2023年高考湖南卷物理選擇題第10題的解法探析

向樺　杜娟

［摘 要］運用動力學法、慣性力法、力矩平衡法等三種解法，對2023年高考湖南卷物理選擇題第10題進行探析，通過研究不同解法的特點，達到開闊學生解題視野、引導教師教學的目的。

［關鍵詞］動力學；慣性力；力矩平衡

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0043-03

2023年高考湖南卷物理選擇題第10題以小車及車廂內球桿連接體一起做加速運動為背景，考查了牛頓第二定律應用中的臨界問題，對學生的理解能力、模型建構能力以及推理論證能力有較高的要求，是一道壓軸選擇題。該題把學生熟悉的球桿連接體模型放入小車里，通過對整體施加推力設置動力學臨界情境，進而引出極值問題，充分體現了高考試題不回避經典模型但又給予創新的命題理念，對引導教師教學有著積極的作用。

一、試題呈現

如圖1所示，光滑水平地面上有一質量為[2m]的小車在水平推力[F]的作用下加速運動。車廂內有質量均為[m]的[A]、[B]兩小球，兩球用輕桿相連，[A]球靠在光滑左壁上，[B]球處在車廂水平底面上，且與底面的動摩擦因數為[μ]，桿與豎直方向的夾角為[θ]，桿與車廂始終保持相對靜止。假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。下列說法正確的是（）。

A.若[B]球受到的摩擦力為零，則[F=2mgtanθ]

B.若推力[F]向左，且[tanθ≤μ]，則[F]的最大值為[2mgtanθ]

C.若推力[F]向左，且[μ

D.若推力[F]向右，且[tanθ>2μ]，則[F]的范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]

二、解法探析

在動力學問題中，對于較為復雜的系統，一般采取先整體后局部的解題路徑。本題中，小車和[A]、[B]兩小球整體的運動取決于水平推力[F]，而在保持相對靜止的前提下整體與局部的加速度相同，不同的加速度對應[A]、[B]兩小球各自不同的受力情況，從而產生臨界極值問題。下面就三種解法對此問題展開討論。

解法一：動力學法

在物體運動狀態發生變化的過程中，往往達到某個特定狀態時，有關物理量將發生突變，此狀態即為臨界狀態，相應物理量的值為臨界值［1-2］。臨界狀態的兩側，物體的受力情況、變化規律、運動狀態一般都要發生改變，用變化的觀點正確分析其運動規律是解決臨界極限問題的關鍵，而臨界狀態的確定是解決臨界極限問題的基礎［3］。

選項[A]：如圖2所示，若[B]球受到的摩擦力為零，則輕桿對[B]球彈力的水平分力提供其向右的加速度，在水平方向根據牛頓第二定律有[FBsinθ=ma]；對[A]球，在豎直方向根據平衡條件有[FAcosθ=mg]，且[FA=FB]，聯立以上各式得：

[FA=FB=mgcosθ]? ? ? ? ? ? ? ①

[a=gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對象，根據牛頓第二定律得[F=4ma=4mgtanθ]。

選項[B]和[C]：如圖3所示，若推力[F]向左，當[A]球恰好不離開左壁時有[FNA=0]，對[A]球，在水平方向根據牛頓第二定律有[FAsinθ=maA0]，得[A]球的臨界加速度為

[aA0=gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ③

當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時，受到的靜摩擦力達到最大，在水平方向根據牛頓第二定律有[μFNB-FBsinθ=maB0]，以[A]、[B]兩小球及桿組成的系統為研究對象，在豎直方向由平衡條件有[FNB=2mg]，可得[B]球的臨界加速度為：

[aB0=2μg-gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④

現討論以下兩種情況：

當[aA0≤aB0]，得[tanθ≤μ]，為了使[A]、[B]兩小球與車廂始終保持相對靜止，應取[aA0]為最大加速度，此時以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對象，根據牛頓第二定律有[F=4maA0=4mgtanθ]。

當[aA0>aB0]，得[tanθ>μ]，為了使[A]、[B]兩小球與車廂始終保持相對靜止，應取[aB0]為最大加速度，此時以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對象，根據牛頓第二定律有[F=4maB0=4mg（2μ-tanθ）]，再由[F≥0]，得[tanθ≤2μ]，故[μ

選項[D]：若推力[F]向右，則[A]球無法離開左壁，故只用分析[B]球，分兩種情況討論。

如圖4所示，當[B]球相對車廂恰好不向左滑動時，受到的靜摩擦力達到最大且向右，根據牛頓第二定律有[FBsinθ+μFNB=maB1]，得[B]球的臨界加速度為：

[aB1=gtanθ+2μg]? ? ? ? ?⑤

此時以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對象，根據牛頓第二定律有[F=4maB1=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖5所示，當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時，受到的靜摩擦力達到最大且向左，根據牛頓第二定律有[FBsinθ-μFNB=maB2]，得[B]球的臨界加速度為：

[aB2=gtanθ-2μg]? ? ? ? ?⑥

此時以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對象，根據牛頓第二定律有[F=4maB2=4mg（tanθ-2μ）]。

再由[F>0]，得[tanθ>2μ]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評析：解法一的基本思路是先分析[A]、[B]兩球在各自臨界狀態時的受力特征，再配合整體、隔離法運用牛頓第二定律進行求解，通過比較[A]、[B]兩球各自的臨界加速度，得到[tanθ]和[μ]的關系。

解法二：慣性力法

慣性力其實可以作為一種解題經驗、解題技巧、解題方法來學習和應用，當然也可以作為一個物理概念或觀念來引入，并借此培養學生的物理觀念和科學思維，發展學生的科學態度與責任素養［4］。

以小車為非慣性參考系，其加速度為[a=F4m]，對[A]、[B]兩小球分別施以慣性力（方向與加速度方向相反），則

[F慣=ma=F4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦

選項[A]：如圖6所示，若[B]球受到的摩擦力為零，則有[F慣=FBsinθ]，得[F=4mgtanθ]。

選項[B]和[C]：如圖7所示，若推力[F]向左，當[A]球恰好不離開左壁時有[FNA=0]，則[FAsinθ=F慣]，得[F=4mgtanθ]，當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時，受到的靜摩擦力達到最大，則有[FBsinθ+F慣=f=2μmg]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]，比較兩種臨界情況下[F]的大小即可確定[tanθ]與[μ]的關系，這里不再贅述。

選項[D]：如圖8所示，若推力[F]向右，當[B]球相對車廂恰好不向左滑動時有[F慣=FBsinθ+2μmg]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖9所示，當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時有[F慣+2μmg=FBsinθ]，得[F=4mg（tanθ-2μ）]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評析：解法二的基本思路是以小車為非慣性參考系，引入假想的慣性力，把牛頓第二定律問題轉換成平衡問題，讓思維難度降級。

解法三：力矩平衡法

力矩平衡問題的物理情境復雜，靈活多變，與生活聯系緊密，需要學生理解力矩平衡的本質，有較強的邏輯思維能力及運用物理知識解決問題的能力。而針對具體力矩平衡問題情境（原始問題），通過分析、簡化、概括得出對應的杠桿模型（抽象問題）進行等效替代，再結合物理知識和數學知識，原始問題就能順利解決［5］。

引入慣性力后，設輕桿長度為[L]，以逆時針方向力矩為正，運用力矩平衡求解。

選項[A]：如圖10所示，若[B]球受到的摩擦力為零，以[A]球為矩心，根據力矩平衡有[FNBLsinθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

選項[B]和[C]：如圖11所示，若推力[F]向左，當[A]球恰好不離開左壁時有[FNA=0]，以[B]球為矩心，根據力矩平衡有[mgLsinθ-F慣Lcosθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時，受到的靜摩擦力達到最大，以[A]球為矩心，根據力矩平衡有[FNBLsinθ+F慣Lcosθ-2μmgLcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]。

選項[D]：如圖12所示，當[B]球相對車廂恰好不向左滑動時，以[A]球為矩心，根據力矩平衡有[FNBLsinθ+2μmgLcosθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖13所示，當[B]球相對車廂恰好不向右滑動時，以[A]球為矩心，根據力矩平衡有[FNBLsinθ-2μmgLcosθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0 ]，得[F=4mg（tanθ-2μ） ]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評析：由于輕質活桿問題中桿對球的作用力沿著桿的方向，若以球為矩心，則其力矩為零。因此，解法三不用再考慮輕桿對球的作用力，使問題得以簡化，但值得注意的是，選取不同矩心時，同一力的力矩正負號會發生相應的變化。

三、教學反思

以上三種解法中，解法一屬于高中物理的常規解題方法，解法二和解法三屬于高中物理強基知識范疇。從解題的繁簡程度來看，解法二和解法三明顯優于解法一，但對于沒有接觸過高中物理強基知識的學生來說，理解起來會有一定困難。從提升學生的思維能力、訓練學生的解題基本功來看，解法一更為合適。解法一通過研究物體受力和運動的關系，找臨界狀態、討論極值，將問題抽絲剝繭、層層分析，是高中物理學科素養、關鍵能力的體現，對指導學生學習高中物理主干知識、基本方法有積極作用。在學生充分理解了解法一后，教師再有針對性地拓展和拔高，可以開闊學生的解題視野，豐富學生的知識面，提升學生的解題能力。

在日常的物理教學中，教師既要注重基礎知識、基本方法的傳授，又要注重培養學生的創新思維。教師在強化基礎知識和基本方法的學習的同時，要引導學生從不同側面思考問題、解決問題，鼓勵學生敢于向未知知識和方法挑戰，以提升學生的物理思維品質。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 朱欣.牛頓第二定律在臨界問題中的應用［J］.中學物理教學參考，2005（12）：27-28.

［2］? 張北春.高考物理模擬試題選析與點撥（上）［J］.試題與研究，2011（31）：39-61.

［3］? 黃寬寬.動力學中的臨界極值問題的解題策略［J］.教學考試，2023（22）：43-48.

［4］? 陳新生.運用慣性力巧解復雜的動力學問題［J］.中學物理，2019（3）：50-53.

［5］? 張麗麗.杠桿模型在力矩平衡問題解決中的應用［J］.物理通報，2019（增刊1）：17-20，24.

（責任編輯 黃春香）