圓中新定義問題解法探究

陳玉芹

［摘 要］“圓”是初中數學的重要內容，圓中新定義問題在考試中屢屢出現，學生普遍覺得有一定的難度。文章結合具體的實例，探討圓中新定義問題的求解方法，旨在發展學生思維，提高學生創新性解決問題的能力。

［關鍵詞］圓；新定義問題；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0018-03

近幾年，新定義問題頗受命題者的青睞，其主要考查學生的閱讀理解能力和利用數學知識創新性解決問題的能力。圓是初中數學的重要內容，圓中新定義問題在考試中屢屢出現，學生普遍覺得有一定的難度。下面筆者結合具體的實例，分析探討圓中新定義問題的求解方法。

一、圓內兩條特殊位置關系的弦——等垂弦

在圓內，當兩條弦互相垂直且相等時，我們稱這樣的弦為“等垂弦”。兩條弦成為“等垂弦”，必須滿足兩個條件：一是長度相等，二是互相垂直。“等垂弦”與兩條弦心距圍成的四邊形恰是一個正方形。

［例1］在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，如圖1所示，[AB]、[CD]是[⊙O]的弦，如果[AB=CD]，[AB⊥CD]，垂足為[E]，則[AB]、[CD]是等垂弦。（1）如圖2所示，[AB]是[⊙O]的弦，作[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，分別交[⊙O]于點[C]、[D]，連接[CD]，求證：[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦；（2）在圖1中，[⊙O]的半徑為5，[E]為等垂弦[AB]、[CD]的分割點，[BEAE=13]，求[AB]的長度。

解析：（1）如圖3所示，連接[BC]，設[AB]、[CD]的交點為[E]，∵[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，∴[∠AOC=∠BOD=90°]，∴[∠AOB=∠COD]，由圓心角、弧、弦關系定理得[AB=CD]，∵[AC=AC]，由圓周角定理得[∠ABC=12∠AOC=45°]。同理，[∠BCD=12∠BOD=45°]，∴[∠AEC=∠ABC+∠BCD=90°]，即[AB⊥CD]，∵[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦。

（2）如圖4所示，作[OH⊥AB]，垂足為[H]，作[OG⊥CD]，垂足為[G]，由矩形的判定定理得四邊形[OHEG]為矩形，∵[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦，由“等垂弦”的定義得[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AH=DG=12AB]，∵[OA=OD]，[∠AHO=∠DGO=90°]，由斜邊直角邊定理，得Rt[△AHO ]≌Rt[△DGO]，∴[OH=OG]，∴矩形[OHEG]為正方形，∴[OH=HE]，∵[BEAE=13]，[AH=BH]，∴[AH=2BE=2OH]。在 Rt[△AOH]中，[AO2=AH2+OH2]，即[（2OH）2+OH2=AO2=25]，解得[OH=5]，則[AB=4OH=45]。

二、特殊的圓內接四邊形——婆氏四邊形

一個圓有無數個內接四邊形，當它的兩條對角線互相垂直時，我們稱之為“婆氏四邊形”。“婆氏四邊形”仍具有圓內接四邊形對角互補和外角等于內對角的性質，當“婆氏四邊形”的一組對邊和的值一定時，可以求得圓半徑的最小值。

［例2］我們把對角線互相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形”。（1）若平行四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”，則四邊形[ABCD]是? ? ? ? ? ? （填序號，①矩形，②菱形，③正方形）。（2）如圖5所示，Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，以[AB]為弦的[⊙O]交[AC]于[D]，交[BC]于[E]，連接[DE]、[AE]、[BD]，[AB=6]，[sinC=35]，若四邊形[ABED]是“婆氏四邊形”，求[DE]的長。（3）如圖6所示，四邊形[ABCD]為[⊙O]的內接四邊形，連接[AC]、[BD]、[OA]、[OB]、[OC]、[OD]，已知[∠BOC+∠AOD=180°]。①求證：四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”；②當[AD+BC=4]時，求[⊙O]半徑的最小值。

解析：（1）如圖7所示，∵平行四邊形[ABCD]為[⊙O]的內接四邊形，∴[∠ABC=∠ADC]，[∠ABC+∠ADC=180°]，∴[∠ABC=∠ADC=90°]，∴平行四邊形[ABCD]是矩形，∵四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”，∴[AC⊥BD]，∴矩形[ABCD]是正方形。

（2）∵[∠BAC=90°]，[AB=6]，[sinC=35]，∴[BC=10]，[AC=8]，∵[BD]為直徑，∴[∠BED=∠DEC=90°]，∵四邊形[ABED]是“婆氏四邊形”，∴[AE⊥BD]，∴[AD=DE]，[AB=BE=6]，設[AD=DE=m]，則[CD=8-m]，[EC=4]，在Rt[△EDC]中，[m2+42=（8-m）2]，解得[m=3]，∴[DE=3]。

（3）①證明：如圖8所示，設[AC]、[BD]相交于點[E]，∵[∠DCA=12∠AOD]，[∠BDC=12∠BOC]，[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠DCA+∠BDC=12（∠AOD+∠BOC）=12×180°=90°]，∴[∠CED=90°]，∴[AC⊥BD]，∵四邊形[ABCD]是[⊙O]的內接四邊形，∴四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”。②如圖9所示，過點[O]作[OM⊥AD]交于[M]，過點[O]作[ON⊥BC]交于[N]，∴[AM=12AD]，[BN=12BC]，[∠AMO=∠BNO=90°]，∴[∠AOM+∠OAM=90°]，∵[OA=BO=CO=DO]，∴[∠AOM=12∠AOD]，[∠BON=12∠BOC]，∵[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠AOM+∠BON=90°]，[∠OAM=∠BON]，由角角邊定理得[△OAM ]≌[△BON]，∴[ON=AM=12AD]，∵[AD+BC=4]，設[ON=AM=n]，則[AD=2n]，[BC=4-2n]，[BN=2-n]，在Rt[△BON]中，[BO=n2+（2-n）2=2（n-1）2+2]，當[n=1]時，[BO]有最小值[2]，∴[⊙O]半徑的最小值為[2]。

三、與三角形既接又切的圓——切接圓

經過三角形三個頂點的圓，叫作三角形的外接圓，與三角形各邊都相切的圓，叫作三角形的內切圓，而經過三角形一個頂點且與其對邊相切的圓，我們叫作“切接圓”。一個三角形的外接圓只有一個，內切圓也只有一個，但是一個三角形的切接圓卻可能不止一個。

［例3］我們把經過三角形的一個頂點并與其對邊所在直線相切的圓叫作三角形的“切接圓”，如圖10所示，有[△ABC]，[⊙O]經過點[A]，并與點[A]的對邊[BC]相切于點[D]，則該[⊙O]就叫作[△ABC]的“切接圓”。根據上述定義解決下列問題。

理解應用：（1）已知Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]。①如圖11所示，若點[D]在邊[BC]上，[CD=254]，以[D]為圓心，[BD]長為半徑作圓，則[⊙D]是[△ABC]的“切接圓”嗎？請說明理由。②在圖12中，若點[D]在[△ABC]的邊上，以[D]為圓心，[CD]長為半徑作圓，當[⊙D]是Rt[△ABC]的“切接圓”時，求[⊙D]的半徑。

思維拓展：（2）如圖13所示，在[△ABC]中，[AB=12]，[AC=BC=10]，把[△ABC]放在平面直角坐標系中，使點[C]落在[y]軸上，邊[AB]落在[x]軸上。試證明：以拋物線[y=116x2+4]圖象上任意一點為圓心都可以作過點[C]的[△ABC]的“切接圓”。

解析：（1）①[⊙D]是[△ABC]的“切接圓”。∵[BC=10]，[CD=254]，∴[BD=154]，即[⊙][D]的半徑為[154]，如圖14所示，過點[D]作[DE⊥AC]于點[E]，則[∠DEC=∠A=90°]，∴[△CDE ]∽[△CBA]，∴[CD]∶[BC=DE]∶[AB]，即[254] ∶[10=DE]∶6，∴[DE=154]，∴[BD=DE]，∴[⊙][D]切[AC]于點[E]，根據“切接圓”的定義，得⊙[D]是[△ABC]的“切接圓”。②在Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]，所以[AC=8]；當點[D]在[AC]上時，∵[AC⊥AB]，∴點[A]為切點，則[AC]是[⊙][D]的直徑，所以[r=12AC=4]；當點[D]在[BC]上時，如圖15所示，過點[D]作[DF⊥AB]于點[F]，∴[∠BDF=∠C]，∴[△BDF ]∽[△BCA]，∴[BD]∶[BC=DF]∶[AC]，根據“切接圓”的性質可設[DF=DC=r]，∴[BD=10-r]，∴（[10-r]）∶[10=r]∶8，解得[r=409]，∴[⊙D]的半徑為[409]。

綜上，[⊙D]的半徑為[409]或4。

（2）證明：根據題意作出圖形，如圖16所示，∵[AC=BC=10]，[AB=12]，[∠COB=90°]，∴[AO=OB=6]，∴[OC=8]，即[C（0，8）]。設點[D]的橫坐標為[m]，∴[Dm，116m2+4]，∴[CD2=m2+116m2+4-82=116m2+42]，即[CD=116m2+4]，過點[D]作[DE⊥x]軸于點[E]，∴[DE=116m2+4]，∴[CD=DE]，∴[⊙][D]經過點[C]且與[AB]切于點[E]，根據“切接圓”的定義可知，以拋物線[y=116x2+4]圖象上任意一點為圓心都可以作過點[C]的[△ABC]的“切接圓”。

四、經過三角形兩邊中點的圓——中[n]點圓

取三角形兩邊的中點，再經過這兩個中點作圓，當這個圓與三角形有[n]個公共點時，我們稱這樣的圓為三角形關于這兩個中點的“中[n]點圓”。一個三角形的“中[n]點圓”可能是“中2點圓”“中3點圓”“中4點圓”“中5點圓”“中6點圓”，這樣的圓的圓心可能在三角形內部、邊上或外部。

［例4］[△ABC]中，[D]、[E]分別是[△ABC]兩邊[AB]、[AC]的中點，若經過[D]、[E]的[⊙M]與[△ABC]有[n]個公共點（相切算一個公共點），則稱[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中[n]點圓”。圖17中的圓是[△ABC]關于[D]、[E]的“中4點圓”。（1）①如圖17所示，則[△ABC]的“中[n]點圓”中[n]可以取的值為? ? ? ? ? ? ? ?（寫所有可能的值）；②在所給圖17中畫出一個“中3點圓”；（2）如圖18所示，在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[A（a，6）]，點[B（0，0）]，[C（4，0）]，[D]、[E]分別是[AB]、[AC]的中點，設點[M（1，y）]，[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中[n]點圓”。當[a=0]，[n=4]時，求圓心[M]的縱坐標的取值范圍。

解析：（1）①經過[D]、[E]兩點的圓與[△ABC]的交點個數可能為2或3或4或5或6。②如圖19所示，圓經過[A]、[D]、[E]三點；如圖20所示，經過[D]、[E]的圓與[BC]相切，均是[△ABC]關于[D]、[E]的“中3點圓”。

（2）當[a=0]，[n=4]時，[A（0，6）]，[B（0，0）]，[C（4，0）]，[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中4點圓”。如圖21所示，[⊙M]經過點[A]時，∵[D]、[E]分別是[AB]、[AC]的中點，∴[DE]∥[BC]，[D（0，3）]，[E（2，3）]，∴[∠ADE=∠ABC=90°]，此時圓心[M]在[AE]上，即[M1，92]，則有[y<92]。

如圖22所示，[⊙M]與[AB]相切于點[D]時，[DE]為直徑，[M（1，3）]，∴[3

當[⊙M]經過點[C]時，如圖25所示，作[MF⊥DE]于[F]，交[x]軸于[G]，連接[MD]、[ME]、[MC]，則有[ME2=EF2+MF2]，[MC2=MG2+CG2]，∵[ME=MC]，∴[EF2+MF2=MG2+CG2]，[EF=1]，[MF=3-y]，[MG=y]，[CG=3]，∴[12+（3-y）2=y2+32]，解得[y=16]，則有[16

綜上所述，有[3

以上討論了圓中“等垂弦”“婆氏四邊形”“切接圓”與“中[n]點圓”四種新定義問題，不難發現，圓中新定義問題綜合考查了圓的有關性質、矩形的性質、直角三角形的性質等，由于圖形定義既是圖形的性質又是圖形的判定方法，因此，在解答這類問題的過程中，要注意新定義的雙重作用，當遇到復雜問題時，要注意分類討論，把大問題化為幾個小問題進行解答。

（責任編輯 黃桂堅）