淺析排列組合中分組分配問(wèn)題的解題策略

杜海洋

排列組合問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的必考題型，題型多變，解題方法也多種多樣。其中分組分配問(wèn)題是排列組合中的一類(lèi)綜合性問(wèn)題，也是排列組合中的難點(diǎn)，兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，稍不留意就會(huì)引發(fā)混淆。為了解決這一棘手問(wèn)題，下面將結(jié)合幾個(gè)例題談一談解答分組分配問(wèn)題的策略。

一、分組問(wèn)題

1.完全均勻分組

例1 6 本不同的書(shū)，按下列要求分配，求各有多少種不同的分法：

（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本;

（2）分為三份，每份2本。

解析：（1）將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人2本，可以分為三步完成：第一步，先從6本書(shū)中選2本給甲，有C26種選法;第二步，從剩余的4本中選2本給乙，有C24種選法;第三步，最后剩余的2本給丙，有C22種選法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C2 6C2 4C22=15×6×1=90（種）不同的分法。

（2）本題屬于無(wú)序均勻分組問(wèn)題。按有序分組，則有C2 6C2 4C22種方法，但出現(xiàn)了重復(fù)。不妨記6本書(shū)為A，B，C，D ，E，F(xiàn)，第一步取AB，第二步取CD ，第三步取EF，記該種分法為（AB，CD ，EF ）。但還有（AB，EF，CD），（CD ，AB，EF），（CD ，EF，AB），（EF，AB，CD），（EF，CD ，AB），這A33種情況只能記為一種方法。

故分配方法有C2 6C2 4C22／A33=15（種）。

2.部分均勻分組

例2 2023 年亞運(yùn)會(huì)在杭州舉辦期間，將6 位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，分赴亞運(yùn)會(huì)的4個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案的種數(shù)為（ ）。

A.4 320 B.1 080

C.180 D.90

解析：將6位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，有有C2 6C2 4C1 2C11／A2 2A22=45（種）方法，進(jìn)而將其分配到4個(gè)不同場(chǎng)館，有A44=24（種）方法。由分步計(jì)數(shù)原理可得，不同的分配方案有45×24=1 080（種）。選B。

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題屬于先平均分組（堆）再分配的問(wèn)題，先將6位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，再將其分配到4個(gè)不同場(chǎng)館即可。在分組過(guò)程中，要注意分組重復(fù)的情況，理解C2 6C2 4C1 2C11／A2 2A22中分母的意義。

3.完全非均勻分組

例3 要把9本不同的課外書(shū)分給甲、乙、丙3名同學(xué)，如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則不同的分法共有多少種？

解析：要完成分配任務(wù)，可以分為兩步：第一步，將9本書(shū)按照4本、3本、2本分為三組，有C4 9C3 5C22種方法;第二步，將分好的3組書(shū)分別給3個(gè)人，有A33種方法。

因此，不同的分法數(shù)為C4 9C3 5C2 2A33=（9×8×7×6）／（4×3×2×1）×（5×4）／（2×1）×1×3×2×1=7 560。

點(diǎn)評(píng)：完全均勻分組和部分均勻分組在計(jì)數(shù)過(guò)程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計(jì)算公式的應(yīng)用。重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m 組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m ！。關(guān)于分組問(wèn)題，有完全均勻分組、完全非均勻分組和部分均勻分組三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等;②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù);③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)情況。無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象，解決這類(lèi)問(wèn)題必須按照均勻分組的公式來(lái)解決。

例4 將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙、丁4 個(gè)人，每人至少一本的不同分法共有_____種。

解析：先把6本不同的書(shū)分成4組，再分給4個(gè)人，但該題易出錯(cuò)的地方有兩個(gè)：一是分組考慮不全造成漏解，分組方式有2種，即3，1，1，1與2，2，1，1;二是2，2，1，1分組時(shí)，忽視均勻分組問(wèn)題造成增解。

把6本不同的書(shū)分成4組，每組至少一本的分法有2種。

①1組有3本，其余3組每組1本，不同的分法共有C36·C1 3C1 2C11／A33=20（種）;

②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有C2 6C24／A22·C1 2C11／A22=45（種）。

不同的分組方法共有20+45=65（種）。

然后把分好的4組分給4個(gè)人，所以不同的分法共有65×A44=1 560（種）。

二、分配問(wèn)題

1.相同元素的分配問(wèn)題

相同元素的分配問(wèn)題，常用“隔板法”，即將n 個(gè)相同的元素分成m 份（n，m 為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m -1塊隔板，插入n 個(gè)元素排成一排形成的n-1個(gè)空隙中，共有Cm -1 n-1 種方法。

例5 方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解共有（ ）組。

A.165 B.120 C.38 D.35

解析：如圖1，將12個(gè)完全相同的球排成一排，在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選3個(gè)插入3塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是x1、x2、x3、x4，顯然滿足x1+x2+x3+x4=12，故（x1，x2，x3，x4）是方程x1+x2+x3+x4=12的一組解。反之，方程x1+x2+x3+x4=12的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，故方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的數(shù)為C3 11 =11×10×9／3×2×1 =165，選A。

點(diǎn)評(píng)：相同元素分配問(wèn)題的常見(jiàn)處理策略如下。

①隔板法：將放有小球的盒子緊挨著成一排放置，便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”。每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱為隔板法。隔板法專(zhuān)門(mén)解決相同元素的分配問(wèn)題。

②將n 個(gè)相同的元素分給m 個(gè)不同的對(duì)象（n≥m ），每個(gè)對(duì)象至少分得一個(gè)元素，有Cm -1 n-1 種方法。可描述為在n-1個(gè)空中插入m -1塊隔板。

③將n 個(gè)相同的元素分給m 個(gè)不同的對(duì)象（n≥m），有Cm -1 n+m -1 種方法。 可轉(zhuǎn)化為將n+m 個(gè)相同的元素分給m 個(gè)不同的對(duì)象（n≥m ），每個(gè)對(duì)象至少分得一個(gè)元素，有Cm -1 n+m -1 種方法。即在n+m -1個(gè)空中插入m -1塊隔板。

2.不同元素的分配問(wèn)題

不同元素的分配問(wèn)題，一般利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配。

例6 將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)村去支教，每個(gè)鄉(xiāng)村至少1名大學(xué)生，則不同的分配方案有種。

解析：（方法一）分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2，1，1 分成三組，其分法有C2 4C1 2C11／A22種;

第二步，將分好的三組大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)村，其分法有A33種。

所以滿足條件的分配方案有（C2 4C12C11／A22）A33=36（種）。

（方法二）根據(jù)題意知必有2名大學(xué)生去同一個(gè)村，從4名大學(xué)生中任選2名捆綁在一起，故有C2 4A33=36（種）方案。

總之，解答排列組合問(wèn)題的關(guān)鍵在于判斷問(wèn)題屬于不均分問(wèn)題、整體均分問(wèn)題，還是部分均分問(wèn)題。有關(guān)“分組與分配”的問(wèn)題還有很多內(nèi)容，上述的研究?jī)H僅是冰山一角，希望能為同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供幫助。

（責(zé)任編輯 徐利杰）