一類具有奇異項和對數源的四階薄膜方程解的爆破和衰退估計

摘要： 考慮一類具有奇異項和對數源的四階薄膜方程. 首先利用截斷函數和Galerkin逼近相結合給出該方程弱解的局部存在性; 然后借助位勢井方法和Rellich不等式， 證明一定條件下該

方程弱解的整體存在性和衰減估計; 最后， 利用凸方法證明該方程的解在有限時刻爆破， 并給出爆破時間的上界和下界.

關鍵詞： 奇異項; 對數非線性項; 四階; 整體存在; 爆破

中圖分類號： O175.8" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0556-09

Blow-up and Decay Estimate of Solution for a Class of Fourth-OrderThin-Film Equation with Singular Term and Logarithmic Source

WU Xiulan， ZHAO Yaxin， YANG Xiaoxin

（School of Mathematics and Statistics， Changchun University of Science and Technology， Changchun 130022， China）

Abstract： We considered a class of fourth-order thin-film equation with singular term and logarithmic source. Firstly， we obtained the

local existence of weak solutions to the equation by" combining truncation function and" Galerkin approximation. Secondly， by virtue of the potential well method and Rellich ineq

uality， we proved the global existence and decay estimate of weak solution to the equation under certain conditions. Finally， we proved the blow-up result of the

solution to the equation at a finite time by using the convex method， and gave the lower and upper bounds for blow-up time.

Keywords： singular term; logarithmic nonlinearity; fourth-order; global existence; blow-up

收稿日期： 2023-09-06.

第一作者簡介： 吳秀蘭（1979—）， 女， 漢族， 博士， 副教授， 從事偏微分方程的研究， E-mail： chjlsywxl@126.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12171054）和吉林省自然科學基金（批準號： YDZJ202201ZYTS584）.

0" 引" 言

考慮一類具有奇異項和對數非線性項的如下四階拋物方程初邊值問題：

utx4+Δ2u=

up-2ulnu，x∈Ω，" tgt;0;

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0;

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，（1）

其中Ω

瘙 綆 N（Ngt;4）是具光滑邊界Ω的有界區域， u0（x）∈H20（Ω）， x=（x1，x2，…，xN）∈

瘙 綆 N， x=x21+x22+…+x2N， 此外， 定義p范圍如下：

2lt;plt;p=8N+2，N≥8，

4N-4+2，4lt;Nlt;8.

四階薄膜方程出現在外延薄膜的生長理論中， 對于問題（1）， u（x，t）表示外延生長中薄膜的高度， Δ2u表示毛細驅動的表面擴散. 近年來， 對四階拋物

方程初邊值問題的研究已得到廣泛關注［1-5］， 例如， King等［1］考慮如下四階拋物型方程初邊值問題：

ut+Δ2u-·（f（u））=g（x，t，u），" （x，t）∈Ω×（0，∞），

利用半離散逼近技術， 在適當的初邊值條件下建立了該問題弱解的存在性、 唯一性及正則性. 由于對數非線性項［6-10］不滿足單調性且符號可能改變， 因此與具有指數源項［11-12］的問題

相比有較大的難度. 例如， Li等［6］考慮如下具有非線性對數項的四階拋物型方程初邊值問題：

ut+Δ2u=up-2uln u，" （x，t）∈Ω×（0，∞），

利用位勢井法得到了該問題弱解的局部存在唯一性以及弱解在有限時間內的衰減和爆破的結果. Do等［13］考慮具有奇異項和特殊介質的如下形式的初邊值問題：

utx4+Δ2u=k（t）up-1u，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，（2）

利用截斷函數和Galerkin逼近相結合得到了問題（2）弱解的局部存在性， 借助位勢井方法和Rellich不等式， 證明了問題（2）在一定條件下弱解的整體存在性和衰退估計， 并利用凸方法

證明了問題（2）的解在有限時刻爆破， 其中p∈（1，∞）， Ω

瘙 綆 N（N≥1）， Ω是光滑的， 且初值u0（x）∈H20（Ω）， k（t）滿足適當的結

構性條件. 文獻［14］給出了問題（2）解的爆破時間的上界和下界.

受上述研究啟發， 如果將問題（2）中的非線性項k（t）up-1u替換成其他形式， 如對數非線性項up-2ulnu，

對問題（1）這種具有奇異項的方程解的整體存在和爆破性質的研究目前尚未見文獻報道. 本文首先證明問題（1）弱解的局部存在性; 然后給出一定條件下問題（1）弱

解的整體存在性和衰減估計; 最后證明解的爆破性質， 并給出爆破時間的上界和下界.

1" 預備知識

令1≤p≤∞， 對任意的u∈Lp（Ω）， ‖u‖p表示u的Lp（Ω）范數， 對H20（Ω）空間賦以范數‖u‖H20（Ω）=‖Δu‖2， 用

〈·，·〉表示對偶積. 本文中C在不同之處表示不同的正常數.

本文采用位勢井方法， 下面定義與之相關的泛函和一些集合， 并研究其基本性質. 對任意的u∈H20（Ω）， 令

J（u）=12‖Δu‖22+1p2‖u‖pp-1p∫Ωuplnudx，（3）I（u）=‖Δu‖22-∫Ωuplnudx，（4）

則

J（u）=1pI（u）+12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp.（5）

定義Nehari流形和井深分別為

N={u∈H20（Ω）＼{0}， I（u）=0}，d=infu∈N J（u）.

定義集合

W1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d}，" W2={u∈H20（Ω）J（u）=d}，W=W1∪W2，

W+1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d， I（u）gt;0}，

W+2={u∈H20（Ω）J（u）=d， I（u）gt;0}，" W+=W+1∪W+2，

W-1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d， I（u）lt;0}，W-2={u∈H20（Ω）J（u）=d， I（u）lt;0}，" W-=W-1∪W-2.

引理1［6］" 設u∈H20（Ω）， 則：

1） limλ→0+ J（λu）=0， limλ→+∞ J（λu）=-∞;

2） 存在唯一的λ*=λ*（u）gt;0， 使得ddλJ（λu）λ=λ*=0;

3） J（λu）在λ∈（0，λ*）上遞增， 在λ∈（λ*，∞）上遞減， 在λ=λ*處取得最大值;

4） 在λ∈（0，λ*）上有I（λu）gt;0， 在λ∈（λ*，∞）上有I（λu）lt;0， 并且I（λ*u）=0.

由于問題（1）存在奇異項， 因此引入如下截斷函數：

ρn（x）=min{x-4，n}.

引理2（Rellich不等式）［13-14］" 設Ngt;4， u∈H20（Ω）， 則ux

2∈L2（Ω）且存在一個常數RNgt;0， 使得

∫Ωu2x4dx≤16N2（N-4）2∫ΩΔu2dx∶=RN∫ΩΔu2dx.

注1" 設Ω

瘙 綆 N是一個有界域， 則以下不等式成立：

∫Ωu2dx=∫Ω（ρ-1nρn）u2dx≤C（Ω）‖ρ1/2nu‖22，

其中C（Ω）是與Ω相關的常數.

為處理對數非線性項up-2ulnu， 引入以下引理：

引理3［9］" 設μ是任意給定正數， 則如下兩個不等式成立：

spln s≤（eμ）-1sp+μ，" s≥1，spln s≤（ep）-1，" 0lt;slt;1.

下面給出一個特殊形式的Gagliardo-Nirenberg內插不等式和一個基本的積分不等式.

引理4［13］" 對任意的u∈H20（Ω）， 下列不等式成立：

‖u‖p+μp+μ≤CG‖Δu‖（p+μ）θ2‖u‖（1-θ）（p+μ）2，

其中θ=N（p+μ-2）4（p+μ）， 0lt;μlt;8N+2-p， CG是與Ω，N，p有關的正常數.

引理5［9］" 設f：

瘙 綆 +→

瘙 綆 +是一個非增函數， σ是一個非負常數， 滿足不等式

∫∞tf1+σ（s）ds≤1ωfσ（0）f（t），" t≥0，

則：

1） 當σ=0時， 對任意的t≥0， 有f（t）≤f（0）e1-ωt.

2） 當σgt;0時， 對任意的t≥0， 有f（t）≤f（0）1+σ1+ωσt1/σ.

最后引入在證明爆破中常用的凸引理.

引理6［15］" 設θ（t）是二次連續可微的函數， 且如下不等式成立：

θ″（t）θ（t）-（1+β）（θ′（t））2≥0，" tgt;0，

其中βgt;0且為常數. 若θ（0）gt;0， θ′（0）gt;0， 則T1： 0lt;T1lt;θ（0）βθ′（0）， 使得θ（t）→∞， t→T1.

下面給出問題（1）弱解以及最大存在時間的定義.

定義1" 若Tgt;0， 對于u=u（x，t）∈L∞（0，T;H20（Ω））， 如果utx

2∈L2（0，T;L2（Ω））， u（x，0）=u0， 有

〈utx4，w〉+〈Δu，Δw〉=〈u

p-2ulnu，w〉，" w∈H20（Ω），

則稱u是問題（1）在Ω×［0，T）上的弱解.

定義2" 若u（x，t）是問題（1）的一個弱解， 且對所有的t∈［0，Tmax）， 有

limt→Tmax u（x，t）

x222=+∞，

則稱u（x，t）在一個有限的時間Tmax爆破， 其中Tmax是u（x，t）的最大存在時間.

2" 弱解的局部存在性

引理7［6］" 若Ngt;4， 2lt;plt;p， 初值un0（x）∈C∞0（Ω）（n∈

瘙 綃 +）， 則下列方程

ρn（x）（un）t+Δ2un=unp-2unlnun，（x，t）∈Ω×（0，T），

un（x，t）=Δun（x，t）=0，（x，t）∈Ω×（0，T），

un（x，0）=un0，x∈Ω（6）

存在一個弱解un∈L∞（0，T;H20（Ω））， unt∈L2（0，T;L2（Ω））， 且滿足下列等式：

〈ρn（x）unt，φ〉+〈Δun，Δφ〉=〈unp-2unlnun，φ〉，" φ∈H20（Ω）.（7）

注2" 由C∞0（Ω）在H20（Ω）中稠知， 在H20（Ω）中， un0（x）→u0（x）.

定理1" 設Ngt;4， 2lt;plt;p， u0（x）∈H20（Ω）， 則存在常數Tgt;0， 使得問

題（1）在Ω×［0，T）中有唯一一個弱解u（x，t）∈L∞（0，T;H20（Ω））， 且utx2∈L2（

0，T;L2（Ω））. 這里u（x，t）滿足如下能量等式：

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+J（u（t））=J（u0），" 0≤t≤T.（8）

證明： 證明分兩個步驟.

步驟1） 弱解的局部存在性和能量等式.

首先， 在式（7）中取φ=un， 并在0到t上積分， 有

12‖ρn（x）1/2un（t）‖22+" ∫t0‖Δun（τ）‖22dτ="" 12‖ρn（x）

1/2un（0）‖22+∫t0∫Ωun（τ）plnun（τ）dxdτ.（9）

設

Sn（t）=12‖ρn（x）1/2un‖22+∫t0‖Δun‖22dτ，（10）

與式（9）結合， 有下列等式成立：

Sn（t）=Sn（0）+∫t0∫Ωunplnundxdτ.（11）

下面對式（11）右端進行估計. 設Ω1={x∈Ω： un≥1}， Ω2={x∈Ω： un

lt;1}， 利用引理3、 引理4以及Young不等式， 有

∫Ωunplnundx=" ∫Ω1unplnundx+∫Ω2unplnundx≤

（eμ）-1‖un‖p+μp+μ≤（eμ）-1CG‖Δun‖θ（p+μ）2‖un‖（1-θ）（p+μ）2

≤" （eμ）-1CGε‖Δun‖22+（eμ）-1CGC（ε）‖un‖2α2，（12）

其中ε∈（0，1）， 2lt;plt;8N+2， 0lt;μlt;8N+2-p且α=4p+4μ-Np-Nμ+2N8-N（p+μ-2）gt;1. 結合注1、 式（10）～（12）可得

Sn（t）≤C1+C2∫t0（Sn（τ））αdτ，（13）

其中C1=Sn（0）1-（eμ）-1CGε， C2=（eμ）-1CGC（ε）2α1-（eμ）-1CGε. 直接計算

式（13）可知， 存在常數Tgt;0， 使得對所有的t∈［0，T］， 都有

Sn（t）≤CT，（14）

其中CT是與T有關的常數. 在式（6）第一個等式兩端同時乘unt并在Ω×（0，t）上積分， 有

∫t0‖ρn（x）1/2unτ（t）‖22dτ+J（un（t））=J（un0），" 0≤t≤T.（15）

由J（u）的連續性及注2可得

J（un0）≤C.（16）

結合式（3），（12），（14）～（16）可得

C≥" J（un（t））=12‖Δun‖22+1p2‖un‖pp-

1p∫Ωunplnundx≥" 12‖Δun‖22+1p2

‖un‖pp-CGεpeμ‖Δun‖22-CGC（ε）peμ‖un‖2α2

≥" 12-CGεpeμ‖Δun‖22+1p2‖un‖pp

-CGC（ε）C（Ω）2αpeμ（CT）α，

即‖Δun‖22+‖un‖pp≤C.（17）

由式（15）～（17）可得如下估計：

‖un‖L∞（0，T;H20（Ω））≤C，（18）‖ρn（x）1/2unt‖L2（0，T;L2（Ω））≤C，（19）

類似注1并由估計式（18）， 可得

‖unt‖L2（0，T;L2（Ω））≤C.（20）

結合式（18），（20）及Aubin-Lions-Simon定理［16］可知， un在C（0，T;L2

（Ω））中強收斂. 所以當n→∞時， 有un（x，0）→u（x，0）， a.e.于Ω. 由注2及極限的唯一性知u（x，0）=u0.

另一方面， 經直接計算并結合引理3， 得

∫Ωunp-2unlnun2dx=" ∫Ω1

unp-2unlnun2dx+∫Ω2unp-2unlnun2dx≤

（eμ）-2‖un‖2（p-1+μ）2（p-1+μ）+［e（p-1）］-2Ω≤

（eμ）-2B2‖Δun‖2（p-1+μ）2+［e（p-1）］-2Ωlt;C，（21）

其中B2是H20（Ω）到L2（p-1+μ）（Ω）的最佳嵌入常數， 0lt;μ≤4N-4+2-p， plt;4N-4+2.

結合上述先驗估計式（18）～（21）可知， 存在函數u和{un}∞n=1的子序列（不妨仍記為其本身）， 使得當n→∞時有： un→u在L∞（0，T;H20（Ω））中弱*收斂，

ρn（x）1/2unt→utx2在L2（0，T;L2（Ω））中弱收斂;

unp-2unlnun→up-2ulnu在L∞（0，T;L2（Ω））中弱*收斂. 借助上述收斂性， 在式（7）中令n→∞， 有

〈x-4ut，φ〉+〈Δu，Δφ〉=〈up-2ulnu，φ〉，" φ∈H20（Ω），

則易知u是問題（1）在Ω×［0，T）上的一個弱解. 在問題（1）第一個等式兩端同時乘ut并在Ω×（0，t）上積分， 可得能量等式（8）.

步驟2） 唯一性.

設問題（1）有兩個不同的解u1，u2， 其滿足相同的初值條件： u1（x，0）=u2（x，0）=u0∈H20（Ω）. 設v=u1-u2， 則v（0）=0， 且

〈vtx4，w〉+〈Δv，Δw〉=〈u1p-2u1lnu1-u2p-2u2lnu2，w〉，" w∈H20（Ω）.（22）

在式（22）中取w=v， 并在［0，t］上積分， 有

12‖x-2v‖22+∫t0‖Δv‖22dτ=∫t0∫Ω

u1p-2u1lnu1-u2p-2u2lnu2vv2dxdτ，

結合注1， 有

‖v‖22≤2M∫t0∫Ωf（u1）-f（u2）vv2dxdτ，

其中M是一常數， f（s）=sp-2slns在

瘙 綆 +→

瘙 綆 +上是局部Lipschitz連續的， 結合Gronwall不等式得到弱解的唯一性.

3" 解的整體存在性和衰減估計

定理2" 若u0∈W+， 則問題（1）當t≥0時有一個整體弱解u（x，t）∈W+， 且弱解的衰減估計為

‖Δu（t）‖22≤‖Δu0‖22e1-（2C3/RN）t，" t≥0，（23）

其中C3=1-dJ（u0）2/p-1.

證明： 已知W+=W+1∪W+2， 下面分兩種情形證明.

情形1） u0∈W+1.

結合J（u0）lt;d和能量等式（8）， 有

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+J（u（t））=J（u0）lt;d，" 0≤t≤Tmax，（24）

其中Tmax是最大存在時間. 下面證明對任意的t∈［0，Tmax）， 有u（x，t）∈W+1. 若不然， 由u（x，t）的連續性可知， 存在t0∈（0，Tmax

）， 使得u（x，t0）∈W+1， 即

J（u（t0））=d，（25）

或I（u（t0））=0.（26）

顯然， 式（25）與式（24）矛盾， 如果式（26）成立， 則根據井深d的定義可得J（u（t0））≥d， 與式（24）矛盾. 因此， 對所有的t∈［0，Tmax）有u（x，t）∈W+1成立.

結合式（5），（24）和W+1的定義可知

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+12-1p‖Δ

u‖22+1p2‖u‖pplt;d.（27）

注意到式（27）的右端常數d不依賴于T， 故對任意的Tgt;0， 可取Tmax=T=+∞， 再由上述不等式可知， 問題（1）在Ω×（0，t）上有一個整體弱解u（x，t）.

下面證明問題（1）的衰退估計. 由式（5）和u（t）∈W+1， 可得

12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp≤J（u）≤J（u0）lt;d.（28）

取λ0=max{（λ*）2，（λ*）p}， 直接計算可得

（λ*）p12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp≥J（λ*u（t））≥d.

結合式（28）可得

λ0≥dJ（u0）gt;1.

因此， 可推斷λ*gt;1， 即

λ*≥dJ（u0）1/pgt;1.（29）

另一方面， 根據I（u）的定義， 可得

0=" I（λ*u）=（λ*）2‖Δu‖22-（λ*）p∫Ωuplnudx-（λ*）pln（λ*）‖u‖pp=

（λ*）pI（u）-［（λ*）p-（λ*）2］‖Δu‖22-（λ*）pln（λ*）‖u‖pp.（30）

結合（29），（30）可得

I（u）=‖u‖ppln（λ*）+［1-（λ*）2-p］‖Δu‖22≥C3‖Δu‖22，（31）

其中C3=1-dJ（u0）2/p-1.

由式（4）和引理2， 有

∫TtI（u）ds=" ∫Tt‖Δu‖22-∫Ωuplnudxd

s=-12∫Ttddt‖x-2u‖22ds=

12‖x-2u（t）‖22-12‖x-2u（T）

‖22≤" 12‖x-2u（t）‖22≤RN2‖Δu（t）‖22.（32）

結合式（31），（32）， 有

∫Tt‖Δu（s）‖22ds≤RN2C3‖Δu（t）‖22，" t∈［0，T］.（33）

令不等式（33）中的T→∞， 再利用引理5， 可得衰減估計式（23）.

情形2） u0∈W+2.

為證明此時問題（1）弱解的整體存在性， 采用逼近的方法. 為此， 令{θm}∞m=1（0，1）， 使得limm→∞ θm=1， 并考慮以下初邊值問題：

utx4+Δ2u=

up-2ulnu，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，0）=u0m=θmu0（x），x∈Ω.

注意I（λ（u0））=I（u0）gt;0， 則λ=1. 由引理1中4）知， 存在唯一的λ*gt;λ=1 ， 使得I（λ*u0）=0. 于是， 由θmlt;1lt;λ*可推斷出I（u0m）=

I（θmu0）gt;0， J（u0m）=J（θmu0）lt;d. 表明u0m∈W+1. 余下的證明與情形1）的證明類似， 故略. 證畢.

4" 解的爆破性質

下面證明問題（1）的弱解在有限時刻爆破， 并給出爆破時間的上界和下界. 設

L（t）=12‖x-2u（t）‖22.

定理3" 若u0∈W-1， 2lt;plt;p， u（x，t）是問題（1）的弱解， 則u（x，t）在有限時間爆破， 且爆破時間滿足如下估計：

Tmax≤βb2（p-2）βb-‖x-2u（0）‖22，（34）

其中β∈0，p（d-J（u0））p-1， bgt;max0，‖x-2u（0）‖22（p-2）β.

證明： 設u0∈W-1， u（x，t）是問題（1）的弱解. 用與定理2中相同的方法可證明u0∈W-1時有u（x，t）∈W-1.

于是將I（u）lt;0與引理1中4）相結合， 可知存在λ*lt;1， 使得I（λ*u）=0， 從而

d≤" J（λ*u）=1pI（λ*u）+（λ*）212-1p‖Δu‖22+（

λ*）pp2‖u‖pplt;" 12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp.（35）

假設u（x，t）是問題（1）的全局弱解， 即Tmax=+∞. 定義正函數

F（t）=∫t0L（τ）dτ+（T-t）L（0）+β2（t+b）2，（36）

求導可得

F′（t）=" L（t）-L（0）+β（t+b）=∫t0L′（τ）dτ+β（t+b）=" ∫t0∫Ωx-4u·uτdxdτ+β（t+b），（37）

F″（t）=L′（t）+β=-I（u）+β=-pJ（u）+p2-1‖Δu‖22+1p‖u‖pp+β.（38）

由式（36）～（38）可得

F（t）F″（t）-" （1+θ）［F′（t）］2=F（t）F″（t）+（1+θ）×" H（t）-［2F（t）-2（T-t）L（0

）］∫t0‖x-2uτ‖22dτ+β，（39）

其中

H（t）=" ∫t0‖x-2u‖22dτ+β（t+b）2

·∫t0‖x-2uτ‖22dτ+β-" ∫t0∫Ω

x-4uuτdxdτ+β（t+b）2.

借助于Cauchy-Schwarz不等式、 Young不等式和Hlder不等式可得H（t）≥0. 因此， 取θ=p-22gt;0， 再結合問題（1）、 式（35），（39）和H（t）的非負性， 有

F（t）F″（t）-p2［F′（t）］2≥F（t）［p（d-J（u0））+（1-p）β］，

從而對任意的t∈（0，Tmax）和β∈0，p（d-J（u0））p-1， 有

F（t）F″（t）-（1-θ）［F′（t）］2≥0.

再結合引理6， 有F（0）gt;0， F′（0）=βbgt;0， 則T1： 0lt;T1lt;2F（0）（p-2）F′（0）， 使得F（t）→∞， t→T1， 于是有式（34）成立.

定理4" 若u0∈W-， 2lt;plt;p， u（x，t）是問題（1）的弱解， 在T*處時刻爆破， 則

T*≥L1-α（0）CL（α-1），（40）

其中α=4p+4μ-Np-Nμ+2N8-N（p+μ-2）， CL=［2C（Ω）］α（eμ）-1CGC（ε）.

證明： 由I（u）和L（t）的定義， 有

L′（t）=∫Ωx-4u·utdx=

-‖Δu‖22+∫Ωuplnudx=-I（u）gt;0.（41）

結合式（12）和式（41）可得

L′（t）=-‖Δu‖22+∫Ωuplnudx≤（（eμ）-1CGε-1）‖Δu‖22+（eμ）

-1CGC（ε）‖u‖2α2，（42）

由于（eμ）-1CGε-1lt;0， 因此式（42）可化為

L′（t）≤（eμ）-1CGC（ε）‖u‖2α2≤CLLα（t），（43）

其中CL=［2C（Ω）］α（eμ）-1CGC（ε）. 對不等式（43）兩端在0到t上積分， 可得

11-α［L1-α（t）-L1-α（0）］≤CLt，（44）

令式（44）中t→T*， 則有式（40）.

參考文獻

［1］" KING B B， STEIN O， WUNKLER M. A Fourth-Order Parabolic Equation Modeling Epit

axial Thin-Film Growth ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2003， 286（2）： 459-490.

［2］" 廖祥永， 高艷超. 一類具有超線性源項四階雙曲方程解的存在性及爆破時間估計 ［J］.

吉林大學學報（理學版）， 2021， 59（3）： 551-554. （LIAO X Y， GAO Y C. Existence and B

low-up Time Estimates of Solution for a Class of Fourth Order Hyperbolic Equations with Supe

rlinear Source Terms ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2021， 59（3）： 551-554.）

［3］" ZHOU J. Blow-up for a Thin-Film Equation with Posi

tive Initial Energy ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2017， 446（1）： 1133-1138.

［4］" CAO Y， LIU C H. Global Existence and Non-extinction

of Solutions to a Fourth-Order Parabolic Equation ［J］. Applied Mathematics Letters， 2016， 61： 20-25.

［5］" LI Q W， GAO W J， HAN Y Z. Global Existence Blow up and Extinction for a Class of

Thin-Film Equation ［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods amp; Applications， 2016， 147： 96-109.

［6］" LI P P， LIU C C. A Class of Fourth-Order Parabolic Equation with Logarithmic No

nlinearity ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2018-11-27）［2023＼|04＼|30］. https：//doi.org/10.1186/s13660-018-1920-7.

［7］" 韓玉柱， 高文杰， 石小葳. 一類具對數非線性項的薄膜方程 ［J］. 中國科學： 數學， 2019， 49（12）： 1

765-1778. （HAN Y Z， GAO W J， SHI X W. A Class of Thin-Film Equations with Logar

ithmic Nonlinearity ［J］. Scientia Sinica： Mathematica， 2019， 49（12）： 1765-1778.）

［8］" 武宇宇， 高云柱. 具對數非線性項的Kirchhoff型黏彈性波動方程解的爆破性質 ［J］. 吉林大

學學報（理學版）， 2023， 61（6）： 1279-1286. （WU Y Y， GAO Y Z. Property of Blow up of Solutions for Kirchhoff Type

Viscoelastic Wave Equations with Logarithmic Nonlinear Term ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2023， 61（6）： 1279-1286.）

［9］" LE C N， LE X T. Global Solution and Blow-up for a Class of p-Laplacian Evolution

Equations with Logarithmic Nonlinearity ［J］. Acta Applicandae Mathematicae， 2017， 151（1）： 149-169.

［10］" 吳秀蘭， 楊曉新. 一類帶有奇異項和對數非局部源的拋物方程解的性質 ［J］. 吉林師范大學學報（自然科學版）， 2023， 44（4）：

70＼|78. （WU X L， YANG X X. Study on the Solution of a Singular Nonlocal Parabolic Equation with Logarithmic Nonlinearity ［J］.

Journal of Jilin Normal University （Natural Science Edition）， 2023， 44（4）： 70＼|78.）

［11］" LIAN W， WANG J， XU R Z. Global Existence and Blow up of Solutions for Pseudo＼|parabolic Equation with Singular

Potential ［J］. Journal of Differential Equations， 2020， 269（6）： 4914＼|4959.

［12］" 宋玉坤， 蔡琳， 邢迪." 具色散非線性波動方程解的存在性與爆破 ［J］. 東北師大學報（自然科學版）， 2023， 55（2）： 16＼|19.

（SONG Y K， CAI L， XING D. The Existence and Blow＼|up of Solutions for Nonlinear Wave Equations with Dispersion Term ［J］.

Journal of Northeast Normal University （Natural Science Edition）， 2023， 55（2）： 16＼|19.）

［13］" DO T D， TRONG N N， THANH B L T. On a Higher-Order Reaction-Diffusion Equation

with a Special Medium Void via Potential Well Method ［J］. Taiwanese Journal of Mathematics， 2023， 27（1）： 53-79.

［14］" THANH B L T， TRONG N N， DO T D. Blow-up Estimates

for a Higher-Order Reaction-Diffusion Equation with a Special Diffusion Process ［J］. Journal of Elliptic and Parabolic Equations， 2021， 7： 891-904.

［15］" LEVINE H A. Some Nonexistence and Instability Theorems for Solutions of Formally

Parabolic Equations of the Form Put=-Au+F（u） ［J］.

Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1973， 51（5）： 371-386.

［16］" SIMON J. Compact Sets in the Space Lp（0，T;B） ［J］. Annali di Matematica Pura ed Applicata， 1986， 146（4）： 65-96.

（責任編輯： 趙立芹）