深度學習理念下探索知識本質的研究

李明娣

［摘? 要］ 隨著新課改的不斷深入，各種新的教學手段層出不窮，一些教師出現了“教法優先，知識滯后”的問題，導致學生對知識本質的掌握不夠透徹。文章以“圓的認識”教學設計為例，具體從“借助實物，初步認圓”“活動探索，自主畫圓”“練習訓練，實際用圓”三個方面踐行深度學習理念，探索知識本質，發展學生的數學思維，提升學生的學習力。

［關鍵詞］ 本質；探索；深度學習

數學是一門抽象的學科，掌握其學習方法具有重要意義。因存在個體差異的原因，不同學生在學習方法的接受程度上有較大區別。為了解決這一問題，筆者進行了大量的實踐與研究，在深度學習理念下探索知識本質，充分挖掘學生的潛能，激活學生的思維，發展學生的數學核心素養。

一、教學分析

“圓的認識”是小學階段抽象程度較高的內容，對思維的要求較高，學生想要建構完整的知識體系，需要立足深度學習才能實現。本節課之前，學生已經掌握了一些常見的平面圖形，如長方形、正方形、三角形、梯形等，對圓的認識有一定的生活基礎。因此，教師要聯系學生已有的認知經驗設計教學活動，讓學生從多邊形出發，逐步認識曲線圖——圓。本節課是發展學生數學思維能力與遷移能力的基礎，能進一步豐富學生對幾何圖形的認識，為學生形成良好的探索經驗奠定基礎。

二、教學簡錄

1. 借助實物，初步認圓

（1）用實物描圓

課堂伊始，教師讓學生展示從家里帶來的圓形實物。（學生帶來的實物有1元硬幣、圓形積木、瓶蓋、茶葉罐等）

師：大家帶來的物品非常豐富，比如茶葉罐，它是一個圓柱體，它的頂或底就是圓形的。這么多圓形物品的呈現，給你們帶來了什么感受？

生1：圓在我們生活中無處不在。

師：非常好！圓本身就是由生活實際中的物品抽象而來的概念，今天我們就一起來認識圓這個圖形。請大家借助自己帶來的物品，在草稿紙上描一個圓。

師生活動：學生借助實物自主進行描圓操作，教師隨機抽取幾個實物與學生所描的圓進行展示，要求學生說說在自己的認知中什么樣的圖形被稱為“圓”。學生給出的答案異常豐富，比如首尾相接彎曲的線、首尾相接勻稱的曲線、首尾相接光滑的曲線等。

師：顯然，圓與咱們之前探索過的其他多邊形有著較大差別，它們的異同點主要體現在哪里？

生2：相同點是多邊形與圓都是由線條圍成的圖形，且具有首尾相接的特點。

生3：不同點是多邊形的邊是線段，圓卻是由曲線構成的。

生4：圓沒有頂點，但多邊形都有頂點。

生5：多邊形和圓都屬于平面圖形。

教師充分肯定了學生的回答，并將學生的答案稍加整理，讓學生再描述一遍，幫助學生梳理知識要點，讓學生對圓與多邊形的異同點有更清晰的認識，為完善知識結構夯實基礎。

設計意圖：此環節為課堂的起始階段，激趣是教學的重中之重，實物展示與描圓活動的開展，成功激發學生對圓的探索興趣。學生自主對比多邊形與圓的異同點，不僅能在異同點的歸納中提煉圓的特征，而且能為認識圓的本質、建構概念奠定基礎。

（2）點集合成圓

借助多媒體展示圖1，要求學生說一說：從這張圖中看到了什么？

有的學生表示自己看到了四個點，有的學生認為這是四邊形的四個頂點。教師未置可否，而是依次展示圖2所示的圖形，每展示一幅圖，就讓學生說說自己看到了什么。隨著圖形的陸續展示，學生的回答為“點→多邊形→圓”。

師：通過以上觀察，大家覺得圓是一個怎樣的圖形？

生5：圓是由多個點圍成的圖形。

生6：我不這么認為，雖然圖2中的最后一幅圖看起來像個圓，但它并不是真正的圓，圓應該是由一條曲線圍成的，光滑不存在頂點。

師：想得很周全，不過當這些點的個數達到一定的數量時，就形成了圓。這是以后探索的問題，本節課暫時將這個問題放一放，現在我們一起回到圖中的點上，這些點在位置上存在什么共同點嗎？

生7：它們的排列勻稱。

生8：我認為在圖形的中間有一個我們看不到的點，這個點與圖中所展示的每個點的距離都一樣。

師：確實存在這樣一個看不見的中心點，問題是怎樣才能找到這個中心點呢？

生9：只要將圖1中對面的兩個點分別連接起來，就能得到一個交點，這個交點就是我們尋找的中心點。

師：很好！圖1可以這么操作，那么圖2中的幾個圖形該怎么探尋它們的中心點呢？

生10：同樣分別連接兩組對應的點就能獲得一個交點，這個交點就是它們的中心點。

師：通過對中心點的探索，大家發現中心點到圖中各個點的距離都是相等的，對于圓來說，這是一個至關重要的發現。

設計意圖：點圖的呈現，意在激活學生對圓的認識，讓學生充分感知點與圓之間的關系。在對中心點的探索中，教師進一步活躍學生的思維，讓學生對“圓心”形成初步認識，為接下來進一步探索圓奠定基礎。

（3）點運動成圓

教師借助多媒體展示鐘面上的指針旋轉一周，讓學生說一說：從中看到了什么？有的學生表示指針圍繞中心旋轉一周，針尖行走形成了一個圓；有的學生認為針尖行走形成的圓是想象出來的，并不是真正的圓。

師：鐘面指針運動一周所形成的圓確實是想象出來的，那么究竟什么是真正的圓呢？

生11：將針尖視為一個點，那么圓就是一個點圍繞中心點旋轉一周后所形成的圖形。

生12：還要確定針尖與旋轉中心的距離是恒定不變的。

師：大家對圓的理解越來越完整了，一點圍繞中心點在距離恒定不變的情況下旋轉一周形成了圓，接下來該怎么研究圓呢？

設計意圖：鐘面是學生熟悉的生活物品，以此為情境帶領學生探索圓，既貼近學生的生活，容易讓學生感知數學與生活的聯系，又能激發學生的學習興趣，為深入理解知識本質奠定基礎。

2. 活動探索，自主畫圓

師：通過以上對不同圓形物品的感知與探索，大家覺得在畫圓的方法上存在什么局限性嗎？

生13：根據實物畫圓，只能畫出與實物同等大小的圓，若想畫大一些或小一些的圓，必須重新找物品來畫。

生14：徒手畫圓，肯定畫不圓。

師：確實存在這些局限性，接下來我們就一起來探索怎樣解決畫圓過程中存在的問題。現在我給各小組發放一張上面畫有圓的紙張，請大家進行小組合作，想方設法畫一個與紙張上大小相等的圓。

生15：想要畫一個與原圓同等大小的圓，首先需要確定原圓的大小。我們研究發現，只要找到它的中心點，測量出中心點與圓邊的距離，就能畫出同等大小的圓了。

師：中心點怎么找呢？

生15：我們將圓剪下來，然后對折兩次，折痕的交點就是該圓的中心點。

師：非常好！這里我們研究的中心點就是“圓心”，一般用大寫字母“O”表示，連接圓上任意一點與圓心形成的線段就是半徑，一般用字母“r”表示。只要確定好圓心O與半徑r，圓的大小也就確定了。除了測量半徑確定圓的大小之外，還有什么辦法可以確定圓的大小呢？

生16：在確定圓心之后，過圓心畫一條直線，讓該直線貫穿整個圓，測量直線與圓相交的兩點間的距離，就能確定圓的大小。

師：如此測得的線段就是圓的直徑，一般以字母“d”表示。只要知道圓的直徑，那么圓的大小同樣就確定了，接下來該怎么操作呢？

生17：可以用圓規作圓。

師：為什么會想到用圓規作圓？

生（齊聲答）：因為你讓我們帶圓規過來了（學生笑）。

師：現在我們用圓規來作圓，先作一個半徑r=4cm的圓，然后作一個直徑d=8cm的圓，說一說你們的操作過程以及用圓規的注意事項。

學生自主操作，作r=4cm的圓，先將圓規腳分開，兩腳之間的距離為4cm，固定圓規的針腳，旋轉另一只腳畫圓，并提出畫圓過程中要時刻保持圓的半徑為4cm，不能移動或變化大小。

師：為什么畫圓時的圓規兩腳間的距離要恒定不變，也不能移動呢？

生18：距離一旦發生變化或移動，畫出來的圓就不圓了。

師：由此可獲得圓的一個什么特征？

生19：圓心到圓上每一點的距離都相等，而圓是由無數個點組成的，因此圓存在無數條半徑，且每一條半徑都相等。

師：很好！現在請大家自主嘗試畫幾個不同半徑的圓，看看這個結論是否正確呢？請大家自主畫直徑d=8cm的圓。

學生自主畫圖，驗證圓半徑恒相等的結論；作直徑為8cm的圓，讓學生明確在同一個圓內，半徑的長度為直徑長度的一半，且每一個圓內存在無數條直徑。

師：通過以上探索，大家已經學會了畫圓，并初步獲得了圓的一些特征，但這些都是在紙上用圓規作的圖，若讓你到室外畫一個直徑為10米的圓，該怎么畫呢？請各小組討論交流，并將結論展示出來。

各小組經過合作交流，一致認為無法用圓規作圖，即使能夠制作出這么大的圓規，操作也非常困難；不過有學生提出，可以先確定某一點為圓心，然后用一根5米長的繩子就能畫出直徑為10米的圓。

師：為什么要選擇5米長的繩子，而不選擇10米長的繩子？具體該怎么操作？

生20：直徑為10米，那么圓的半徑就是5米。操作時，可以讓一個人固定好繩子的一端作為圓心，另一個人拉繩子的另一頭，繞一圈畫圓。

師：操作時有什么需要特別注意的嗎？

生20：一定要拉緊繩子畫圓，如果不拉緊，畫出來的圓就會出現偏差。

師：非常好！現在我們能夠順利畫直徑為10米的圓了。若我們想畫一個直徑為100米的圓，又該怎么操作呢？

學生一致表示雖然用“拉繩畫圓”的辦法行不通，但是可以借助繩子來解決問題。比如先確定好圓心，然后拉緊繩子找十幾個與圓心距離為50米的點，用光滑的曲線連接這些點就能獲得近似的圓。

設計意圖：逐層遞進的問題情境成功驅動了學生開展自主探究、實踐與思考，學生在合作交流中不僅明確了圓的直徑與半徑的關系，還通過畫不同大小圓方法的探索，確定了同一個圓內存在無數條半徑與直徑，且每一條半徑或直徑的長度均相等。畫直徑為10米與100米的圓方法的探索，進一步鞏固了學生對圓的認識，讓學生感知畫圓方法的實際應用價值。此環節既鍛煉了學生的動手動腦能力，還有效揭示了圓的本質，拔高了學生的思維。

3. 練習訓練，實際應用

師：請大家取出準備好的圓形卡紙，若該圓為車輪，那么車軸的位置在哪兒？

生（齊聲答）：圓心。

學生所闡述的理由是車軸處于圓心位置時，車子才能平穩滾動。若將車輪與地面接觸的位置視為一個點，那么該點與圓心的距離要恒定不變。

師：通過對圓心的探索，大家有沒有發現圓還具備一個重要特征？

生21：圓是軸對稱圖形，直徑為對稱軸。

師：非常好！更準確地說，圓的對稱軸為直徑所在的直線。現在大家來看，我手中有一枚1元硬幣，如果我想要知道這枚硬幣的圓心，該怎么辦呢？這個問題留給大家課后探索，下節課討論。

設計意圖：當學生初步掌握圓的特征后，教師設計出“找車軸”的問題，意在進一步發展學生的應用意識，讓學生感知數學與生活的聯系，并在對問題的探索中獲得圓的另一個重要性質——軸對稱。硬幣圓心的探索給學生留下了懸念，進一步激發了學生的探索熱情，讓學生感知數學的魅力，使學生的思維進一步獲得發展，形成深度學習。

總之，教師想要真正突破因“教法優先，知識滯后”導致學生對知識本質掌握不透徹的問題，最好的方法就是踐行深度學習理念，基于以學生為主體的視角實施課堂教學，讓學生在自主探索、合作交流與積極思考中不斷發展思維能力，形成關鍵性的數學品質與人格。