聚焦基礎知識 考查關鍵能力

廖國達

2024年高考數學新課標I卷（簡稱“新課標I卷”）聚焦基礎知識的夯實，通過優化題量、提升解答題分值和多選題賦分的方式，旨在更好地體現數學的本質，強化對學生理性思維和應用能力的考查。改革后的新課標I卷旨在培養學生的核心素養，選拔具備創新精神的優秀人才。試卷呈現出選擇和填空題整體難度適中、試題梯度設計合理、解答題具有一定的難度和區分度等特點。試卷著重考查學生的主干知識、能力和素養，突出思維過程、思維方法和創新能力，助力素質教育和拔尖人才的選拔，充分體現了改革的理念和要求。

重視基礎，回歸課標，突出數學教學本質

1.重點考查主干知識

從具體的考查內容來看，這份試卷重點考查主干知識，具體包括：函數與導數（第6、8、10、13、18題，共38分）、解析幾何（第11、12、16題，共26分）、立體幾何（第5、17題，共20分）、三角函數（第4、7、15題，共23分）、概率統計（第9、14題，共11分）、數列（第19題，17分）、集合（第1題，5分）、復數（第2題，5分）以及向量（第3題，5分）。

值得注意的是，雖然平時常考的知識點，如直線與圓、等比數列、二項式定理、統計、回歸方程、分布列等并未直接出現在試卷中，但不等式作為解決數學問題的重要工具，被巧妙地融入了多個考題（第1、6、8、9、10、11、18題）之中，體現了其作為一條暗線的核心作用。這樣的設計不僅考查了學生對基礎知識的掌握，也檢驗了他們的解題技巧和靈活應用能力。

2.考查基礎知識，回歸教材

仔細審視試卷內容，可以發現其仍然以考查基礎內容為主導，多數題目的題源都可以追溯到人民教育出版社出版的《普通高中教科書數學》（2019年6月第1版），如下表所示：

從考試內容中我們可以明顯看出，對數學基礎知識和基本概念的理解是考查的重點，大部分考題都源于課本上的例題或習題中的常規題型。因此，對2025屆高三學生來說，堅持掌握和鞏固基礎知識體系顯得尤為重要。考生應當多加練習課本上的例題和習題，以深化對知識點的理解和運用。

重點考查學生的關鍵能力

1.試卷的靈活性有所提高，重視理性思維

第8題：已知函數? ? ? ?的定義域為R，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，且當x﹤3? ? 時，? ? ? ? ? ，則下列結論中一定正確的是（? ? ）

A.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

本題實質上與斐波那契數列有相似之處，但并非完全一致，因此不同水平的考生會采用不同的方法，導致解題花費的時間也不同。在單選題的壓軸題備考中，多采用一題多變的教學模式——提思維、減負擔、培探索、增信心、提效率，以適應各層次學生提高關鍵能力。

2.體現數學之美：巧妙地將數學知識與優美曲線相結合

第11題深刻地體現了高考數學中不等式在解決實際問題中的實用價值，它通過精確的數量關系描述與分析，幫助我們更加深入地理解和解決現實世界中的復雜問題，從而彰顯了數學的嚴謹性和實用性。因此，教師應當從過去單純教授技巧和練習題型的教學模式轉向培養學生的思維能力，教授他們如何獨立思考，如何運用所學知識解決實際問題。

3.強化對方法的深入理解和綜合應用

第14題：甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩個各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上的數字大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為? ? ? ? ? ? .

2025屆高考復習中，教師不僅要頻繁檢驗學生對知識點的掌握程度，更應注重培養學生對解題方法的深入理解和綜合應用能力。以這題用枚舉法為例，這種方法在高考數學中展現出了其獨特的優勢，包括準確性高、全面性強、易于理解和操作、適用性強，等等。同時，教師教導學生在應用枚舉法時，需要根據問題的具體情況進行權衡和選擇，以確保解題的高效性和準確性。通過這樣的教學方式，教師可以幫助學生更好地掌握數學知識，提升他們的解題能力和思維水平。

4.打破以往的命題模式，靈活、科學地確定試題的內容和順序

第16題：已知 A（0， 3）和 P（3，? ?）為橢圓? ? ? ? ? ? ? ? ? （a﹥b﹥0）上兩點.（1）求 C 的離心率；（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B，且△ABP 的面積為9，求 l 的方程.

2025屆高三學生需要特別注意，今年解析幾何試題安排在解答題的第2題，可見新課標卷已經打破了傳統的命題模式，采取更加靈活和科學的方式來確定試題的內容和順序。這種機動的試題順序調整旨在打破學生機械式應試的慣性思維，同時也打破了教學中可能存在的僵化、刻板的訓練模式，從而有效地防止了猜題、押題的情況發生。通過這樣的調整，新課標卷能夠更好地測試學生的應變能力和解決各種難度問題的能力。這一改革旨在引導教學，幫助學生全面掌握主干知識，提升基本能力，并培養他們靈活地整合知識、解決問題的能力。因此，2025屆高三學生應適應這種變化，注重知識的全面性和應用的靈活性，為應對新挑戰做好充分準備。

2025屆高三學生在復習解析幾何時，應特別關注一題多解的教學模式。通過一題多解的訓練，不僅能加深對知識點的理解，還能在解題過程中鍛煉思維能力和運算能力。這種教學模式有助于學生從多個角度思考問題，形成更加靈活的思維習慣。例如第16題，通過對比不同的解題方法，會發現用參數方程設點寫出面積坐標公式可以更好地理解題目本質，利用平行四邊形的性質及橢圓的對稱性，提高解題速度，提升解決問題的綜合能力。

5.強調推理能力、空間想象能力的考查

第17題：如圖，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=? ?.（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角 A-CP-D 的正弦值為? ? ? ，求 AD.

在考場上，不少學生被這道立體幾何題困住。這道題目允許使用綜合法或坐標法解答，雖然解題途徑多樣，但要在10分鐘內完成卻對許多學生來說頗具挑戰。因此，2025屆高三學生在復習立體幾何部分時，建議深入研究真題，掌握解題的最佳策略，并要特別重視限時訓練。通過設定時間限制來完成往年真題，可以有效鍛煉解題速度和準確性，為高考做好充分準備。

6.強化綜合性考查，考查知識之間的內在聯系

第18題：已知函數? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .（1）若 b = 0，且

≥0，求 a 的最小值；（2）證明：曲線 y =? ? ?是中心對稱圖形；（3）若? ? ? ?﹥-2，當且僅當1﹤x﹤2，求 b 的取值范圍.

本題在函數、導數試題中巧妙地融入了曲線的對稱性這一幾何性質，并深入地考查了學生求參數取值范圍的能力。往后的復習中，教師應著重引導學生深入理解并掌握學科理論的本質屬性和之間的關聯。通過深化基礎知識、基本原理和方法的教學，幫助學生構建完整的知識體系和網絡結構。在導數復習方面，要特別注意求參數范圍、分類討論、零點以及不等式證明的訓練。同時，加強分離參數、分類討論、反證法等方法的實踐，并讓學生掌握證明題的解題技巧，例如本題中的第二問就是很好的實踐案例。

重視理性思維，發揮了選拔功能

新課標I卷在難度設置上層次分明，不僅展示了思維的靈活性與深度，更在方法的選擇上體現了綜合、探究與創新的理念，科學、合理地劃分了試題的區分度，充分彰顯了高考數學在選拔人才方面的獨特功能。

第19題：設 m 為正整數，數列 a1，a2，…，a4m+2 是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項 ai 和 aj（i ﹥ j）后剩余的4m 項可被平均分為 m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列 a1，a2，…，a4m+2 是（i， j）-的可分數列.（1）寫出所有的（i， j），1≤i＜j≤6，使得數列 a1，a2，…，a6 是（i， j）-可分數列；（2）當 m≥3 時，證明：數列 a1，a2，…，a4m+2 是（2，13）-可分數列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數 i? 和? j（i ﹤ j），記數列 a1，a2，…，a4m+2 是（i， j）-可分數列的概率為 Pm，證明：Pm﹥? ?.

本題以等差數列為背景，創新設問方式，通過引入數學新定義，為學生搭建了一個廣闊的思維平臺，旨在引導學生積極思考，在解題過程中領悟數學方法，并自主選擇路徑和策略來分析、解決問題。預計明年的新課標I卷第19題將繼續延續這一趨勢，對考生的綜合素質和臨場應變能力提出更高要求。這包括但不限于對信息的提取與加工能力、對數學符號的深入理解和準確推導能力、從具體到抽象和從一般到特殊的科學探究能力。這種設計不僅考查了學生的思維能力，更要求學生具備解決復雜問題的綜合素養和關鍵能力，因此具有一定的難度。這樣的題目設計有利于高校選拔出具備扎實數學基礎和優秀思維能力的人才，同時也有利于中學數學教學更加注重培養學生的核心素養，提高學生的綜合素質和解決問題的能力。

總之，在接下來的備考中務必全面把握核心知識點，強化基本能力，穩固基礎，頻繁回顧課本內容，始終以課程標準為導向。同時，我們要深入研究歷年高考真題，緊密圍繞高考評價體系展開學習，這樣才能確保學習的主動性和高效性。面對多變的考試環境，我們應保持不變的應對策略，以穩健的步伐和自信的心態迎接挑戰，從容不迫地應對考試。