涂色問題的解題技巧

張嫻 韓文美

排列組合中有一類常見問題———涂色問題，此類問題基于兩個計數原理與排列組合知識，關注圖形的結構特征，解決方法技巧性強且靈活多變，有利于培養同學們的創新思維能力、分析問題與觀察問題以及解決問題的能力，已成為數學命題中比較常見的一類基本題型，備受各方關注。

1.直線型涂色問題

例1 （2022—2023學年江蘇省常州一中高二下學期段考數學試卷）現有6種不同的顏色，給圖1中的5個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用4種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種。

分析：根據題設條件，選出的顏色可以是2種，3種或者4種，依次通過直線型的圖形結構特征求出方法數，通過分類法求和，即可得以分析與求解。

解：由題意選出的顏色可以是2種，3種或者4種，規定左邊起為第一個空，不同情況如下。

當 選出2種顏色時，第一個空有2種選擇，第一個空顏色確定后，其余空顏色就確定了，共有C26×2=30（種）方法。

當選出3種顏色時，第一個空有3種選擇，第二個空有2種選擇，第三個空可分為與第一個空顏色相同和不同的情況，第四個空和第五個空都各有2種選擇，但要去掉整體只用了2 種顏色的情況，共有C3 6C1 3C12·（C1 2C12+C1 2C12）-2C3 6C23=840（種）方法。

當選出4種顏色時，必有2種顏色相同，可采用插空法，將這2種相同顏色去插入另外3種顏色形成的空，共有C4 6C1 4A3 3C24=2 160（種）方法。

綜上分析，不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030（種）。

點評：直線型涂色問題往往從第一個位置入手，逐一分析，在前一個已涂色的條件下涂下一個位置，注意對不同位置的分析加以合理分類討論與分步處理，進而確定直線型涂色問題的種數。

2.區域型涂色問題

例2 （2022—2023學年湖北省武漢市高二下學期期中數學試卷）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶。圖2是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形。若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有_____種。

分析：根據題設條件，先對七巧板中的不同區域加以合理標記，并通過畫圖分析其中四板塊A，B，C，D 必涂上不同顏色，再根據分類、分步計數原理計算剩下的部分即可得以分析與求解。

解：由題意知，對七巧板中的不同區域加以合理標記，如圖3所示。

由于一共4種顏色，板塊A 需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區域涂同一種顏色，且板塊B，C，D 兩兩有公共邊不能同色，故板塊A，B，C，D 必定涂不同的顏色。

①當板塊E 與板塊C 同色時，則板塊F，G 與板塊B，D 或板塊D ，B 分別同色，共有2種情況。

②當板塊E 與板塊B 同色時，則板塊F只能與D 同色，板塊G 只能與C 同色，共1種情況。

又板塊A，B，C，D 顏色可排列，故共（2+1）×A44=72（種）方案。

點評：區域型涂色問題，應該給區域依次標上相應的序號，以便分析問題。在給各區域涂色時，要注意不同的涂色順序，其解題就有繁簡之分。在實際解答時，應按不同的涂色順序多多嘗試，看哪一種最簡單。

3.立體型涂色問題

例3 （2024 屆上海市七寶中學高三上學期期中數學試卷）某數學興趣小組用紙板制作正方體教具，如圖4 所示，現給圖中的正方體展開圖的6個區域涂色，有紅、橙、黃、綠4種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有_____種不同的涂色方法。

分析：根據題設條件，由正方體展開圖的平面圖形回歸正方體的立體圖形，先從涂A入手，再分C 與F 同色、C 與F 不同色兩種情況討論，利用分步、分類計數原理分析與運算可得答案。

解：如圖5 所示，還原回正方體后，D 、B 為正方體的前后兩個對面，A、E 為正方體的左右兩個對面，F、C 為正方體的上下兩個對面，先涂A有4種涂法。

①當C 與F 同色時，涂C 有3種涂法，若D 與B 同色，則有2種涂法，最后涂E 有2種涂法;若D 與B 不同色，則有A22種涂法，最后涂E 有1種涂法。

則有4×3×（2×2+A22×1）=72（種）涂法。

②當C 與F 不同色時，涂C 有3 種涂法，涂F 有2種涂法，此時D 與B 必同色且只有1種涂法，E 也只有1種涂法。

則有4×3×2×1×1=24（種）涂法。

綜上分析可得，一共有72+24=96（種）不同的涂法。

點評：立體型涂色問題，往往要同時考慮平面幾何的結構特征，又要考慮立體幾何的結構特征，綜合“二維”與“三維”中的涂色要求與限制條件，全面考查同學們的空間想象能力與邏輯推理能力。

4.環狀型涂色問題

例4 （2024屆浙江省名校聯盟高三上學期9 月份月考數學試卷）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學、中醫學和占卜方面。五行學說是華夏文明重要的組成部分。古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系。圖6是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數為（ ）。

A.3 125 B.1 000

C.1 040 D.1 020

分析：根據題設條件，從數學文化場景中加以合理轉化，抽象問題的本質與內涵，通過環狀型涂色問題來轉化，并加以分析，先根據不相鄰區域是否同色進行分類，確定涂色順序，再分步計數即可。

解：依題可知五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件而五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色。

故問題轉化為圖7中A，B，C，D ，E5個區域，有5種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即5種顏色5個區域的環狀涂色問題。

分為以下兩類情況。

第一類，A，C，D3個區域涂3種不同的顏色。

第 一步涂A，C，D 區域，從5種不同的顏色中選3 種按順序涂在不同的3 個區域上，則有A35種方法;

第二步涂B 區域，由于A，C 顏色不同，則有3種方法;

第三步涂E 區域，由于A，D 顏色不同，則有3種方法。

由分步計數原理知，共有3×3×A35=540（種）方法。

第二類，A，C，D3個區域涂2種不同的顏色。

C，D 不能涂同種顏色，則A，C 涂色相同，或A，D 涂色相同，兩種情況方法數相同。

若A，C 涂色相同，第一步涂A，C，D 區域，A，C 可看成同一區域，且A，D 區域不同色，即涂2個區域不同色，從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區域上，則有A25種方法;

第二步涂B 區域，由于A，C 顏色相同，則有4種方法;

第三步涂E 區域，由于A，D 顏色不同，則有3種方法。

由分步計數原理知，共有4×3×A25=240（種）方法。

若A，D 涂一色，與A，C 涂一色的方法數相同，則共有2×240=480（種）方法。

由分類計數原理可知，不同的涂色方法數為540+480=1 020。選D。

點評：求解環狀型涂色問題，是基于直線型涂色問題加以分析與處理，同時要考慮最后一個位置與原來第一個位置之間的限制，這樣才能形成一個閉環，這也是解決問題中比較容易出錯的一個環節，要加以高度重視。

5.探究型涂色問題

例5 （2023年吉林省長春市高考數學質檢試卷）將圓分成n（n≥2，且n∈N* ）個扇形，每個扇形用紅、黃、藍、橙四色之一涂色，要求相鄰扇形不同色，設這n 個扇形的涂色方法為an 種，則an 與an-1 的遞推關系是_____。

分析：根據題設條件，對n 個扇形依次加以編號，按n=2與n>2兩種情況加以分類討論an 的情況，由分步計數原理得到an 與an-1 之間的關系。

解：將圓分成n 個扇形時，將n 個扇形依次設為T1，T2，…，Tn 。

設這n 個扇形的涂色方法為an 種。

當n=2時，a2=4×3=12。

當n>2時，T1 有4種涂法，T2 有3種涂法，接著T3，T4，…，Tn-1，Tn ，依次有3種涂法，故共有4×3n-1 種涂法。

但當Tn 與T1 的顏色相同時，有an-1 種涂法，an =4×3n-1-an-1。

點評：求解探究型涂色問題，往往從最簡單的圖形入手，依次分析兩個圖形涂色之間的聯系與差別，進而加以合理推理，構建相應的關系式，得以解決對應的探究性問題，從而實現問題的解決。

對于涂色問題，抓住探究問題的本質，結合涂色圖形的結構特征，以及涂色的種數與限制條件，從關鍵點入手，結合選取顏色加以分析，合理分類討論，借助兩個計數原理以及排列組合知識，注意“重”或者“漏”的情形，進而加以合理操作與計算。

（責任編輯 徐利杰）