基于優化動力學模型的路徑跟蹤控制研究

何智成 王煜凡 韋寶侶 李智 卜騰辰

摘要：

針對一般路徑跟蹤模型預測控制器在高速大曲率工況下適應性差的問題，提出了一種基于優化動力學模型的自適應預測時域控制策略。首先，為解決經典動力學模型在較高側向加速度工況下精度不足的問題，建立了包含側傾轉向和變形轉向特性的優化模型，實現了車輛狀態的較高精度預測；其次，為解決高速大曲率工況下固定預測時域控制效果不佳的問題，提出了基于二維高斯函數的自適應預測時域策略，以低算法復雜度實現了預瞄距離的實時調整；最后，通過CarSim/Simulink聯合仿真實驗驗證了控制器在雙移線道路上的控制效果，結果表明，橫向位置峰值誤差降低45.1%，橫擺角峰值誤差降低72.4%，設計的控制器對極限工況有更好的適應性。

關鍵詞：智能網聯汽車；橫向動力學優化；路徑跟蹤；模型預測控制；自適應預測時域

中圖分類號：U467

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.06.006

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Research on Path Tracking Control Based on Optimized Dynamics Model

HE Zhicheng1? WANG Yufan1? WEI Baolv1，2? LI Zhi1? BU Tengchen1

1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing Technology for Vehicle，

Hunan University，Changsha，410082

2.SAIC GM Wuling Automobile Co.，Ltd.，Liuzhou，Guangxi，545007

Abstract： In response to the poor adaptability of conventional path tracking model predictive controllers under high-speed and large-curvature conditions， an adaptive prediction horizon control strategy was proposed based on optimized dynamic models. Firstly， to address the issues of insufficient accuracy of classical dynamics models under high lateral acceleration conditions， an optimized model including roll steer and compliance steer was established， achieving higher precision prediction of vehicle states. Secondly， to address the issues of fixed prediction horizon control under high-speed and large-curvature conditions， an adaptive prediction horizon strategy was proposed based on two-dimensional Gaussian function， achieving real-time adjustment of preview distances with low algorithm complexity. Finally， the effectiveness of the controller on double-lane-change roads was verified throught CarSim/Simulink joint simulation. Results show that a reduction of 45.1% in lateral position peak errors and 72.4% in yaw angle peak errors indicate better adaptability of the designed controller to extreme conditions.

Key words： intelligent connected vehicle； lateral dynamics optimization； path tracking； model predictive control； adaptive prediction horizon

收稿日期：20231002

基金項目：湖南省杰出青年基金（2021JJ10016）；廣西科技重大專項（2021AA04004）；柳州市科技計劃（2022AAA0101）

0? 引言

隨著移動互聯網、大數據和云計算等新一代信息技術的革命性突破，智能交通系統蓬勃發展［1］，其中自動駕駛技術是其關鍵推動力之一［2］。車輛在高速大曲率工況下產生較大的側向加速度容易發生側滑失穩現象，威脅駕乘人員的安全［3］，因此，智能汽車在此類工況下實現穩定準確的路徑跟蹤是自動駕駛運動控制的重要挑戰。

國內外學者在路徑跟蹤控制研究中采用了多種控制算法，包括PID控制［4-5］、滑模控制［6-7］、魯棒控制［8］、模型預測控制（model predictive control， MPC）［9］和模糊控制［10］等。近年來，由于MPC算法能夠系統地處理車輛動力學約束，逐漸成為了研究熱點。然而，在高速大曲率工況下，固定預測時域可能會影響路徑跟蹤的精度和車輛穩定性［11］，為此，一些學者提出了一系列改進措施。LIU等［12］提出了一種變步長的模型離散化方法，該方法在滿足計算實時性的同時擁有更長的預測時域。白國星等［13］基于非線性模型預測控制算法，將預測時域同車輛速度和穩態轉向角結合起來以設計控制器。CHEN等［14］提出了一種基于路徑的自適應預測時域路徑跟蹤轉向控制器。預測時域的變化策略應綜合考慮車輛狀態和道路信息，而且要以較低的算法復雜度滿足實時性要求。

基于優化動力學模型的路徑跟蹤控制研究——何智成? 王煜凡? 韋寶侶等

中國機械工程 第35卷 第6期 2024年6月

另外，針對側向加速度較大時經典動力學模型［15］精度不足的問題，劉文營等［16］根據縱向車速、等效側偏剛度的變化規律，對線性二自由度模型進行了擴展。陳炎［17］在二自由度模型的基礎上加入了側傾運動修正，可以在仿真和參數辨識時簡化運算。關龍新等［18］基于MPC算法提出了一種前饋雙補償抗擾動機制，然后通過擴張狀態觀測器實時估計車輛未知擾動量用于前饋補償。然而，路徑跟蹤控制高度依賴于車輛動力學模型，因此如何建立更高精度的動力學模型，并運用于控制器設計仍需要開展進一步研究。

本文針對智能車輛路徑跟蹤控制器在高速大曲率工況下適應能力不足的問題展開研究。首先，引入懸架和轉向系統的動態特性來修正橫向動力學方程，建立車輛優化動力學模型；其次，推導了優化的預測模型，并設計了關于車輛速度與道路曲率的自適應預測時域策略，實現了預瞄距離實時調整的MPC控制；最后，通過CarSim/Simulink聯合仿真驗證設計控制器的有效性。

1? 優化車輛動力學模型

1.1? 經典動力學建模與靜態穩定性因數分析

車輛動力學模型是設計路徑跟蹤控制器的基礎，經典三自由度車輛動力學模型如圖1所示，表達式如下：

mv·x=mvyφ·+Fxf+Fxr－Fyfδf

mv·y=－mvxφ·+Fyf+Fyr

Izφ¨=lfFyf－lrFyr（1）

式中，m為整車質量；Iz為繞z軸的轉動慣量；lf、lr為質心到前后軸距離；vy、vx為橫向、縱向速度；φ為橫擺角；δf為前輪轉角；Fxf、Fxr為前后輪的縱向力；Fyf、Fyr為前后輪側向力。

前后車輪側偏角分別為

αf=arctan（vy+lfφ·vx）－δf≈vy+lfφ·vx－δf（2）

αr=arctan（vy－lrφ·vx）≈vy－lrφ·vx （3）

穩態橫擺角速度增益和靜態穩定性因數分別為

φ·δf=vxL1+mL2（lfCαr－lrCαf）v2x? （4）

Ks=mL2（lfCαr－lrCαf） （5）

式中，L為軸距；Cαf、Cαr為前后輪側偏剛度。

由式（2）～式（5）推導側偏角與靜態穩定性因數的關系為

δf=αf－αr+L/R=（1+Ksv2）L/R（6）

式中，v為車輛速度；R為行駛半徑。

由式（6）可知，靜態穩定性因數僅由車輛基礎參數組成，忽略了懸架與轉向系統的影響，而車輛在高速大曲率工況下會產生較大的載荷轉移，懸架和轉向系統結構會發生較大變形，靜態穩定性因數精度會下降，經典動力學模型不能較好地體現車輛操控特性。

1.2? 橫向動力學優化及模型建立

在側向加速度較大時，車輛懸架和轉向系統變形會導致四輪定位參數變化，對車輛橫向動力學產生較大的影響。目前的研究主要是通過算法的魯棒性解決建模過程中產生的誤差，但復雜的算法對控制系統的實時性要求提出挑戰。本文將側傾轉向、側傾外傾、變形轉向和變形外傾產生的四輪定位參數變化補償到動力學方程中，將試驗數據和動力學機理融合進行建模，優化車輛的橫向動力學。

在懸架K（kinematic）特性研究中，車輛側傾會引起前轉向輪繞主銷的轉動和后輪繞垂直于地面軸線的轉動，即車輪束角會產生一個側傾轉向角的變化，如圖2a所示。同時，車輛側傾會引起車輪繞x軸的轉動，即車輪外傾角會產生一個側傾外傾角的變化，如圖2b所示。在懸架C（compliance）特性研究中，懸架導向桿系元件在側向力或回正力矩作用下發生變形，引起前輪繞主銷的轉動和后輪繞垂直于地面軸線的轉動，即車輪束角會產生一個變形轉向角的變化，如圖2c、圖2d所示。同時，變形也會引起車輪繞x軸的轉動，即車輪外傾角會產生變形外傾角的變化，如圖2e、圖2f所示。

四輪定位參數變化系數如表1所示。一般假

設側向力作用在輪胎的幾何中心，但車輛實際在轉彎中會產生輪胎拖矩TPF、TPR，影響質心到前后軸的距離。載荷轉移（LLT）、車輛的驅動力或制動力和車身變形都會影響到穩定性因數。側傾轉向和變形轉向產生的車輪束角變化可以等效為車輪轉向角的幾何修正，優化后的前后輪側偏角分別為

αfo=vy+lfoφ·vx－（δf+kf1r+kf3Fyfo－kf5Mzfo）（7）

αro=vy－lroφ·vx－（kr1r+kr3Fyro－kr5Mzro）（8）

式中，Fyfo、Fyro為優化后的前后輪側向力；Mzfo、Mzro為優化后的前后輪回正力矩；lfo、lro為優化后的質心到前后軸距離；r為車輛側傾角。

車輛側傾角與側向加速度存在滯后的線性關系，于是可將車輛側傾角轉化為

φr=kay=k（v·y+vxφ·） （9）

式中，k為轉換系數；ay為側向加速度。

外傾角會讓車輪具有繞旋轉軸線與地面交點方向滾動的趨勢，由于受車軸的約束兩車輪一起前行，而輪胎在接地點會產生外傾力，于是車輛側傾外傾和變形外傾產生的車輪外傾角變化可以等效為側向力的力修正，前后輪的外傾力分別為

Fyfγ=Cγf（kf2r+kf4Fyfo－kf6Mzfo） （10）

Fyrγ=Cγr（kr2r+kr4Fyro－kr6Mzro） （11）

式中，Cγf、Cγr分別為前后輪外傾剛度；Fyfγ、Fyrγ分別為前后輪外傾側向力。

聯立式（7）～式（11），可得到優化后的前后輪側向力Fyfo和Fyro，實現橫向動力學的優化。

綜上所述，融入車輛側傾與懸架變形特性的優化動力學模型為

v·x=vyφ·+（Fxf+Fxr－Fyfoδfo）/m

v·y=－vxφ·+（Fyfo+Fyro）/m

φ¨=［（lf－TPF）Fyfo－（lr+TPR）Fyro］/Iz

X·=vxcos φ－vysin φ

Y·=vxsin φ+vycos φ（12）

式中，X·、Y·分別為車輛X、Y方向的速度。

1.3? 優化動力學模型實車驗證

本文目標車輛為某款暢銷的純電動微型汽車，車輛基礎參數如表2所示。車輛滿載工況下的懸架KC特性試驗現場如圖3所示。

表1中的優化系數通過加權最小二乘（WLS）法［19］估算，以側傾轉向系數為例，假設車輛側傾角與車輪束角的關系函數為Ytoe=Xrollθ，則

Tj=1r11r21riτjkj（13）

i=1，2，…，n? j=fl，fr，rl，rr

式中，Ytoe為車輪束角；θ為待定系數；Xroll為車輛側傾角；Tj為各車輪側傾轉向束角；τj為各車輪初始束角；kj為各車輪優化系數。

定義損失函數并求解系數矩陣如下：

J（θ）=12（XrollGθ－Ytoe）T（XrollGθ－Ytoe） （14）

θ=（XTrollGTRXroll）－1XTrollGTGYtoe （15）

式中，G為對角權重矩陣。

懸架KC試驗數據與估計的優化系數如圖4所示。車輛左轉時，會壓縮右前輪減小束角，伸長左前輪增加束角，從而增加不足轉向；車輛右轉時，會壓縮右后輪增加束角，伸長左后輪減小束角，從而增加不足轉向。轉化為兩輪模型的前軸側傾轉向系數kf1為0.1067，

后軸側傾轉向系數kr1為0.1617。同理可得其余優化系數。

基于式（6）～式（8）修正側傾轉向角，推導出由側傾轉向影響產生的擴展穩定性因數為

K1=－kf1r－kr1rLay （16）

基于式（6）～式（11），將車輪束角和外傾角變化依次轉換為車輪轉角修正，整理出動態穩定性因數Kd表達式為

δf+∑6i=1Δδfi－Δδri=LR（1+Ksv2） （17）

δf=LR［1+（Ks+∑6i=1Ki）v2］=LR（1+Kdv2） （18）

式中，Δδfi、Δδri分別為前后輪修正轉向角；Ki為擴展穩定性因數。

該款微型電動車性能有限，進行側向加速度為0.4g的定半徑穩態回轉試驗如圖5所示，根據試驗數據計算得到擴展穩定性因數如圖6所示。各擴展穩定性因數在動態穩定性因數中占比較大，側傾與變形轉向特性對車輛操縱穩定性影響顯著，驗證了建立優化動力學模型的必要性。

在操控穩定性試驗中，車輛進行75 km/h的蛇形繞樁試驗，采集的橫擺角速度和側向加速度數據與模型仿真數據比較如圖7、圖8所示，模型誤差如圖9、圖10所示。車輛進行100 km/h的0.4g角階躍輸入瞬態試驗，試驗數據與模型仿真數據比較如圖11、圖12所示。數據表明，在蛇形繞樁試驗中，與經典模型相比，優化模型的側向加速度均方根誤差下降40.2%，橫擺角速度均方根誤差下降48.8%，并且峰值誤差大幅降低，誤差統計如表3所示。在0.4g角階躍輸入試驗中，優化模型的穩態側向加速度誤差下降59.4%，穩態橫擺角速度誤差下降66.7%，CarSim模型與實車試驗數據吻合，可作為后續設計控制器的控制對象，優化動力學模型精度顯著提高。

2? 模型預測控制器（MPC）設計

2.1? 基于優化動力學模型的MPC設計

基于前文的優化動力學模型設計路徑跟蹤控制器能夠提高MPC精度，進一步設計自適應預測時域策略可提高控制器的魯棒性，控制原理如圖13所示。本文針對高速大曲率工況下路徑跟蹤問題，假設車輛縱向保持高速，僅控制前輪轉角。選取式（12）的狀態向量ξ=（vy，vx，φ，φ·，Y，X）T，控制量u=（δf），輸出量η=（φ，Y，X）T。將模型線性化，將ξ·=f（ξ，u）在工作點（ξr，ur）一階泰勒展開并忽略高階項，得

ξ·=f（ξr，ur）+fξ（ξ－ξr）+fu（u－ur）（19）

聯立式（12）與式（19），通過一階差商法得到離散系統模型：

ξ（k+1）=Akξ（k）+Bku（k）+dk（20）

η（k）=Ckξ（k）（21）

式中，Ak為狀態矩陣；Bk為輸入矩陣；dk為模型誤差補償;Ck為輸出矩陣。

將式（20）、式（21）中對前輪轉角的控制轉變

為對轉角增量的控制，擴展狀態量得到新的狀態空間為

ξ～（k+1|t）=A～kξ～（k|t）+B～kΔu（k|t）+d～k

η（k|t）=C～kξ～（k|t）

ξ～（k|t）=（ξ（k|t），u（k－1|t））T（22）

MPC通過預測模型計算系統預測時域Np內的輸出，通過求解滿足目標函數及各種約束的優化問題，得到控制時域Nc內的控制序列。基于優化動力學模型推導的優化預測矩陣為

H（t）=Ψξ（t）+ΘΔU（t）+ΓΦ（t）（23）

H（t）=η（k+1）η（k+2）η（k+Nc）η（k+Np）ΔU（t）=Δu（k）Δu（k+1）Δu（k+Nc－1）

式中，H（t）為預測輸出序列；ΔU（t）為控制輸入序列；Ф（t）為測量誤差序列；Ψ、Θ和Γ為狀態空間遞推矩陣。

設計目標函數和約束條件如下：

J=min∑Npi=1‖η（k+i|t）－ηref（k+i|t）‖2Q+

∑Nc－1i=0‖Δu（k+i|t）‖2R+ρε2（24）

－δf，lim≤δf≤δf，lim

－Δδlim≤Δδ≤Δδlim

－βlim≤β≤βlim

－ay，min－ε≤ay≤ay，max+ε

－αlim≤αf，r≤αlim（25）

式中，Q、R為權重矩陣；ρ為松弛因子權重系數；ε為松弛因子。

目標函數優化求解問題可以轉化為標準二次型規劃問題，求解得到控制增量序列和松弛因子。選擇控制增量序列第一個元素反饋給系統并重復上述過程，實現滾動優化控制。

2.2? 自適應預測時域策略

MPC算法中的預測時域參數對智能車輛路徑跟蹤效果影響顯著。不同車速下對控制器預測時域的選擇有不同的要求［11］。在低速工況下，對車輛操控穩定性要求不高，偏小的預測時域有更好的控制效果，增大預測時域可能會降低跟蹤精度。反之，在高速工況下，對車輛操控穩定性要求較高，增大預測時域能獲取更遠的道路信息以保證車輛的穩定性，減小預測時域可能會導致轉向抖動。同時，預測時域的選擇還需考慮前方道路的曲率信息，特別是在高速大曲率極限工況下，應根據預瞄距離內的道路曲率實時調整預測時域，以避免過多的車道偏離。綜上所述，極限工況下預測時域需要依據車速及道路曲率實時調整。

本文通過測試智能汽車在雙移線路徑上的跟蹤能力驗證控制器的優化效果。參考路徑如圖14所示［20］，期望橫擺角如圖15所示，表達式為

Yref=dy1（1+tanh（z1））－dy2（1+tanh（z2））

z1=shdx1（X－x1）－sh2

z2=shdx2（X－x2）－sh2（26）

φref=arctan（dy1shdx1cosh2（z1）－dy2shdx2cosh2（z2）） （27）

式中，Yref為期望橫向位置；φref為期望橫擺角；dx1、dx2、dy1、dy2和sh為雙移線調整參數。

基于曲率公式定義預瞄距離內的道路彎曲度（mean road curvature， MRC）：

ρMRC=1Np∑Npi=1|Y¨ref（Xi）|（1+Y·ref（Xi）2）32（28）

式中，Y·ref（Xi）、Y¨ref（Xi）分別為預瞄點的一階、二階導數。

高速工況下需要考慮控制器的實時性，自適應預測時域策略應避免復雜計算。基于二維高斯函數的集中性和均勻變動性，設計預測時域關于車速與道路彎曲度的函數：

Np=round（Aexp（（v－vmax）2σ21+ρ2MRCσ22）） （29）

式中，A為預測時域上限；vmax為車速上限；σ1為車速影響因子；σ2為道路彎曲度影響因子。

根據車輛特性標定參數得到預測時域離線數據庫，其三維分布如圖16所示。

3? 試驗仿真分析

3.1? 仿真環境

基于CarSim/Simulink搭建聯合仿真平臺，驗證本文提出的優化控制策略。對比分析基于經典動力學模型的MPC控制（traditional dynamic model-MPC， TR-MPC）、基于優化動力學模型的MPC控制（optimizing dynamics model-MPC， OM-MPC）和基于優化動力學模型的自適應預測時域MPC控制（optimizing dynamics model-adaptive prediction horizon-MPC，OM-AP-MPC）在雙移線道路上的跟蹤精度和車輛穩定性。該微型電動車最高時速為100 km/h，本文高速工況選取72 km/h，中低速工況選取54 km/h。假定路面高附著系數為0.85，低附著系數為0.45。MPC控制器初始參數如表4所示。

3.2? 結果分析

車速v=72 km/h且附著系數μ=0.85的高速工況下，跟蹤誤差曲線如圖17、圖18所示。車速為v=54 km/h且附著系數μ=0.45的低附工況下，跟蹤誤差曲線如圖19、圖20所示。高速或低附著工況下，車輛過彎時呈現明顯的側傾和變形轉向特性，OM-MPC控制器輸出更加精確的控制量，有效降低了路徑跟蹤橫向誤差和橫擺角誤差。

高速大曲率工況下，圖18中OM-MPC控制器在50～100 m的出彎處車輛橫擺角波動依舊較大。引入OM-AP-MPC控制器，各控制器期望路徑和期望橫擺角跟蹤曲線如圖21、圖22所示。圖23、圖24中，OM-MPC和OM-AP-MPC控制器能有效減小橫向誤差、橫擺角誤差的峰值。自適應預測時域策略提高了路徑跟蹤精度和車輛穩定性，使車輛在75～100 m處快速收斂至直道。

本文設計的三種控制器誤差統計如表5所示。相比于TR-MPC控制，本文提出的OM-AP-MPC控制器路徑跟蹤誤差的平均值降低37.8%，橫擺角誤差的平均值降低60.3%，控制效果得到了顯著提升。

圖25為橫擺角速度質心側偏角相位圖，由圖可見，OM-AP-MPC控制器相圖所占面積最小，表明車輛的質心側偏角在相同橫擺角速度下被控制在更小的范圍內，操控穩定性得到了提升。圖26為道路彎曲度及預測時域變化曲線，隨著道路彎曲度的變化，預測時域能夠實時計算調整，提高了跟蹤精度并加快了誤差收斂速度。

4? 結論

（1）針對一般路徑跟蹤控制器在高速大曲率工況下適應性不足的問題，本文提出了一種基于優化動力學模型的自適應預測時域模型預測控制策略。

（2）通過蛇形繞樁和0.4g角階躍實車操穩性實驗驗證，優化動力學模型能更精確地體現車輛狀態。通過雙移線道路仿真實驗驗證，基于優化動力學模型的模型預測控制效果顯著優于一般模型預測控制器，進一步引入自適應預測時域策略，可提高車輛的跟蹤精度和穩定性。

（3）本文在仿真環境下初步驗證了基于優化動力學模型的自適應預測時域MPC控制（OM-AP-MPC）的效果，為解決高速大曲率等極限工況下的路徑跟蹤問題提供了新的思路。

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（編輯? 王艷麗）

作者簡介：

何智成，男，1983年生，教授、博士研究生導師。研究方向為智能汽車與智能控制、先進結構與智能設計。E-mail：hezhicheng815@163.com。

韋寶侶（通信作者），男，1978年生，博士研究生。研究方向為智能底盤與轉向系統。E-mail：Baolv.wei@sgmw.com.cn。