聚焦計數(shù)原理的常見題型

徐春生

題型一、組數(shù)問題

例1 用0，1，2，3，4，5可以組成_____個無重復(fù)數(shù)字且比2 000大的四位偶數(shù)。

解析：完成這件事可分為三類。

①第一類是個位數(shù)字為0的比2 000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：

第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2，3，4，5可以選擇，有4種選法;

第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字外，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法;

第三步，選取十位上的數(shù)字，有3 種選法。

由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為4×4×3=48。

②第二類是個位數(shù)字為2的比2 000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：

第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2，1，0，只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法;

第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法;

第三步，選取十位上的數(shù)字，有3 種選法。

由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為3×4×3=36。

③第三類是個位數(shù)字為4的比2 000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類，有36個數(shù)。

對以上三類用分類加法計數(shù)原理，得所求無重復(fù)數(shù)字且比2 000 大的四位偶數(shù)有48+36+36=120（個）。

點評：解此類問題的步驟：（1）弄清完成這件事需要做什么;（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類;（3）弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn);（4）利用兩個計數(shù)原理求解。

題型二、涂色問題

例2 如圖1 所示，將四棱錐S-ABCD 的每一個頂點染上一種顏色，并且同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5 種顏色可供使用，那么不同染色方法的種數(shù)為_____。

解析：（方法一）按所用顏色種數(shù)分類。

第一類，5種顏色全用，共有A55種不同的方法;

第二類，只用4種顏色，則必須某兩個頂點同色（A 與C，或Β 與D），共有2×A45種不同的方法;

第三類，只用3種顏色，則A 與C，Β 與D 必定同色，共有A35種不同的方法。

由分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法種數(shù)為A55+2×A45+A35=420。

（方法二）以S，A，B，C，D 順序分步染色。第一步，S 點染色，有5種方法。

第二步，A 點染色，與S 在同一條棱上，有4種方法。

第三步，Β 點染色，與S，A 分別在同一條棱上，有3種方法。

第四步，C 點染色，也有3種方法，但考慮到D 點與S，A，C 相鄰，需要針對A 與C是否同色進(jìn)行分類：當(dāng)A 與C 同色時，D 點有3種染色方法;當(dāng)A 與C 不同色時，因為C 與S，Β 也不同色，所以C 點有2種染色方法，D 點有2種染色方法。

由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法共有5×4×3×（1×3+2×2）=420（種）。

點評：涂色問題常用的兩種方法：（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析;（2）按顏色的不同，以顏色為主分類討論，用分類加法計數(shù)原理分析。

題型三、種植問題

例3 從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有種不同的種植方法。

解析：（方法一，直接法） 若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2=6（種）不同的種植方法。

同 理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2=6（種）不同的種植方法。

故不同的種植方法共有6×3=18（種）。

（方法二，間接法） 從4種蔬菜中選出3種，種在三塊土地上，有4×3×2=24（種）方法，其中不種黃瓜有3×2×1=6（種）方法。

故共有24-6=18（種）不同的種植方法。

點評：種植問題常用的兩種方法：（1）按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計數(shù)原理求解;（2）按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理求解。

題型四、住店問題

例4 5名應(yīng)屆畢業(yè)生報考3所高校，每人報且僅報1所高校，則不同報名方法的種數(shù)是（ ）。

A.35 B.53 C.A23 D.C35

解析：每名應(yīng)屆畢業(yè)生只能報1所高校，每所高校可由多名應(yīng)屆畢業(yè)生報考，所以“應(yīng)屆畢業(yè)生”相當(dāng)于“客”，“高校”相當(dāng)于“房間”，5人住3個房間，共有35 種不同的住法。故選A。

點評：此類問題用“住店法”求解，解題時需要確定所給的兩類元素，哪一類是“客”（只能有一個選擇的元素為客），哪一類是“房間”（可以容納多個元素的為房間）。

題型五、幾何圖形問題

例5 如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（ ）。

A.48 B.18 C.24 D.36

解析：在正方體中，每一個表面有4條棱與之垂直，6個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”;而正方體的6個對角面中，每個對角面有2條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有24+12=36（個）“正交線面對”。選D。

點評：求解幾何圖形問題，分析幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點，厘清事件由哪些幾何元素構(gòu)成，滿足什么樣的幾何特征才能完成一個事件。

題型六、選取問題

例6 中國有十二生肖，又叫十二屬相，每個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種。現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物，如果讓三位同學(xué)對選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（ ）。

A.360種 B.50種

C.60種 D.90種

解析：若甲同學(xué)選擇牛，則乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有10種選法，故不同的選法有1×2×10=20（種）;

若甲同學(xué)選擇馬，則乙同學(xué)有3種選法，丙同學(xué)有10種選法，故不同的選法有1×3×10=30（種）。

所以共有20+30=50（種）不同的選法，選B。

點評：當(dāng)選取問題涉及對象數(shù)目很大時，一般有以下兩種方法。

（1）直接法，直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理。一般地，若抽取是有順序的，則按分步進(jìn)行;若按對象特征抽取，則按分類進(jìn)行。

（2）間接法，去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可。

（責(zé)任編輯 徐利杰）