初中數學探究式教學

年如科

探究式教學是初中數學高效的教學方式之一，其本質是以學生為中心，以師生互動、生生互動為主要活動方式，將原本的講解課堂變為學生的主動探究活動，嘗試以學生思考為主、教師講解為輔助的學習方式，逐漸提升初中生的數學學習能力，達到培養學生數學學科核心素養的目標。

【案例內容】

人教版八年級下冊“17.1勾股定理”。

【教材分析】

勾股定理是初中幾何板塊內容中最重要的定理之一，在七年級以及八年級上冊已經接觸過三角形邊角關系，以及三角形全等的內容；本堂課是在已有知識的基礎上，以直角三角形為例，進行直角三角形三邊等量關系的探究。通過本堂課的學習，學生對直角三角形會有更加深刻的認識，對后續的三角函數等內容的學習也能產生積極影響。不僅如此，勾股定理在數學學科以及其他學科，甚至日常生活中也有廣泛應用，通過探究式課堂教學能夠將多領域的知識銜接起來，幫助學生深入掌握勾股定理的相關內容，達到學以致用的最終目標。

【教學目標】

1.經歷三角形三邊衍生正方形面積之間的等量關系，并表示直角三角形之間的等量關系，體會轉化思想。

2.經歷勾股定理證明過程，理解趙爽運用“出入相補法”證明勾股定理的思路，體會數形結合思想，發展學生的邏輯推理能力，培養學生的民族自豪感。

3.掌握勾股定理的運用，并能夠解決數學問題。

4.能用數學語言提出猜想，并通過例題的學習學會用數學語言表達。

【教學方法】

創設情境引入法、引導發現法、講練結合法。

【教學過程】

一、情境導入

教師：同學們，上學期我們已經接觸過三角形，了解了三角形的一些性質，對直角三角形也有過一些初步的探究，那么誰記得直角三角形的三個角有什么關系？

預設：三個角的和是180°，其中一個角為90°，另外兩個角互余。

教師：非常好，那么你們知道三角形的三條邊關系也非常有趣嗎？接下來我們以等腰直角三角形為對象，看看它們究竟有什么關系？（此環節，教師還可以繪制關于三角形知識的思維導圖，從邊和角兩方面對其進行知識的梳理，然后在直角三角形處留出相應的空白，等待學生自主探究，在課堂結束時讓學生將思維導圖補充完整。）

（設計意圖：從三角形知識的復習入手，通過復習直角三角形三個角的關系，喚醒學生已有的知識經驗，隨后通過思維導圖展示整個三角形的知識體系，引導學生明確此板塊知識的上下位關系，并提出后續要探討的話題，使學生明確本堂課的學習目標。）

二、新課講授

（一）故事引導，初步探究

教師借助多媒體教學工具，將教材中的圖片及文字以講故事的形式呈現出來。

教師：同學們，在今天的課程學習之前，我們先來聽一個小故事：相傳在2500年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時，低頭發現朋友家的地磚很有趣，于是看著地板陷入了沉思。同學們來看大屏幕上出現的地磚圖（見教材圖17.1-1），如果你是畢達哥拉斯，你有什么樣的發現呢？（為了增加學生的學習興趣，教師還可以添加一些畢達哥拉斯的小故事，引導學生積極投入。）

預設：學生1：奶奶家的地板磚也是這種正方形的，每塊方磚被分成了四個小三角形。

學生2：我發現，四個小三角形是一模一樣的。

學生3：我發現兩個相鄰的三角形可以組成一個直角三角形，而且還是等腰直角三角形。

教師：同學們觀察得非常細致，每塊方磚都分成了四個完全一樣的小三角形，然后兩個三角形能夠拼成一個等腰直角三角形，我們用正方形彩紙折紙的時候是不是有過這樣的經歷呢？你還有什么發現呢？

學生4：我發現相鄰的相同顏色的三角形還可以組成一個小正方形……

（此時教師將上述兩組對話中學生發現的現象用不同的顏色標注出來，然后繼續提問）

教師：非常棒，那么這組圖形之間又有一個什么圖形呢？（出示教材圖17.1-2）

學生：它們中間夾了一個小的等腰直角三角形。

教師：接下來，以小組為單位來分析一下，上面三種顏色的圖形之間有什么關系嗎？

學生以小組為單位，通過小組合作觀察圖片，對三種顏色圖形的邊長進行推測：

關系1：兩個藍色正方形的面積之和等于紅色正方形也就是一塊方磚的面積。

關系2：藍色正方形的邊長等于中間黃色等腰直角三角形的直角邊邊長。

關系3：紅色正方形的邊長等于中間黃色等腰直角三角形的斜邊邊長。

通過小組合作，學生對三種顏色圖形的關系有了初步了解，但是沒有學生想到將兩者結合起來研究三邊關系，此時教師可以繼續追問：

教師：同學們表述得非常棒，那有沒有想過將這兩個結論合并起來呢？來嘗試一下吧！

隨后，學生以小組為單位，對三組圖形的面積關系進行分析，發現結論：兩個藍色小正方形的面積和等于一個紅色大正方形的面積。

教師：你們能不能用數學化的語言表達出來呢？

預設：以等腰直角三角形兩直角邊為邊的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的大正方形的面積。

教師：換句話說就是“等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理的雛形。

（設計意圖：本環節是初步探究環節，以師生互動探究為主，以畢達哥拉斯故事為引導，激發學生參與課堂活動的興趣。整個活動以教師為主導，學生為主體，充分培養學生觀察、發現問題的能力，讓學生學會用數學的眼光觀察、思考、表達現實世界。）

（二）研討分析，深入探究

教師：同學們，剛剛我們發現了等腰直角三角形三邊之間的關系，那么你們覺得其他直角三角形的三邊關系符合這一規律嗎？（提出本環節需要探討的中心問題，引導學生繼續探究。）

學生以小組為單位，可以先進行結論的猜測，如有的小組認為符合，有的小組認為不符合，根據自己猜測的結果進行后續探究。

問題：（出示圖1，小正方形的邊長為單位1）你能計算出大正方形C的面積嗎？

學生觀察圖形，結合自己現階段掌握的面積計算方法，思考并計算正方形A、B、C的面積，如割補法等。學生探究如下：

步驟一：SA=3×3=9，SB=4×4=16

步驟二：正方形C不能用邊長乘以邊長的計算方法，但是我們可以按照其四個頂點的位置將它補充為一個新的正方形，然后利用計算面積。新正方形的面積為7×7=49，然后再減去周圍四個小三角形的面積：3×4÷2×4=24，最終得出正方形C的面積為25。

教師：那么圖中三個正方形的面積有什么關系呢？它們是否和畢達哥拉斯發現的關系一樣呢？是否具有與等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積同樣的等量關系呢？

學生：SA+SB=SC，具有與等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積同樣的等量關系。

此時如果學生能提出疑問：網格中的三角形可以代表所有的三角形嗎？學生就可以按照這個思路繼續深入探討，如果不能，教師提出問題：那你們覺得剛剛老師給出的圖形能不能代表所有直角三角形的情況呢？一般直角三角形符合嗎？（教師繼續出示教材中的圖片。）

教師：假設現在直角三角形三邊為a、b、c，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2是否成立呢？（在引導學生問題探究中，教師可以根據學生探討的過程給出分層支持。）

支持一——擺放圖形：結合上述三角形三邊關系，擺放兩個邊長分別為a和b的正方形，其中一邊重合（見圖2），引導學生計算出這兩個圖形的面積。

學生根據教師的提出擺放出兩個正方形，然后根據面積公式計算出兩個正方形的面積為a2和b2。

支持二——分割圖形：引導學生在兩個正方形中切割出兩個直角三角形，確保切割出的三角形一個頂點重合，然后得出邊長c，隨后證明左右兩個三角形全等，以及以B點為兩條c邊的夾角為直角（見圖3）。

學生根據教師給出的支持性問題，在底邊上找到符合要求的B點，然后通過做輔助線的方式，借助三角形全等以及其他相關知識驗證教師提出的問題，最終用含有ab的式子表示所有數量關系。

支持三——重新拼接組合：如何找到大正方形的另一組鄰邊，即找到以直角三角形斜邊為邊長的正方形？

學生根據教師的支持，小組合作借助前兩個環節探究所得的圖形進行切割、拼剪，然后展示自己小組得出的成果。

此時教師可以追問：為什么按這種方式拼出的四邊形是正方形？你能說明理由嗎？（預設：學生通過直角三角形兩個銳角互余等知識點說明新得出的四邊形是正方形。）

支持四：那么你能證明新得出的邊長為c的正方形和原來圖形的面積沒有變化嗎？

學生整理上述三個環節得出含有ab的算式，然后進行計算、分析，最終證明：a2+b2=c2。

（設計意圖：此環節師生探究活動中，教師運用類比思想引導學生對問題進行探討，這是數學研究從特殊到一般的過程。在四個步驟的支持中，教師搭建腳手架，一步步引導學生在質疑、思考、分析、探討過程中，自然、合理地發現知識前后之間的聯系，從而體會“出入相補法”的原理。）

【教學反思】

探究式教學是初中數學教學中常用的教學方法之一，以往數學教學中，教師始終認為學生的學習能力、探究能力較弱，并沒有嘗試將整堂課全部教給學生，此次以學生為主體的課堂探究學習嘗試中，教師作為主導者，適時提出問題，搭建學生小組合作觀察、思考、探究的“腳手架”，既保證了學生學習的興趣和積極性，又確保了整堂課按照教師設計的思路進行。此外，在整個課堂中學生小組合作占據主體地位，小組內的交流、思考、合作活動相對較多，學生能夠將與三角形相關的知識系統串聯起來，也有利于自身知識體系的搭建，為后續更復雜的數學知識學習奠定基礎。

（作者單位：甘肅省康樂縣上灣民族中學）

編輯：陳鮮艷