三階三次冪非線性混沌電路的自適應反饋控制和H∞控制

摘要： 針對三階三次冪非線性混沌電路， 研究其控制問題. 首先， 給出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)和混沌吸引子， 驗證系統(tǒng)存在復雜的混沌現(xiàn)象； 其次， 用自適應反饋控制方法

和H∞狀態(tài)反饋控制方法， 設計參數(shù)已知和參數(shù)未知的自適應反饋控制器以及H∞狀態(tài)反饋控制器， 將混沌系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到平衡點上； 最后， 通過MAT

LAB軟件進行數(shù)值仿真驗證控制器的有效性， 并對兩種控制器的控制效果進行比較.

關鍵詞： 三次冪非線性混沌電路； 自適應反饋控制； H∞狀態(tài)反饋控制； Lyapunov指數(shù)

中圖分類號： O415.5" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0713-08

Adaptive Feedback Control and H∞ Control of Third-OrderThird-Power Nonlinear Chaotic Circuits

FU Jingchao， YANG Yang

（College of Science， Northeast Electric Power University， Jilin 132012， Jilin Province， China）

Abstract： We studied the control problem of third-order third-power nonlinear chaotic circuits. Firstly， we gave the Lyapunov exponent and chaotic attractor of the syst

em to verify the existence of complex chaos in the system. Secondly， using adaptive feedback control method and H∞ state f

eedback control method， we designed the adaptive feedback controller with known and unknown parameters and H∞ state feedback controller to stab

ilize the chaotic system state to the equilibrium point. Finally， the effectiveness of the controller was verified through numerical simulation

by using MATLAB software， and the control effect of the two controllers was compared.

Keywords： third-power nonlinear chaotic circuit; adaptive feedback control; H∞ state feedback control; Lyapunov exponent

收稿日期： 2023-06-16.

第一作者簡介： 付景超（1977—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事非線性動力系統(tǒng)分析和控制的研究， E-mail： neufujingchao@126.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12101112）.

自蔡氏電路提出以來， 其豐富的動力學行為已引起混沌科學研究人員的廣泛關注［1-2］. 為深化研究并擴展其應用， 研究人員在蔡氏電路的基礎上進行了改

進， 通過改變電路結構、 增添控制元件或調(diào)整非線性元件的特性， 成功設計了一系列改良型的蔡氏電路［3-6］. 文獻［7］通過引入三次方模塊替代原有的分段線性二極管，

雖然未顯著改變系統(tǒng)的動力學特性， 但為后續(xù)研究提供了新思路； 文獻［8］設計了一個全新的三次多項式蔡氏電路方程， 并分析了該方程所展現(xiàn)的混沌動力學特性；

文獻［9］提出了三類三次冪型函數(shù)， 并設計了三類更易于實際電路搭建的蔡氏電路； 文獻［10］通過用三次冪型電路替換蔡氏電路中的三折線非線性拓撲關系， 成功構

建了一種三階三次冪非線性混沌電路， 為混沌電路的研究和應用開辟了新方向.

由于非線性電路系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象存在在某些情況下可導致系統(tǒng)不穩(wěn)定， 并降低電壓轉(zhuǎn)化效率等問題， 因此， 需抑制和消除電路中的混沌現(xiàn)象. 自OGY（Ott-Grelogi-Yorke）方法［11］

提出以來， 混沌控制領域的研究取得了顯著進展， 提出了較多控制方法［12-13］. 為有效抑制和消除電路中的混沌現(xiàn)象， 文獻［14］采用時滯反饋控制器實現(xiàn)了超混沌電路的混沌鎮(zhèn)定控制

; 文獻［15］設計了魯棒自適應滑模控制器， 將不確定憶阻蔡氏電路系統(tǒng)穩(wěn)定至平衡點; 文獻［16］利用脈沖控制技術實現(xiàn)了憶阻混沌電路的鎮(zhèn)定與同步; 文獻［17］基于滑模

控制理論， 采用基于滑模的高頻魯棒控制方法和高增益魯棒控制方法設計控制器， 并對三維Coullet系統(tǒng)進行控制; 文獻［18］設計了4種滑模面和控制器， 實現(xiàn)了分數(shù)階大氣混沌

系統(tǒng)的滑模同步控制. 混沌電路的控制方法較多， 在保密通信、 生物醫(yī)學、 電力學和信號處理等領域應用廣泛［19-21］.

本文針對文獻［10］提出的三階三次冪非線性混沌電路， 應用自適應反饋控制方法和H∞狀態(tài)反饋控制方法設計控制器， 將系統(tǒng)的混沌狀態(tài)穩(wěn)定至平衡點. 通

過仿真實驗， 驗證設計控制器的有效性， 為混沌電路的控制提供了新的解決方案.

1" 三階三次冪非線性混沌電路

三階三次冪非線性混沌電路數(shù)學模型［10］為

1=ax2+bx1-cx31，2=8.2x1-x2+dx3，3=-ex2，（1）

其中x1，x2，x3為狀態(tài)變量.

當參數(shù)a=1.57，" b=1.8，" c=0.74，" d=9.1，" e=2.33

時， 系統(tǒng)的3個平衡點分別為o（0，0，0），" P1（1.559，0，-1.405），" P2（-1.559，0，1.405）.

經(jīng)計算， 系統(tǒng)（1）的3個Lyapunov指數(shù)分別為LE1=0.799 09，" LE2=-0.114 19，" LE3=-0.114 90，

其Lyapunov指數(shù)隨時間變化曲線如圖1所示. 由圖1可見， 系統(tǒng)有混沌現(xiàn)象產(chǎn)生. 系統(tǒng)（1）的的混沌吸引子如圖2所示.

2" 三階三次冪非線性混沌系統(tǒng)的自適應反饋控制

2.1" 參數(shù)已知的自適應反饋控制器設計

當參數(shù)a，b，c，d，e固定時， 在三階三次冪非線性混沌系統(tǒng)（1）上添加控制器U=（u1，u2，u3）T， 得到受控系統(tǒng)

1=ax2+bx1-cx31+u1，2=8.2x1-x2+dx3+u2，3=-ex2+u3. （2）

設系統(tǒng)控制目標為（α1，α2，α3）， 其中α1=0， α2=c1e1， α3=c2e2， 定義誤差信號e1=x1-α1， e2=x2-α2， e3=x2-α3， 將誤差信號代入受控系統(tǒng)（2）中， 可得誤差控制系統(tǒng)

1=a（e2+c1e1）+be1-ce31+u1，2=8.2e1-（e2+c1e1）+d（e3+c2e2）-c11+u2，

3=-e（e2+c1e1）-c22+u3.（3）

若Lyapunov函數(shù)為

V=12（e21+e22+e23）2，

則有

=" e1·1+e2·2+e3·3=e1［a（e2+c1e1）+be1-ce31+u1］+" e2［8.2e1-（e2+c1e1）

+d（e3+c2e2）-c11+u2］+e3［-e（e2+c1e1）-c22+u3］.

令

u1=-k1e1-a（e2+c1e1）-be1+ce31=-k1x1-ax2-bx1+cx31，（4）

u2=-k2e2-d（e3+c2e2）+（e2+c1e1）-8.2e1+c11=" -k2（x2-c1x1）-dx3+x2-8.2x1，（5）

u3=-k3e3+e（e2+c1e1）+c22=-k3（x3-c2x2+c1c2x1）+ex2，（6）

則有=-k1e21-k2e22-k3e23lt;0， 其中k1，k2，k3gt;0是為保證lt;0引入的參數(shù). 此時， 誤差系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的， 所以受控系統(tǒng)（2）也是漸近穩(wěn)定的.

定理1［22］" 對于受控系統(tǒng)（2）， 當施加控制器（4）～（6）時， 受控系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點o（0，0，0）.

2.2" 參數(shù)已知的自適應反饋控制器的數(shù)值仿真

當參數(shù)取值a=1.57， b=1.8， c=0.74， d=9.1， e=2.33時， 對式（2）施加自適應反饋控制器（4）～（6）， 不妨取c1=c2=1， k1=k2=k3=1， 受控系統(tǒng)時域波形如圖3所示. 由圖3可見

， 受控系統(tǒng)（2）漸近穩(wěn)定到原點o（0，0，0）.

2.3" 參數(shù)未知的自適應反饋控制器設計

當參數(shù)a，b，c，d，e未知時， 在三階三次冪非線性混沌系統(tǒng)（1）上添加控制器U=（u1，u2，u3）T， 得到受控系統(tǒng)（2）.

設系統(tǒng)控制目標為（α1，α2，α3）， 其中α1=0， α2=c1e1， α3=c2e2， 定義誤差信號e1=x1-α1， e2=x2-α2，

e3=x2-α3， 將誤差信號代入受控系統(tǒng)（7）中， 可得誤差控制系統(tǒng)（3）.

若Lyapunov函數(shù)為

V=" 12（e21+e22+e23）+12γ1（a-a1）2+12γ

2（b-b1）2+" 12γ3（c-p1）2+12γ4（d-q1）2+12γ5（e-m1）2，

其中γ1，γ2，γ3，γ4，γ5gt;0為自適應增益系數(shù)， a1，b1，p1，q1，m1分別為a，b，c，d，e的參數(shù)估計， 則有

=" e1·1+e2·2+e3·3-1γ1（a-a1）·

1-1γ2（b-b1）·1-" 1γ3（c-p1）·

1-1γ4（d-q1）·1-1γ5（e-m1）·1=

e1［（a-a1）（e2+c1e1）+（b-b1）e1-（c-p1）e31-k1e1+" k1e1+a1（e2+c1e1）+b1e1-p1e31+u1］+

e2［8.2e1-（e2+c1e1）+（d-q1）（e3+c2e2）-" k2e2+k2e2+q1（e3+c2e2）-c11+u2］+

e3［-（e-m1）（e2+c1e1）-k3e3+k3e3-m1（e2+c1e1）-c22+u3］-" 1γ1（a-a1）·

1-1γ2（b-b1）·1-" 1γ3（c-p1）·1-1γ4（d-q1）·1-1γ5（e-m1）·1.

令

u1=-k1e1-a1（e2+c1e1）-b1e1+p1e31=-k1x1-a1x2-b1x1+p1x31，（7）

u2=-k2e2-q1（e3+c2e2）+（e2+c1e1）-8.2e1+c11=" -k2（x2-c1x1）-q1x3+x2-8.2x1，（8）

u3=-k3e3+m1（e2+c1e1）+c22=-k3（x3-c2x2+c1c2x1）+m1x2.（9）

當滿足如下參數(shù)自適應控制律時：

1=γ1e1（e2+c1e1）=γ1x1x2，

1=γ1e1·e1=γ1x21，1=-γ3e1·e31=-γ3x41，1=γ4e

2（e3+c2e2）=γ4x3（x2-c1x1），1=-γ5e3（e2+c1e1）=-γ5x2（x3-c2x2+c1c2x1），（10）

則有=-k1e21-k2e22-k3e23lt;0， 其中k1，k2，k3gt;0是為保證lt;0引入的參數(shù). 此時， 誤差系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的， 所以受控系統(tǒng)（2）也是漸近穩(wěn)定的.

定理2［23］" 對于受控系統(tǒng)（2）， 當施加控制器（7）～（10）時， 受控系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點o（0，0，0）.

2.4" 參數(shù)未知的自適應反饋控制器的數(shù)值仿真

設未知參數(shù)a，b，c，d，e的估計值為a1，b1，p1，q1，m1， 對式（2）施加控制（7）～（10）， 取c1=c2=1， k1=0.2， k2=1， k3=0.2， γ1=γ2=

γ3=γ4=γ5=0.2， 受控系統(tǒng)時域波形如圖4所示. 由圖4可見， 受控系統(tǒng)（2）漸近穩(wěn)定到原點o（0，0，0）. 參數(shù)a，b，c，d，e的估計值a1，b1，p1，q

1，m1隨時間變化如圖5所示. 由圖5可見， 自適應反饋控制能很好地辨識系統(tǒng)參數(shù).

system （2） with unknown parameters

3" 三階三次冪非線性混沌電路的H∞狀態(tài)反饋控制

3.1" H∞狀態(tài)反饋控制器設計

在三階三次冪非線性混沌系統(tǒng)（1）上添加控制器， 得到受控系統(tǒng)

1=ax2+bx1-cx31+ω1+u，2=8.2x1-x2+dx3+ω2，

3=-ex2+ω3，y=h（x）=x3，（11）

其中ω1，ω2，ω3為外部擾動變量， a，b，c，d，e為實參數(shù)， u為控制器. 不失一般性， 設計一個H∞狀態(tài)反饋控制器

=（x）=3=-ex2+ω3，

=-e2=-e（8.2x1-x2+dx3+ω2），y…=-e（8.2

1-2+d3）=-e［-8.2cx31+8.2（b-1）x1+" （8.2+1-de）x2-dx3+8.2ω1-ω2+dω3+8.2u］，（12）

將系統(tǒng)（1）控制到系統(tǒng)原點o（0，0，0）上， 將式（12）轉(zhuǎn)化為

=f（x）+g1（x）ω+g2（x）u，y=h（x），

則

f（x）=ax2+bx1-cx318.2x1-x2+dx3-ex2，" g1（x）=10

0010001，" g2（x）=100.

經(jīng)計算可得：

Lfh（x）=-ex2，" L2fh（x）=Lf（Lfh（x））=-e（8.2x1-x2+dx3），L3fh（x）=Lf（L2fh（x））=-8.2c

x31+8.2（b-1）x1+（8.2+1-de）x2-dx3，Lg2h（x）=0，" Lg2Lfh（x）=

Lg2（Lfh（x））=0，" Lg2L2fh（x）=Lg2（L2fh（x））=-8.2e≠0.

由此可知系統(tǒng)的相對階為3， 可用非線性狀態(tài)反饋控制器

u=α（x）+β（x）v

表示， 其中

α（x）=-L3fh（x）Lg2L2fh（x）=--8.2cx31+8.2（b-1）

x1+（8.2+1-de）x2-dx3-8.2e=x31-（b-1）x1-（8.2+1-de）x2-dx38.2，

β（x）=1Lg2L2fh（x）=-18.2e，

z=T（x）=（z1z2z3）T=（h（x）Lfh（x）L2fh

（x））T=x3-ex2-e（8.2x1-x2+dx3），

ω=T（x）xg1（x）ω=0010-e0-8.2ee-deω.

設系統(tǒng)的L2增益η=2， 代入Riccati矩陣方程

ATP+PA+η-2PB1BT1P-PB2B

T2P+CTC=0，

其中

A=010001000，" B1=100010001，" B2=001，" C=100.

利用MATLAB軟件求解， 可得

P=58.65394.30964.13294.309153.749105.33764.132105.33773.147，

其中

p31=64.132，" p32=105.337，" p33=73.147，

v=-BT2Pz=-（001）58.65394.30964.13294.309153.749105.33764.132105.

33773.147x3-ex2-e（8.2x1-x2+dx3）=-64.132x3+105.337ex2+73.147e（8.2x1-x2+dx3）.

受控系統(tǒng)（11）的H∞狀態(tài)反饋控制器為

u=" α（x）+β（x）v=x31-（b-1）x1-（8.2+1-de）x2-dx38.2-

-64.132x3+105.337ex2+73.147e（8.2x1-x2+dx3）8.2e.（13）

定理3［22］" 對于受控系統(tǒng)（11）， 在控制器（13）作用下， 受控系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點o（0，0，0）.

3.2" H∞狀態(tài)反饋控制器的數(shù)值仿真

取a=1.57， b=1.8， c=0.74， d=9.1， e=2.33， 代入式（7）可得

u=x31-73.946x1+3.884x2+77.818x3.（14）

對受控系統(tǒng)（11）施加控制器（14）， 受控系統(tǒng)時域波形如圖6所示. 由圖6可見， 受控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到原點o（0，0，0）.

綜上， 本文對三階三次冪非線性混沌電路系統(tǒng)的混沌控制問題進行了研究. 為有效將系統(tǒng)控制到期望的平衡點處， 用自適應反饋控制方法和H∞狀態(tài)反饋控制方法， 分

別設計了參數(shù)已知和參數(shù)未知的自適應反饋控制器以及H∞狀態(tài)反饋控制器. 經(jīng)數(shù)值仿真， 驗證了所設計控制器的有效性. 兩種方法相比較， 其中H∞狀

態(tài)反饋控制方法對系統(tǒng)的相對階有要求， 而自適應反饋控制由于其自適應的特性， 在參數(shù)

未知的情況下可將系統(tǒng)穩(wěn)定到原點處， 并可顯示出系統(tǒng)的參數(shù)估計值， 具有較廣泛的適用范圍.

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（責任編輯： 王" 健）