進(jìn)階式教學(xué):助推學(xué)生數(shù)學(xué)“認(rèn)知爬坡”

[摘? 要] 進(jìn)階是學(xué)生學(xué)習(xí)的推動力，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的所在。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以前測為基礎(chǔ)，以目標(biāo)為抓手、以互動為動力、以方式為支架，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)“認(rèn)知爬坡”。開展進(jìn)階式的教學(xué)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力，可以有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 進(jìn)階式教學(xué);數(shù)學(xué)認(rèn)知;認(rèn)知爬坡

《禮記·曲禮》中說“拾級聚足，連步以上”，這一論述后來演變?yōu)椤笆凹壎稀保浮绊橂A梯步步往上走”。在教學(xué)領(lǐng)域，“學(xué)習(xí)進(jìn)階”是美國教育家史密斯提出來的一個(gè)概念。所謂“學(xué)習(xí)進(jìn)階”是指“在學(xué)習(xí)某一個(gè)概念過程中所遵循的系列性的復(fù)雜路徑”。進(jìn)階式教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的從簡單到復(fù)雜、從陌生到熟悉、從片面到全面、從單一到綜合、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從復(fù)制到創(chuàng)造的發(fā)生、發(fā)展、創(chuàng)新的過程。開展進(jìn)階教學(xué)除了能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力之外，學(xué)生的核心素養(yǎng)也能得到充分發(fā)展。

一、以前測為條件，催生學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”

學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”類似一種“序列”。“學(xué)習(xí)進(jìn)階”是描述學(xué)生在各個(gè)階段所遵循的一種連續(xù)性、連貫性、代表性、從單一到綜合、從簡單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程。教師必須精準(zhǔn)掌握學(xué)生的具體學(xué)情，從而讓自己的進(jìn)階式教學(xué)有的放矢。以前測作為進(jìn)階式教學(xué)的基礎(chǔ)是助推學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的前提、條件和保障。“前測”是對學(xué)生數(shù)學(xué)前知識經(jīng)驗(yàn)的一種探測過程。借助前測，教師能掌握學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)等。

正如美國學(xué)者奧蘇貝爾所說，“影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的因素是學(xué)生知道并了解了什么，以此為基礎(chǔ)開展有效的教學(xué)活動”。“前測單”不僅能讓教師了解學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，更能讓教師探測到每一位學(xué)生的認(rèn)知邏輯。有了前測，教師的教學(xué)就能切入學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生由現(xiàn)有水平轉(zhuǎn)變成為可能的發(fā)展水平。比如教學(xué)“間隔排列”時(shí)，筆者借助前測單對學(xué)生開展前測工作。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于具體的間隔排列問題都能通過簡單的、直觀的“數(shù)一數(shù)”得出相關(guān)的結(jié)論，但學(xué)生對于間隔排列的問題缺乏整體性、系統(tǒng)性的思考。因此，以學(xué)生的前測為基礎(chǔ)，筆者通過對教材主題圖“手帕和鑷子”“木樁和籬笆”“兔子和蘑菇”等一一間隔排列的物體進(jìn)行集中呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)一數(shù)”“填一填”“比一比”“說一說”，對“兩端物體相同”“兩端物體不同”的一一間隔排列的物體的規(guī)律進(jìn)行概括，并努力促成學(xué)生對間隔排列問題的本質(zhì)性理解，即“為什么有時(shí)候兩種物體的個(gè)數(shù)相等，有時(shí)候兩種物體的個(gè)數(shù)相差1個(gè)”。通過對間隔排列的兩種物體一一對應(yīng)地“圈一圈”，能讓學(xué)生看到不同排列的兩種物體的組合，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)間隔排列中兩種物體的對應(yīng)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)要求創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)間隔排列。

以前測為基礎(chǔ)，能讓教師的教學(xué)更具針對性、實(shí)效性。在上述間隔排列問題的教學(xué)中，通過對學(xué)生的學(xué)情前測，教師將教學(xué)重點(diǎn)放置在引導(dǎo)學(xué)生建立“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想上。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建起一一對應(yīng)數(shù)學(xué)思想，激發(fā)每一個(gè)學(xué)生的好奇心，以及對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性得到調(diào)動。對學(xué)生進(jìn)行前測測試，可幫助學(xué)生突破教學(xué)的重難點(diǎn)，突破對數(shù)學(xué)的認(rèn)知與思維的困境。

二、以目標(biāo)為抓手，推動學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”

目標(biāo)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路標(biāo)。教學(xué)中，教師不僅以學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，催生學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”，還能以學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)為抓手，推動學(xué)生的數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”。從原點(diǎn)到目標(biāo)是一個(gè)連續(xù)性的學(xué)習(xí)進(jìn)程。進(jìn)階視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要求學(xué)生的學(xué)習(xí)是連續(xù)性的，還要求教師的教學(xué)是連續(xù)性的。教學(xué)中，教師要夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，指明學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，要讓目標(biāo)成為推動學(xué)生“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的“引擎”，成為指引學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的“燈塔”。

以目標(biāo)作為抓手，教師要把握“此一課目標(biāo)”與“彼一課目標(biāo)”，把握“此一目標(biāo)”與“彼一目標(biāo)”。過去，只是教師知道自己的教學(xué)目標(biāo)，而學(xué)生不知道自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)目標(biāo)的隱匿，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程如同“在黑夜中前行”。比如教學(xué)“解決問題的策略——一一列舉”時(shí)，筆者在教學(xué)中呈現(xiàn)了這樣的教學(xué)目標(biāo)：（1）讓學(xué)生經(jīng)歷用列舉的策略解決簡單的實(shí)際問題的過程，掌握列舉的方法，讓列舉有序、不重復(fù)、不遺漏;（2）在問題反思、溝通過程中，可以更好感受一一列舉的價(jià)值以及存在的特點(diǎn);（3）在列舉的過程中積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問題的信心。借助于這樣的目標(biāo)，筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生采用列舉法來解決問題，并引導(dǎo)他們在這個(gè)過程中掌握相應(yīng)的方法，這些方法比較多元化，比如分類法、序列法、窮舉法、規(guī)律探究法等。在教學(xué)中，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，借助不同的例題，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握列舉的策略。比如，“用22根一米長的柵欄圍成長方形花圃”主要是讓學(xué)生有序列舉;“四支球隊(duì)進(jìn)行比賽”主要是讓學(xué)生不遺漏、不重復(fù)列舉。在后續(xù)的練習(xí)中，教師相機(jī)滲透、融入其他相關(guān)的列舉方法，如窮舉法、規(guī)律探究法等。以目標(biāo)作為抓手，讓學(xué)生可以親身經(jīng)歷列舉的過程。從列舉到有效列舉，到最后的策略性列舉，每一個(gè)過程學(xué)生都親身參與，效果自然不一樣。

學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最后都要回到其原點(diǎn)：目標(biāo)。目標(biāo)不單是原點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的歸宿。教師在教學(xué)時(shí)需要進(jìn)行有效“示標(biāo)”，讓學(xué)生對準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)有計(jì)劃、有步驟地開展學(xué)習(xí)。目標(biāo)是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)條件。教師以目標(biāo)為抓手，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有條理性，借助目標(biāo)可引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。

三、以互動為動力，助推學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”

“學(xué)習(xí)進(jìn)階”可理解成學(xué)習(xí)序列的進(jìn)階，進(jìn)階式教學(xué)注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性、層次性。教學(xué)過程中教師以互動作為原動力，促進(jìn)學(xué)生開展有效的交流和對話，在進(jìn)階式的教學(xué)中包括教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的互動交流。互動性教學(xué)能讓學(xué)生掌握一些基礎(chǔ)內(nèi)容，然后向上而學(xué)，進(jìn)一步掌握提升學(xué)習(xí)的方法。

比如“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)過程中，一些教師提供的工具是不會動且長度固定的小棒，這樣的素材不利于學(xué)生進(jìn)行的多元互動。在教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了靈活多變的小紙條。其中一根紙條固定不變，另外兩根紙條的長度不斷變化，從而導(dǎo)致三根紙條的關(guān)系不斷變化。當(dāng)兩根變化的紙條的長度和小于或者等于第三根紙條的時(shí)候，三根紙條不能圍成三角形;當(dāng)兩根變化的紙條的長度和大于第三根紙條的時(shí)候，還會出現(xiàn)另外兩根紙條的長度和小于這一根紙條的情形。這樣的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生彼此之間積極互動：有的學(xué)生認(rèn)為，三角形a、b兩條邊的和必須大于第三條邊c，三角形a、c兩條邊的和也必須大于第三條邊b，三角形b、c兩條邊的和也必須大于第三條邊a;有的學(xué)生說，三角形的三條邊中任意兩條邊的和都必須大于第三條邊;還有的學(xué)生說，三角形的三條邊中，較小的兩條邊的和必須大于最長的那條邊等。在互動的過程中，學(xué)生對“三角形中較小的兩條邊的和大于第三條邊”產(chǎn)生了異議：有的學(xué)生說，如果三角形中有兩條邊相等，并且這兩條相等的邊可以是較小的邊也可以是較長的邊，用“三角形中任意兩條邊的和大于第三條邊”來規(guī)定三角形的三邊關(guān)系比較好。這樣，學(xué)生在這種多元互動的過程中，對“三角形的三邊關(guān)系”的認(rèn)知實(shí)現(xiàn)進(jìn)階，感悟到“任意兩條邊的和大于第三條邊”的“三條邊圍成三角形的充要條件”中的“任意”一詞的必要性、精準(zhǔn)性、科學(xué)性、合理性。

多元互動能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，對方法、思想等的感悟。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深度分析，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知、思考，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)。教師要為學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”提供支持，讓學(xué)生科學(xué)、合理地建構(gòu)新知。通過多元互動，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)更深入、更連續(xù)、更精準(zhǔn)、更富有意義和價(jià)值。

四、以方式為支架，引導(dǎo)學(xué)生的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”

開展進(jìn)階式教學(xué)，教師要以互動為動力，以方式為支架。以學(xué)習(xí)方式為支架，關(guān)鍵是要依循學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，盤活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、想象，讓學(xué)生經(jīng)歷充分的數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的學(xué)習(xí)過程。

比如教學(xué)“運(yùn)算律”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“學(xué)習(xí)模”。具體而言，就是教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“加法交換律”的時(shí)候，先聯(lián)系學(xué)生的生活，引導(dǎo)學(xué)生積極猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生積極驗(yàn)證。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)現(xiàn)有的學(xué)習(xí)方法，并做好歸納工作，這種方法稱為不完全歸納法。以方法為基礎(chǔ)，教師要引導(dǎo)學(xué)生開展進(jìn)階式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生可以自主學(xué)習(xí)更多的內(nèi)容，如乘法的交換律等各種內(nèi)容。

這樣基于“不完全歸納法”的學(xué)習(xí)能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中積極主動地提出相關(guān)的問題，并積極主動地舉例驗(yàn)證。對學(xué)生而言，“不完全歸納法”作為一種重要的學(xué)習(xí)方式，不僅對學(xué)習(xí)“運(yùn)算律”這部分內(nèi)容，而且對學(xué)習(xí)其他相關(guān)內(nèi)容都具有重要的意義和價(jià)值。以學(xué)習(xí)方式為支架，能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階，能有效發(fā)展學(xué)生的高階思維和高階認(rèn)知。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生表達(dá)數(shù)學(xué)知識、表征數(shù)學(xué)知識的方式等都是不盡相同的。教師要賦予學(xué)生自主表達(dá)數(shù)學(xué)知識的權(quán)利、時(shí)空，讓學(xué)生能用自己喜歡的方式進(jìn)行表達(dá)。在這個(gè)過程中，教師要融入、滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法。以相關(guān)的學(xué)習(xí)方式為學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究的“腳手架”，能助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維螺旋式發(fā)展。進(jìn)階式教學(xué)能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和認(rèn)知品質(zhì)。

“進(jìn)階”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力和目的。教師要以前測為基礎(chǔ)、以目標(biāo)為抓手、以互動為動力、以方式為支架，助推、引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。進(jìn)階式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生的“認(rèn)知爬坡”，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力不斷提升。

作者簡介：王涵（1990—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。