高中數學不同版本教材數列概念內容的比較研究

［摘 要］ 數列概念是高中數學的重要概念. 研究者從編排思路與知識結構、概念形成的素材、用函數觀點看數列、教材例題等角度入手，對人教A版（2019版）、蘇教版（2021版）、北師大版（2019版）數學教材中的數列概念內容進行比較研究，并提出兩個課時的教學建議.

［關鍵詞］ 數列概念；教材比較；知識結構；函數觀點

以《普通高中數學課程標準（2017年版）》（簡稱課程標準）為依據編寫的新教材是新課程理念的集中體現，是數學學科核心素養在教學中落地的媒介. 不同版本的教材都嚴格按照課程標準進行編寫，但具體內容的呈現方式和內容所折射出來的能力和素養要求又有一定差異. 因此，對不同版本的教材進行比較研究，能在領會教材的編寫意圖，吸取各版本教材的閃光點的基礎上，創造性地使用教材.

數列是“函數”主題的內容之一，數列的學習是對函數的認識的深化.數列概念是高中數學的重要概念，是學生體會數學對象的獲得過程和數學對象的研究思路的典型載體，其學習有助于培養學生的數學抽象素養.因此，有必要以教材為基礎對數列概念進行深度研究.本文對人教A版（2019版）、蘇教版（2021版）、北師大版（2019版）數學教材（分別簡稱人教A版教材、蘇教版教材、北師大版教材）中的數列概念內容進行比較研究，并提出兩個課時的教學建議.

三版本教材的比較

1. 編排思路與知識結構的比較

三版本教材的編排思路和重點內容大致相同——都按照如下思路編排內容：數列事實（實際例子）→抽象出數列的概念→概念辨析（數列是特殊函數）→數列的表示與性質. 它們都采用概念形成的方式建構數列的概念，即從典型豐富的具體案例中抽象出它們的共同特征，進而對數列下定義. 數列概念的抽象、數列通項公式的探究是三版本教材共同的重點內容. 從函數的視角看數列在三版本教材中都有重點體現.

雖然三版本教材的編寫總體思路相同，但知識結構有一定差異. （1）關于數列的表示，人教A版和蘇教版教材給出的是列表、圖象、通項公式、遞推公式等四種方法，并以例題的形式呈現這四種表示方法，而北師大版教材沒有用遞推公式表示數列. （2）北師大版教材更加凸顯用函數的觀點看數列，將“數列的函數特性”單獨作為一小節內容，并將研究函數的兩條基本思路（evk50xZfDHsxx3EKFDuYFTor5SCyNRHZD2UQN786iHk=形的角度直觀認識和數的角度精確刻畫）遷移到數列的研究中. （3）人教A版和北師大版教材都研究了數列的單調性，其中北師大版教材用文字語言、符號語言和圖形語言等刻畫數列的單調性，并且利用例題深化學生的理解，而人教A版教材僅用文字語言進行了刻畫. 蘇教版教材沒有講解數列的單調性. （4）人教A版教材介紹了數列的前n項和S，并說明通項a與S之間的關系，另外兩版教材沒有這部分內容. 三版本教材的知識結構圖分別如圖1、圖2、圖3所示.

2. 概念形成素材的比較

為了形成數列概念，三版本教材都用實例作為問題情境. 按照各版本教材實例的編排順序分別編號，從實例的數量、來源、剖析、數列特征，以及與后續內容之間的聯系等維度進行比較分析，整理成表1.

從表1可以看出，三版本教材的實例都能做到“低起點、高立意”. 首先，所選實例主要來自現實生活和熟悉的數學問題，便于學生理解. 其次，實例能揭示數列的本質特征. 實例所蘊含的數列既包含有規律的數列（如等差數列、等比數列），又包含沒有規律的數列，避免學生誤以為具有規律的一列數才是數列；數列的項既有整數，又有非整數，避免學生誤認為數列的項只能是整數. 對學生可能出現的錯誤認識的規避意在指向數列的本質特征：數列是一列數，且這列數具有實際意義，不能調換順序. 再次，實例成為推動數學知識發展的內在力量. 實例的共同特征讓數列的概念呼之欲出，實例中的無窮數列讓數列的通項公式和遞推公式這兩種表示方法的呈現成為必然.

人教A版對數列本質特征的揭示更充分，易于學生突破學習難點.在給出實例之前，用一句引導語“在現實生活和數學學習中，我們經常需要根據問題的意義，通過對一些數據按特定順序排列的方法來刻畫研究對象”呈現本節內容的先行組織者.引導語中的“一些數據”和“特定順序”順應學生的學習心理，具有統攝性，指明三個實例的分析方向. 然后以“示范+模仿”的方式幫助學生了解數列，如通過第一實例和第二實例的詳細分析，引導學生體會數列中的數不能交換位置，在此基礎上指出它們都是“具有確定順序的一列數”. 接著在第三實例后面提出問題引發學生思考：“你能仿造上面的敘述，說明第三實例中的數也是具有確定順序的一列數嗎？”最后引導學生歸納三個實例的共同特征. 由于學生難以從實例中直接提煉數列的本質特征——具有確定順序的一列數，因此教材搭建思維臺階，聚焦思考方向，便于學生抽象概念.

蘇教版和北師大版教材給學生提供了更多自主探究的空間.它們給出實例前，沒有針對實例提出思考方向，而是呈現更豐富的例子（蘇教版6個，北師大版5個），進而幫助學生從眾多實例中抽象概括出“一定次序排列的一列數”. 學生沒有受到問題起源闡述的思考限制，可以從不同角度進行分析、歸納、提煉，在充分體驗概念形成的過程中，逐步增強問題意識，發展數學抽象素養. 同時，蘇教版教材注重內容的前后聯系，實例1與實例2和實例3與實例4分別在等差數列和等比數列的定義中作為問題情境素材再次被利用.

3. 用函數觀點看數列的比較

課程標準指出“了解數列是一種特殊的函數”，并要求“感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性”.三版本教材都從三個角度讓學生體會數列是特殊的函數：第一，數列滿足函數的定義.數列中每一個給定的序號n，都有唯一的項a與之對應，符合函數的定義. 為幫助學生理解，三版本教材都用表格直觀呈現這種對應關系. 第二，用函數的三種表示方法來表示數列. 函數有列表法、圖象法、解析式法三種表示方法，分別對應數列的列表法、圖象法、通項公式法. 第三，數列是特殊的函數，其特殊性在于定義域為正整數集或其有限子集，因此數列的圖象是一些孤立的點.

三版本教材在內容組織、側重點、語言的描述上有一定差異. 首先，用表格呈現序號n與項a的對應關系時，呈現形式和順序不全相同. 北師大版教材先以具體數列a=為例，再過渡到一般數列，分別分析序號n與項a的對應關系；人教A版教材先介紹一般數列的序號n與項a的對應關系，再用表格和圖象來表示具體數列的序號n與項a的對應關系；蘇教版教材以文字語言直接指出數列是特殊的函數，在例題（例2）中用表格引導學生進一步認識序號n與項a的對應關系. 其次，北師大版教材沒有局限于從定義和表示方法挖掘數列與函數的內在聯系，而是更注重研究方法的滲透. 它以數列的單調性為載體，引導學生將函數單調性的研究方法中的作差法和圖象分析法遷移到數列中，讓學生深刻體會用函數的觀點看數列，用函數的研究方法研究數列. 再次，行文風格上，蘇教版教材更“隱晦”，人教A版和北師大版教材更“直接”. 例如，“數列的通項公式就是相應函數的解析式”在人教A版和北師大版教材都有，人教A版更是指出“與其他函數一樣，數列也可以用表格和圖象來表示”，這些文字都清晰直接地說明了數列與函數在表示方法上的一致性. 蘇教版教材則含蓄地描述為“數列可以由通項公式來給定，也可以通過列表或圖象來表示”，這樣表達給了學生思考和聯想的空間.

4. 教材例題的比較

人教A版、蘇教版、北師大版教材中的例題分別有5個、4個、5個，按照各版本教材例題的編排順序分別編號，得到三版本教材例題內容一覽表（如表2所示）. 從設計意圖來看，人教A版和蘇教版中的例題以知識立意為主，以能力和素養立意為輔. 兩版本教材主要圍繞gDXvH0YWpVZX+Jz7FyT2lQ==通項公式和遞推公式設置例題.根據通項公式寫出前幾項并作圖象，以及根據遞推公式寫出前幾項，都是對數列概念的理解和表示方法的應用；根據通項公式判斷某個數是否為數列中的項，意在將求數列中的項數n轉化為求方程的正整數解. 這些例題相對簡單，學生容易理解，可以幫助學生鞏固和運用本章節的主要知識，培養學生的計算能力和理性精神. 根據數列的前幾項寫出它的一個通項公式對學生來說有一定難度，需要通過觀察、計算，尋找項數n與通項a的對應關系，并用數學符號表達出來，可以發展學生的邏輯推理素養.

北師大版教材中的例題側重能力和素養立意，兼顧知識立意. 主要圍繞通項公式和單調性設置例題，并有一個例題是數列的表示方法與單調性相結合的實際應用問題.北師大版教材中的例題與人教A版和蘇教版教材中的例題的最大不同在于其通過數列的通項公式（或通項）研究數列的單調性，需要學生先了解數列單調性的符號化表達，再調用已有的學習經驗，將函數單調性的判斷方法遷移到數列中，不僅能幫助學生理解數列的本質，促進知識內化，還能在與函數的研究方法的聯系中幫助學生建構方法體系，提升數學方法的遷移能力. 北師大版教材中的實際應用問題有一定難度，需要學生通過文字閱讀，提取信息，并用符號和圖象表示，有助于學生閱讀理解能力、推理能力和數學建模能力的提升.

綜上所述，三版本教材在落實新課程理念的基礎上各具特色. 人教A版教材知識內容全面、脈絡清晰，概念形成過程注重示范，突破學習難點，揭示數學本質，例題選擇兼顧知識鞏固與能力發展. 蘇教版教材知識內容簡明，突出主干知識，注重從單元整體架構的角度選擇學習素材，以典型豐富的例子促進概念形成，例題選擇精煉且基礎. 北師大版教材強調數列與函數的聯系，注重知識體系的構建和研究方法的遷移，例題選擇對學生的數學能力有一定要求.

教學建議

基于上述三版本教材的比較分析，綜合它們的優點進行教學.以數列的概念為載體，讓學生明晰研究數學對象的基本路徑，發展其認知結構，完善其認知體系.

因為遞推公式反映了數列的項之間的迭代關系，是數列重要的表示形式；數列的前n項和S與通項a之間的關系是后續學習構造法證明數列型不等式的主要依據；數列的單調性對體會數列與函數之間的關系具有不可替代的作用. 因此，將遞推公式、前n項和、單調性三部分內容都列入教學內容. 從內容上對“數列的概念”單元劃分課時如下：

課時1：數列的概念（1）——數列概念的形成、數列概念的辨析、數列的三種表示.

課時2：數列的概念（2）——數列的遞推公式、單調性、前n項和.

現呈現每個課時教學設計的重點環節.

1. 課時1：數列的概念（1）

師：高一時我們研究了重要的數學對象——函數.回顧函數的研究思路“現實情境→函數概念→符號表示→具體函數→知識應用”.本節課開始，我們將研究一種新的數學對象.

（1）問題情境，形成概念

情境1［1］ 王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高. 將這些身高數據（單位：cm）依次排成一列數：

75，87，96，103，110，116，120，128， 138，145，153，158，160，162，163，165， 168. ①

情境2［1］ 在兩河流域發掘的一塊泥版上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數：

5，10，20，40，80，96，112，128，144， 160，176，192，208，224，240. ②

情境3［1］ -的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數：

-，，-，，…. ③

情境4［2］ 某種樹木第1年長出幼枝，第2年幼枝長成粗干，第3年粗干可生出幼枝（如圖4所示），那么按照這個規律，各年樹木的枝干數依次為：

1，1，2，3，5，8，….④

問題1 根據情境1和情境2，回答下列問題.

①情境1中，第4、第6個數的實際意義分別是什么？若交換103和116的順序，所表示的實際意義還一樣嗎？

②如何表示每一個數所在的位置？能否引入一個符號，表示上述情境中的數？

師生活動：用序號表示每一個數所在的位置，并引入與序號相關的符號來表示情境中的數，如用h表示王芳第i歲生日那天的身高，用s表示第i天月亮可見部分的數……

追問：按這樣的表述，s的實際意義是什么？

設計意圖 通過實際意義的表明和符號表示，讓學生體會①②都是具有確定順序的一列數.

問題2 你能仿造上面的研究過程，說明③④也都是具有確定順序的一列數嗎？

問題3 上述4個例子有何共同特征？

師生活動：抽象出數列的定義，并給出數列的一般形式.

問題4 你能舉出一個數列的例子，并說明它的實際意義嗎？

（2）概念辨析，建立聯系

問題5 根據上述4個數列中的項與序號之間的關系，你能聯想到已經學過的什么知識嗎？

追問：能用函數的定義進行分析嗎？

問題6 既然數列是函數，它的定義域是什么？類比函數的表示方法，你認為數列有哪些表示方法？

追問：你能用列表法和圖象法來表示數列①嗎？

問題7 函數的解析式法對應數列的什么表示方法？

引導學生分析得到：函數可以用一個式子（解析式）來刻畫其因變量與自變量之間的對應關系，數列也可以用一個式子（通項公式）來刻畫項與序號之間的對應關系. 師生共同分析情境3中的數列，得到a=

-n是其通項公式.

（3）概念運用，承上啟下

例1 根據下列數列｛a｝的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖象.

（1）a=；

（2）a=cos.

例2 根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：

（1）1，-，，-，…；

（2）2，0，2，0，….

師：一個數列的通項公式是否唯一？

2. 課時2：數列的概念（2）

（4）形成沖突，豐富表示

師：是否所有的數列都有通項公式？哪些數列有通項公式？

生1：根據例2可知，能找出規律的數列才能寫出其通項公式.

問題8 你能找出數列④的規律嗎？能寫出它的通項公式嗎？

生2：從第3項起，每一項都是前兩項的和，寫不出它的通項公式.

師：如何用符號刻畫這種規律？

生3：a=a+a，a=a+a，…，a=a+a，….

例3 已知數列｛a｝滿足a=1，a=1，a=a+a，其中n∈N*，寫出這個數列的前5項.

設計意圖 以學生現有的知識，雖然知道數列④有規律，但寫不出它的通項公式，從而引發了認知沖突. 通過例3指出數列還可以用遞推公式來表示，并引導學生理解數列的每一項與遞推公式之間的關系.

（5）方法遷移，建構體系

問題9 學習函數時，我們研究了它的哪些性質？你能給出單調遞增（遞減）數列的定義，并用數學符號來刻畫嗎？如何根據數列的通項公式來判斷它的單調性？

例4［3］ 寫出下面數列的一個通項公式，并判斷其增減性：

，，，…，，….

例5［3］ 一輛郵車每天從A地往B地運送郵件，沿途（包括A，B）共8站.從A地出發時，裝上發往后面7站的郵件各1件，到達后面各站后卸下前面各站發往該站的郵件，同時裝上該站發往后面各站的郵件各1件. 試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件數所成的數列，畫出該數列的圖象，并判斷該數列的增減性.

完成例5后，給出數列｛a｝的前n項和S的定義，并探究S與a之間的關系.

設計說明 前3個情境源于人教A版教材，第4個情境來自蘇教版教材；例1、例2來自人教A版教材，例3是對蘇教版教材中的例題的改編，例4、例5選自北師大版教材. 在教學中，采用人教A版“模仿+示范”的方式與學生一起分析問題情境，歸納總結數列的本質特征. 類比函數的研究思路來研究數列，并將數列知識及研究方法納入學生已有的認知結構，在豐富和完善認知體系的過程中發展學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中教科書·數學·選擇性必修第二冊（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 單墫，李善良. 普通高中教科書·數學·選擇性必修第一冊［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021.

［3］ 王尚志，保繼光. 普通高中教科書·數學·選擇性必修第二冊［M］. 北京：北京師范大學出版社，2019.