直面學情轉化建模

王孫君 饒麗

［摘? 要］ 數學教學要注重整體性和一致性，要從單元整體的角度去思考。文章以“多邊形的面積”單元為例，在解讀教材和了解學情的基礎上，調整學生學習內容，重構單元目標，結合種子課例“平行四邊形”的學習，引導學生在經歷操作探究、實踐驗證等過程中充分體悟轉化思想，探索面積計算的方法，以促進學生思維的發展。

［關鍵詞］ 直面學情；多邊形的面積；轉化建模

“數學教學要注重整體性和一致性，應從單元整體的角度去思考。”根據2022年版課標要求，筆者在解讀教材編排特點和分析學生學情的基礎上，嘗試著從整體、系統的視角重構單元目標、調整教學內容、以板塊推進整體教學，較好地解決了以往注重單課教學所產生的碎片化、淺表性等問題，促進學生深度思考，感受數學思想，提升數學素養［１］。現筆者以“多邊形的面積”單元為例，簡述對單元整體教學的思考與實踐。

一、解讀教材，引發思考

“多邊形的面積”單元一共安排了五部分內容：平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積和不規則圖形面積。前面三部分都是探究基本圖形的面積，都要運用轉化的思想，把未知轉化成已知，在此基礎上再學習組合圖形和不規則圖形的面積。三種基本圖形面積公式的推導過程可以用圖1來表示。

從圖1中可以發現，這些基本圖形的面積都以長方形面積為基礎，彼此關聯又可以相互轉化。在教學中，教師應如何助推學生主動去探究、去轉化呢？

思考1：在學習長方形、正方形面積的時候，學生已會用面積單位度量的方法來求面積，平行四邊形、三角形、梯形的面積是否需要用這種方法？這種方法有什么局限？

思考2：這三種基本圖形都是規則的平面圖形，學生能直接用直尺度量它們的邊長，那么邊長與面積之間是不是有關聯？學生能否馬上找到這種聯系？

思考3：學生是否能直接想到運用轉化的方法？轉化前后圖形間的關聯能否找到？

二、分析學情，明確目標

1. 前測分析

帶著這些思考，筆者在學校的農村、城鎮兩個校區分別進行了前測。

前測題：想法求出這3個圖形的面積（如圖2），請表示出能讓人一眼就明白的方法。

分析前測結果（如表1），筆者發現：農村、城鎮分別有10.5%、33.9%的學生知道這3個圖形的面積計算方法，但說不清這樣計算的原理，說明學生具有一定的面積計算的知識基礎和經驗，他們知道公式但不知道為什么；分別有61.9%、38.3%的學生用鄰邊相乘的方法來計算面積，說明這是受到了長方形面積計算的經驗干擾。

2. 目標設定

基于對學生學情和教材文本的剖析，本單元教學目標定位為：

（1）引導學生獨立思考、探究實踐、合作交流，經歷多邊形的面積計算方法推導的全過程，進一步發展學生的空間觀念，提升學生的推理能力。

（2）讓學生體驗多邊形的面積都可以用“轉化”思想來探究，并能用數學語言表達“操作→轉化→推導”的過程，積累數學經驗，提升高階思維。

（3）結合實際問題的解決，知道面積計算有多種方法和路徑，提高學生靈活運用多種策略解決問題的能力。

教學重難點：讓學生在充分經歷操作、探究、驗證的過程中，體悟轉化思想的一致性。

3. 內容整合

在本單元整體目標的統領下，筆者對學習內容進行了適度微調，整合為三個方面（如表2）：引導建構6課時、整理運用2課時、綜合實踐1課時，合計9課時。

這樣的結構化模塊，分點落實，適當增補，增進了學生對轉化思想的體驗和理解。

三、探究驗證，轉化建模

為實現上述教學目標，教師要提供足夠的時空，引導學生在經歷操作探究、實踐驗證等過程中充分體悟轉化思想，建構面積計算方法，從而促進學生的思維向縱深發展。下面以種子課“平行四邊形的面積”為例來開展分析。

1. 剖學情，展現真實起點

由前測可知，學生用鄰邊相乘的方法求平行四邊面積的占比較高，表明受以前學習經驗的影響，學生憑直覺認為計算平行四邊形面積也能像計算長方形面積那樣操作［２］。這就要求教師應把學生內隱的想法顯現出來。因此在課始，筆者安排學生操作，出示圖形，設問：“你們能求出這個平行四邊形的面積嗎？”讓學生根據自己的思考，量取所需要的數據，再列式計算。只有一個平行四邊形，沒有相關數據，因此教師要盡可能在開放的場景中促使學生去真實思考。

探究本單元其他圖形的面積時，教師可以直接出示圖形，讓學生去思考該怎么計算面積。這樣的教學開門見山，直面問題，學生的思考是原生態的，展現了他們真實的學習起點。

2. 立辨析，促進有效探究

教師要通過展示學生生成的兩種主要方法，引導學生進行多維度辨析。

一比轉化方法：一種是用拉的方法，一種是用剪拼的方法，平行四邊形都轉化成了長方形，但是結果不一樣。在此基礎上教師要引導學生進行深度思考，讓學生觀察發現：拉動的方法既改變了圖形的形狀，又讓面積隨之變化，因此用鄰邊相乘的方法計算面積不正確。用剪拼的方法轉化成長方形，雖然改變了圖形的形狀，但是它的面積始終不變，從而讓學生初步感知平行四邊形面積可以用底乘高來計算。

二辨剪拼方法：除沿著這條高剪拼，還有另外的剪拼方法嗎？教師引導學生動手操作、交流探索，經歷“想一想、畫一畫、剪一剪，比一比”的實踐環節，引導學生發現只要沿著平行四邊形的高剪開，就可以把它變成一個長方形。

3. 深推理，感悟數學思想

深入推理：是不是所有的平行四邊形都可以轉化成長方形？教師要放手讓學生進行小組合作，讓學生在操作比較、討論交流中驗證推理的正確性，再次感悟轉化思想的魅力。

本單元中三角形、梯形和不規則圖形的面積教師都可以放手讓學生去探究、去展示、去辨析，雖然方法、路徑不同，但是只要學生抓住了“轉化”這一變化的本質，就會自覺地運用這種思想方法去同化新知識，借助“轉化→聯系”探究出面積計算方法（如表3）。

四、拓展延伸，提升素養

為提高學生靈活運用所學知識解決問題的能力，在鞏固拓展環節，教師要設計不同層次的問題，來拓展學生的視野，促進其深度思考。

1. 固方法，夯實基礎

教師讓學生在圖3中選擇合適的底和高來計算平行四邊形的面積，使學生初步感知，在算面積的時候底和高要相對應。

教師讓學生在圖4中選擇相對應的底和高（3×8）算出面積后，再次追問學生：如果以6dm為底，那么這條底上的高是多少？以此推動學生進一步理解、內化平行四邊形面積計算方法。

2. 找原型，靈活運用

（1）生活中圓木、鋼管等經常像圖5這樣堆放，通常用“（頂層根數+底層根數）×層數÷2”的方法求總根數，這是為什么？

（2）如圖6，靠墻邊圍成一個菜園，圍菜園的籬笆長51米，求這個菜園的面積。

（3）如圖7，課本中有類似的綜合題。

教師要多給學生提供一些生活原型，架起生活問題和數學知識的橋梁，讓學生靈活運用所學去解決實際問題，這既開闊了學生的視野，又提升了學生分析和解決問題的能力。

基于學情，筆者從單元整體的視角著眼，放手讓學生自主探究“多邊形的面積”的計算方法；引導學生對不同方法辨析驗證，讓學生體驗轉化思想的一致性；在此基礎上借助多層次的拓展練習，促進學生的思維一步步向高階發展。這一學習歷程為學生后續學習多邊形乃至立體圖形的表面積或體積提供了很好的范式，也更有利于學生數學思維和數學素養的提升。

綜上所述，“多邊形的面積”單元整體教學讓轉化思想、空間觀念深深地植根于學生心里。

參考文獻：

［１］ 楊紅波，江保成.把握單元教學特點 促進課堂教學高效——“多邊形的面積”單元整體教學的實踐與研究［Ｊ］． 湖北教育（教育教學），２０１３（１０）：１７－１８.

［２］ 劉莉. 素養導向下“大概念單元教學”的研究與實踐——以人教版數學五年級上冊“多邊形的面積”為例［Ｊ］． 小學教學研究，２０２２（２２）：１６－１９，２５.