帶電粒子在磁場中運動的多解問題分類探析

李琴

［摘 要］帶電粒子在磁場中的運動問題是高考物理經常考查的題型，也是高中物理的重要知識點。在不同類型的測驗和高考中，帶電粒子在磁場中的運動問題對絕大多數學生來說屬于難點，尤其是帶電粒子在磁場中運動的多解問題更是難上加難。文章結合近年高考試題，對帶電粒子在磁場中運動的多解問題的類型及解答方法進行歸納總結，旨在引導學生破解難點，提升解題能力。

［關鍵詞］帶電粒子；磁場；多解問題；類型

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0049-04

帶電粒子在磁場中的運動問題是高考物理經常考查的題型，也是高中物理的重要知識點。與此相關的題目也多是綜合性較強的計算題，形式和內容多變，難度較大，而帶電粒子在磁場中運動的多解問題更是學生的“噩夢”。通過總結歸納發現，帶電粒子在磁場中運動的多解問題可分為磁場方向不確定型、帶電粒子電性不確定型、運動具有周期性型、臨界狀態不確定型四種類型。本文主要對帶電粒子在磁場中運動的多解問題的類型及解答方法進行探析。

一、磁場方向不確定型

磁感應強度是一個矢量，如果題目只給出了磁感應強度的大小，而沒有明確磁場方向，解題時就要考慮磁場的方向。如果想當然地選定一個方向求解，就會造成漏解或錯解。

［例1］如圖1所示，在[OP]和[OQ]所圍的范圍內存在垂直紙面的勻強磁場，[∠POQ=30°]，在點[O]右側距離為[s]的點[A]處有一個離子源，可沿紙面平面垂直[OQ]向磁場區域射出負離子，負離子的重力可忽略，其比荷為[qm]，速率為[v]。為了使負離子被約束在[OP]下方區域，區域內所加勻強磁場的磁感應強度[B]的大小應為多少？

分析：審題時要抓住本題的隱含條件——勻強磁場的方向未知，因此在解題時必須分垂直紙面向里和垂直紙面向外兩種情況進行討論。

解：（1）當[POQ]區域內所加磁場方向垂直紙面向里時，由左手定則可知，負離子向右偏轉，按照題意“使負離子被約束在[OP]下方區域”可知，臨界條件應為負離子的運動軌跡與[OP]相切，作圖如圖2中大圓弧所示。

由幾何知識得

[r1=OBsin30°=12OB]

而[OB=s+r1]，

所以[r1=s]，所以當負離子的運動半徑小于[s]時滿足題意。

由牛頓第二定律及洛倫茲力公式可得

[qvB=mv2r1]

綜合以上可得[B>mvqs]。

（2）當[POQ]區域內所加磁場方向垂直紙面向外時，由左手定則可知，負離子向左偏轉，按照題意“使負離子被約束在[OP]下方區域”可知，臨界條件應為負離子的運動軌跡與[OP]相切，作圖如圖2中小圓弧所示。

由幾何知識得

[r2=s3]，

所以當負離子的運動半徑小于[s3]時滿足題意。

由牛頓第二定律及洛倫茲力公式可得

[qvB=mv2r2]，

綜合以上可得[B>3mvqs]，

所以本題的答案為：當[POQ]區域內所加磁場方向垂直紙面向里時，[B>mvqs]；當[POQ]區域內所加磁場方向垂直紙面向外時，[B>3mvqs]。

【技巧分析】由于磁場方向不確定造成多解是最常規的多解問題，本題還涉及臨界問題，解題的關鍵是正確畫出帶電粒子在磁場中運動的軌跡，并根據數學知識計算出帶電粒子運動的軌道半徑。對于例1所示的帶電粒子在有界磁場中的運動問題，通常需要學生有一定的幾何知識儲備，并能靈活應用幾何知識，其中需要熟練掌握的幾何知識包括點、線、角三個方面，如帶電粒子的入射點、出射點、運動軌跡圓心；帶電粒子的運動半徑（為入射點或出射點與運動軌跡圓心的連線），入射點與出射點的連線；圓心角、速度的偏轉角、弦切角。將這些幾何知識與物理情境相結合，能夠讓學生更深入地理解帶電粒子的運動過程，進而準確地找到解題方法。

二、帶電粒子電性不確定型

在磁場中帶電粒子受洛倫茲力的影響而進行運動，由于帶電粒子的電性有正、負之分，因此會形成兩種不同的運動軌跡，出現兩種結果。如果學生在審題時不認真，就很容易掉進命題者所設的“陷阱”中，從而出現漏解甚至錯解。

［例2］如圖3所示，在水平直線[MN]上方存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為[B]。當帶電粒子以如圖所示與直線[MN]成30°角的方向射入磁場時，求帶電粒子在勻強磁場中的運動時間。已知帶電粒子的質量為[m]，電荷量為[q]。

分析：本題沒有明確帶電粒子的電性，由左手定則及圓周運動知識可知，帶電粒子的運動軌跡因電性不同分為如圖4所示的兩種情況，解題時應分類討論。

解：由牛頓第二定律、洛倫茲力公式及周期公式可得

[qvB=mv2R]

[T=2πRv]

解得[T=2πmqB]

由于不知道帶電粒子的電性，因此須分兩種情況進行討論。

（1）若帶電粒子帶正電荷，由左手定則可知，其在勻強磁場中的運動軌跡應是圖4中左側優弧，根據幾何知識可知其軌跡為圓周的[56]，所以帶電粒子在勻強磁場中的運動時間為

[t1=56T=5πm3qB]

（2）若帶電粒子帶負電荷，由左手定則可知，其在勻強磁場中的運動軌跡應是圖4中右側劣弧，根據幾何知識可知其軌跡為圓周的[16]，所以帶電粒子在勻強磁場中的運動時間為

[t2=16T=πm3qB]

因此，本題的答案為[5πm3qB]或[πm3qB]。

【技巧分析】根據上面例2可歸納出解題思維導圖如下：

對于這種類型的多解問題，只需做到認真審題，確定帶電粒子的電性情況，就能避免漏解和錯解。單純給出像例2所示的題目較少，如果出現，解題思路通常可參照上述思維導圖進行靈活改變。

三、運動具有周期性型

當帶電粒子在復合場中運動時，通常會出現周期性運動情況，而在一些特殊的純磁場條件下，比如不同區域磁場方向不同、磁場做周期性變化等，也可能出現周期性運動情況如果分析研究對象的運動狀態不全面，就可能因為研究不全面而出錯。

［例3］（多選）如圖5所示，在圓心角為90°的扇形區域[MON]內部（含邊界）分布著方向垂直紙面向外的勻強磁場，扇形區域外分布著方向垂直紙面向里的勻強磁場，兩個磁場的磁感應強度大小均為[B]。現有一質量為[m]、電荷量為[e]的電子從點[M]處沿[MO]方向以某速度射入扇形區域，并最終到達點[N]。則該電子從點[M]運動到點[N]所用時間為（）。

A. [πm2Be]B. [πmBe]C. [2πmBe]D. [17πm6Be]

分析：當看到題中磁場組合存在方向或磁感應強度變化時，首先要有意識地朝著多解方向考慮，況且本題已經在題干前明確給出“多選”的提示，因此絕對要考慮周全，以免漏選。按照“例2”的思路，本題的解題關鍵是正確作出運動軌跡圖，然后根據周期與圓心角的關系求運動時間，區別在于，“例2”的多解情況只與帶電粒子的電性有關，其運動軌跡簡單，而本題中電子的運動軌跡因為磁場分布不同以及射入速度的不確定而出現多種情況。

解：把扇形區域等分成[n]份，根據運動的對稱性畫出電子的運動軌跡。

當[n]為奇數時，如圖6所示，電子的運動時間[t]為周期的整數倍加上第一段的運動時間，即

[t=n-12T+2n-14nT=（2n2-1）πm2nBe ][（n=1]，3，5…）

當[n]為偶數時，如圖7所示，結合對稱性可得

[t′=n2T=nπmBe]

（[n=2]，4，6…）

由上面兩式可知，當[n=1]時，[t=πm2Be]；當[n=2]時，[t=2πmBe]；當[n=3]時，[t=17πm6Be]。由此可知選項ACD為正確答案。

【技巧小結】帶電粒子的周期性運動涉及多種因素，例3只是純磁場情況下的演示，實際遇到的題目多是復合場問題，但是，不論題目怎么設計，解題思路和技巧不會變，比如分析受力情況和運動情況、繪制運動軌跡圖、利用運動的對稱性、應用周期性邊界條件、利用分段處理法等，都是我們慣用的解題技巧，平時練習中教師要有意識地對這些解題技巧進行針對性訓練，以提高學生的解題能力。

四、臨界狀態不確定型

帶電粒子在洛倫茲力作用下運動的軌跡為圓弧，因此在穿越有邊界的磁場時，會因為邊界兩側物理條件的不同以及出射速度、所帶電荷量大小、電性差異等多種因素，而出現多種運動結果，這也是臨界狀態造成多解的根本原因。

［例4］如圖8所示，在等腰梯形[MNQP]區域存在垂直紙面向里的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應強度大小為[B]，已知[∠P=45°]，[PQ=2MN=4L]。現由一比荷為[k]、重力忽略不計的帶電粒子從點[M]處沿垂直[PM]的方向射入勻強磁場中，帶電粒子恰好不從邊[PQ]射出磁場，則下列說法正確的是（）。

A.帶電粒子的軌跡半徑可能為[（2+2）L]

B.帶電粒子的速度大小可能為[（2-2）BkL]

C.帶電粒子在磁場中的運動時間可能為[3π4kB]

D.帶電粒子在磁場中運動的時間可能為[πkB]

分析：根據題意可知帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識繪出帶電粒子恰好通過點[Q]時的運動軌跡，然后求出軌跡半徑；帶電粒子的運動速度和運動時間可根據洛倫茲力提供向心力及周期公式求得。解題的關鍵是準確分析運動狀態。本題尤其要注意帶電粒子的電性是未知的，因此必須結合這個參考量進行全面討論，才能避免漏解和錯解。

解：若帶電粒子帶負電荷，其恰好通過點[Q]的軌跡圖如圖9所示，其中點[O]為運動軌跡的圓心，點[A]為[MN]的延長線與[OQ]的交點。在[△OAM]中，根據幾何知識可得

[R=2（R-L）]

解得帶電粒子的軌跡半徑[R=（2+2）L]

根據洛倫茲力提供向心力有：

[qvB=mv2R]

解得帶電粒子的速度[v=（2+2）BkL]

若帶電粒子帶負電荷，從點[N]射出磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖10所示，根據幾何知識可得帶電粒子在磁場中運動的時間[t1=π2kB]。

若帶電粒子帶正電荷，其從邊[PM]射出時，在磁場中運動的時間最長，如圖11所示，根據幾何知識可得帶電粒子在磁場中運動的時間[t2=πkB]。

綜上可知正確選項為AD。

【技巧小結】臨界問題的解題方法和步驟的思維導圖可歸納如下：

在解題過程中，準確分析帶電粒子的受力情況和運動軌跡是關鍵，而臨界問題通常與相切、恰好從某位置射出等相關聯，通過這些臨界情況分析運動過程，進而結合幾何知識列式求解。

通過以上分析，我們知道了帶電粒子在磁場中運動的多解問題的四種常見類型，通過例題解析對解題過程和解題技巧有了一定的了解，從中歸納出了如下解題策略與建議。

1.熟練掌握洛倫茲力公式、圓周運動公式和勻速直線運動公式，并能靈活運用。

2.分析帶電粒子的受力情況和運動情況，畫出粒子的運動軌跡圖有助于解題。

3.應注意臨界條件的應用，如粒子恰好從某一位置射出、恰好與某一物體相碰等。

4.對于多解問題，要全面考慮各種可能的情況，做到不漏解、不多解。

5.對于復雜問題，可以采用分段處理的方法，將問題分解為幾個簡單的子問題進行處理。

除上述四種類型外，帶電粒子速度大小、方向的改變，帶電粒子入射點的改變，磁感應強度大小、方向的改變等，都會造成多解。教師可引導學生對其進行探討，以幫助學生把握更多的解題規律。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

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［2］? 陳燕，羅志恒.帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題分析［J］.物理教師，2022（8）：83-86.

［3］? 陳俊昆，成金德.探究求解帶電粒子在磁場中運動問題的方法［J］.物理通報，2018（4）：49-57.

［4］? 陳杰.帶電粒子在磁場中運動問題多解性的分析與思考［J］.高中數理化，2015（24）：27.

（責任編輯 黃春香）