此，平行四邊形中的圓點(diǎn)數(shù)量為n（n+1），則三角形中的圓點(diǎn)數(shù)量就是. （多媒體演示推導(dǎo)過程）

師：分析得不錯，此為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)——倒序相加法. 用這個方法推導(dǎo)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和公式是什么呢？

生7：等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和公式S=.

師：用這個公式進(jìn)行計(jì)算，哪些量必須明確？

生8：想要計(jì)算，必須明確等差數(shù)列的首項(xiàng)a和末項(xiàng)a，同時要知道項(xiàng)數(shù)n的具體值.

師：非常好，基于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的形式進(jìn)行分析，可聯(lián)想到什么圖形的面積公式？

生9：我記得探索梯形的面積時，就是將梯形拼接成平行四邊形來完成的，其面積公式與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有高度相似性.

師：是的，可否提煉出它們的共同原理？

生9：兩者的構(gòu)造方法高度相似，都是將原圖形拼接成平行四邊形，即通過倒序相加獲得的.

師：為什么要倒序相加呢？

生9：將不相等的部分補(bǔ)充為相等的部分，更便于理解與計(jì)算.

師：很好！倒序相加就是將一個等差數(shù)列構(gòu)造成數(shù)值完全一樣的常數(shù)列，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與梯形的面積公式的推導(dǎo)有異曲同工之妙.

與文字語言相比，圖形語言的應(yīng)用讓原本抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得直觀形象，這種轉(zhuǎn)化更便于學(xué)生理解. 上述導(dǎo)入模式成功突破了教材用高斯算法導(dǎo)入的局限，高斯算法導(dǎo)入屬于從代數(shù)維度去理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，這對學(xué)生來說確實(shí)存在一定的困難. 而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，則將原本抽象、靜止的代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形模式，學(xué)生的思維從三角形的面積出發(fā)，過渡到平行四邊形的面積中來，不僅揭露了倒序相加法的原理，還讓學(xué)生從根本上掌握了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對公式內(nèi)涵與外延的理解也更加深入.

在此過程中，筆者若依靠教材提供的方法，帶領(lǐng)學(xué)生純粹從代數(shù)層面進(jìn)行探索，則學(xué)生只會死記公式，難以理解公式的本質(zhì). 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，幫助學(xué)生建立了良好的思維基礎(chǔ)，揭露了倒序相加法的形成原理與計(jì)算過程，使學(xué)生直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了發(fā)展.

思考與感悟

1. 創(chuàng)造性使用教材是必然趨勢

教材是教學(xué)的依托，利用教材所呈現(xiàn)的例子實(shí)施教學(xué)理所當(dāng)然，但生搬硬套教材內(nèi)容則有悖于新課改的教學(xué)理念. 事實(shí)證明，依托教材實(shí)施教學(xué)，需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平與知識特點(diǎn)而定，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程是踐行深度學(xué)習(xí)理念的基礎(chǔ). 因此，創(chuàng)造性使用教材是新課改的必然趨勢.

對等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的研究，學(xué)生思維的障礙點(diǎn)在于倒序相加法的應(yīng)用原理，若按部就班地應(yīng)用教材內(nèi)容進(jìn)行課堂導(dǎo)入，則難以揭露原理本質(zhì)；而創(chuàng)造性使用教材，帶領(lǐng)學(xué)生從圖形著手去探索，成功吸引學(xué)生注意力的同時，活化了學(xué)生的思維，致使學(xué)生主動想到用圓點(diǎn)來刻畫問題，滲透著數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，推動學(xué)生邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)有效發(fā)展.

2. 理解教材是創(chuàng)造性應(yīng)用教材的基礎(chǔ)

俗話說：知己知彼，百戰(zhàn)不殆. 這句話同樣適用于創(chuàng)造性使用教材助力教學(xué)，教師只有從根本上理解教材的編寫意圖，才能不偏離教學(xué)目標(biāo). 當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教材版本眾多，一線教師不能只將目光緊盯在自己使用的教材上，還要關(guān)注其他版本教材，從其他版本教材中獲取一些有利于課堂教學(xué)的信息，為創(chuàng)造性使用教材提供靈感. 本節(jié)課對課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的改造，就源于其他版本教材提供的信息. 事實(shí)證明，利用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的效果優(yōu)于單純的代數(shù)教學(xué)的效果. 因此，此為一次成功的改造過程.

3.與時俱進(jìn)是創(chuàng)造性使用教材的關(guān)鍵

隨著時代的發(fā)展與科技的進(jìn)步，當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)有了天壤之別，尤其是信息技術(shù)的崛起，教育信息化已經(jīng)滲透到課堂的每一個角落. 教師應(yīng)與時俱進(jìn)，在讀懂教材的基礎(chǔ)上使用好先進(jìn)的信息技術(shù)手段，讓信息技術(shù)成為創(chuàng)造性使用教材的輔助工具. 除此之外，教師還要關(guān)注課改的進(jìn)度，掌握好政策的風(fēng)向標(biāo)，在發(fā)展學(xué)力的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué). 例如本節(jié)課，筆者借助多媒體展示圖形變化情況，讓學(xué)生能直觀地觀察到圖形怎樣由三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，為理解倒序相加法奠定了基礎(chǔ).

總之，創(chuàng)造性使用教材的本意不是摒棄教材，而是以新課標(biāo)為依據(jù)，對于教材內(nèi)容進(jìn)行合理調(diào)整、取舍與增補(bǔ)，使得整合后的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)構(gòu)思及教學(xué)過程能符合新課標(biāo)所倡導(dǎo)的教育理念，更有利于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展［2］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 林澤華，李孝誠. 基于“創(chuàng)造性使用教材”的創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì)——透過“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的視點(diǎn)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（03）：26-28.

［2］ 張煒. 例談創(chuàng)造性使用教材的設(shè)計(jì)及反思——以“直角三角形全等的判定”為例［J］. 理科考試研究，2022，29（14）：13-16.