復形的Gorenstein(L,A)-內射維數

摘要： 設（L，A）是一給定的完備對偶對. 首先， 引入復形

的Gorenstein（L，A）-內射維數， 給出其刻畫， 并證明復形的Gorenstein（L，A）-內射維數不超過內射維數；

其次， 討論復形的相對上同調和Tate上同調， 得到聯系絕對、 相對、 Tate上同調的長正合序列.

關鍵詞： 對偶對； Gorenstein（L，A）-內射維數； Tate上同調； 長正合序列

中圖分類號： O153.3" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0521-08

Gorenstein（L，A）-Injective Dimension of Complexes

LIU Yanping（College of Economics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let （L，A） be a fixed complete duality pair. Firstly， the author introduced the G

orenstein （L，A）-injective dimension of complexes， gave its" characterization， and proved that Gorenstein （L，A）-inje

ctive dimension of complexes was not larger than injective dimension. Secondly， the author also discussed relative cohomology and" Tate cohomology of complexes， and obtained the long

exact sequence connecting absolute， relative and Tate cohomology.

Keywords： duality pair; Gorenstein（L，A）-injective dimension; Tate cohomology; long exact sequence

收稿日期： 2023-07-05." 網絡首發日期： 2024＼|02＼|26.

作者簡介： 劉妍平（1989—）， 女， 漢族， 博士， 副教授， 從事環的同調理論的研究， E-mail： xbsdlyp@163.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 11861055）和甘肅省教育廳創新基金（批準號： 2021A-002）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20240223.1503.001.

目前， 關于Gorenstein投射模、 內射模和平坦模的研究得到廣泛關注［1-5］. Asadollahi等［3］定義并研究了復形的Gorenstein內射維數及其與內射維數之間的關系. 對有單位元的交換環R，

Holm等［4］引入了R-模的對偶對. 對偶對通常與純性、 完全余撓對等有密切關系， 因此在Gorenstein同調代數的研究中具有重要作用. Gillespie［5］證明了通過

任意的完備對偶對可得到類似于Gorenstein同調代數的相對同調代數.

Tate在研究有限群表示理論時， 注意到

瘙 綄 ［G］-模

瘙 綄 有完全投射分解， 其中群G在

瘙 綄 上的作用是平凡的， 從而對有限群G和

瘙 綄 ［G］-模M定義了Tate上同調［6］. Buchweitz［7］

將Tate上同調推廣到了Gorenstein環， 定義了關于兩個變量的Tate上同調理論. 文獻［8-9］分別從不同的角度對上述理論進行了研究. Avramov等［10］

借助完全分解將該理論推廣到任意交換Noether環上具有有限G-維數的有限生成模. Sather-Wagstaff等［11］定義了Abel范疇中具有Tate W-分解的對象

與任意對象的Tate上同調. 文獻［12-14］研究了廣義Tate上同調， 得到了平衡性等相關性質. 本文考慮給定的完備對偶對（L，A）， 首先， 研究復形的G

orenstein（L，A）-內射維數， 給出其刻畫， 并討論復形內射維數和Gorenstein（L，A）-內射維數之間的關系； 其次， 作為復形Gorenstein（L，A）-內射維數的應用， 討論一類廣義Tate上同調.

1" 預備知識

本文所有的環R均為有單位元的交換環." 如果對任意的整數i， dXidXi+1=0， 則稱R-模的序列

X： …→Xi+1dXi+1XidXiXi-1dXi-1…

為復形. R-模M視為第0層次為M、 其余層次為0的復形. 定義復形X的第i個同調模為Hi（X）=ZXi/BXi， 其中ZXi=Ker dXi為復形X的第i個循環， B

Xi=Im dXi+1為復形X的第i個邊緣. 記sup X=sup{iXi≠0}， inf X=inf{iXi≠0}.

設X是R-復形， u，v是整數. 復形X在u層次的硬左切割uX和X在v層次的硬右切割Xv分別為

uX=0→Xu→Xu-1→Xu-2→…，

Xv=…→Xv+2→Xv+1→Xv→0.

復形X在u層次的軟左切割uX和X在v層次的軟右切割Xv分別為

uX=0→CXu→Xu-1→Xu-2→…，" Xv=…→Xv+2→Xv+1→ZXv→0，

其中CXu=Coker（Xu+1→Xu）， ZXv=Ker（Xv→Xv-1）.

R-復形同態α： X→Y是指一族R-模同態αi： Xi→Yi， 且滿足對任意的i∈

瘙 綄 ， dYiαi-αi-1dXi=0. 若一個復形同態導出同調的同構， 則

該復形同態稱為擬同構， 記復形的擬同構和同構分別為和.

設A是一個R-模的類， X是R-復形. 若對任意的A∈A， HomR（A，X）是正合的， 則稱復形X是HomR（A，-）正合的或A-零調的.

定義1［5］" 設M和C是R-模的類， 若下列條件成立：

1） M∈M當且僅當M+∈C；

2） C關于直和因子與有限直和封閉.

則稱（M，C）是對偶對.

若M包含模R， 且關于余積和擴張封閉， 則稱對偶對（M，C）

是完全的. 若（C，M）也是對偶對， 則稱對偶對（M，C）是對稱的. 若（M，C）

是對稱且完全的， 則稱對偶對（M，C）是完備對偶對.

定義2［5］" 設（L，A）是全備對偶對， M是R-模. 如果M=Z0

I， 則稱M是Gorenstein（L，A）-內射的， 其中I是內射模的正合序列且對任意的A∈A， HomR（A，I）正合. 記Gorenst

ein（L，A）-內射模類為GJ.

定義3［14］" 設（A，B）是R-模范疇中的一個余撓對， X是R-模復形.

1） 若X是正合的且對任意的n∈

瘙 綄 ， ZXn∈A， 則稱X是A-復形.

2） 若X是正合的且對任意的n∈

瘙 綄 ， ZXn∈B， 則稱X是B-復形.

3） 若對任意的n∈

瘙 綄 ， Xn∈A， 且對任意的B∈B， HomR（X，B）是正合的， 則稱X是dg A-復形.

4） 若對任意的n∈

瘙 綄 ， Xn∈B， 且對任意的A∈A， HomR（A，X）是正合的， 則稱X是dg B-復形.

記A-復形的類為，B-復形的類為

， dg A-復形的類為dg ， dg B

-復形的類為dg . Gillespie［15］證明了（dg ，）和

（，dg ）是復形的余撓對， 稱為誘導的余撓對.

2" 復形的Gorenstein（L，A）-內射維數的刻畫

設（L，A）是完備對偶對.

引理1" （W，GJ）是完備遺傳的余撓對

， 其中W=⊥GJ， 進而誘導的余撓對（，dg GJ）和（dg

，GJ）也是完備遺傳的， 且dg ∩=

， dg GJ∩=GJ， 其中是正合復形的類.

證明： 根據文獻［5］中引理4.5和定理4.6知， （W，GJ）是完備遺傳的余撓對， 其余證明由文獻［15］中推論3.13和文獻［16］中定理3.5可得.

定義4nbsp; 設M是R-模復形， 復形的Gorenstein（L，A）-內射維數GJ-dimRM定義為

GJ-dimRM=inf{sup{-iGi≠0}GM， 其中G∈dg GJ}.

定義5" 設M是R-模復形， 復形的態射圖MiIvT是M的完備A-余分解.

若復形的態射圖MiIvT滿足下列條件：

1） i： M→I是M的dg-內射余分解；

2） T是內射模的正合A-零調復形；

3） 對所有的i0， vi是雙射.

則稱復形的態射圖MiIvT是M的完備A-余分解.

若對任意的i∈

瘙 綄 ， vi是可裂的， 則稱該完備A-余分解是可裂的.

引理2" 1） GJ是內射可解的， 且關于直積與直和因子封閉；

2） 設0→X→Y→Z→0是R-模的短正合列， 若Y和Z是Gorenstein（L，A）-內射模， 則X是Gorenstein（L，A）-內射模當且僅當對任意的A∈A， Ext1R（A，X）=0.

證明： 1） 由（W，GJ）是完備遺傳的余撓對， 其中W=⊥GJ可得.

2） 充分性. 因為Z是Gorenstein（L，A）-內射模， 所以存在短正合序列

0→K→L→Z→0， 其中L是內射模， K是Gorenstein（L，A）-內射模. 考慮拉回圖：

由1）和中間列的正合性可知H是Gorenstein（L，A）-內射模. 根據假設Ext1

R（L，X）=0知， 中間行是可裂正合的. 因此由1）可得X是Gorenstein（L，A）-內射模.

必要性. 根據Gorenstein（L，A）-內射模的定義易得.

定理1" 設M是R-模復形， 則對正整數n， 下列各結論等價：

1） GJ-dimRM≤n；

2） -inf H（M）≤n， 且對任意的XM， Z-n（X）∈GJ， 其中X∈dg GJ；

3） -inf H（M）≤n， 且存在M的dg-內射分解M→I， Z-n（I）∈GJ；

4） -inf H（M）≤n， 且對M的任意dg-內射分解M→I′， Z-n（I′）∈GJ；

5） 對任意的dg-內射分解M→I， 存在M的完備A-余分解M→IvT， 使得對所有的i≤-n， vi=idIi；

6） 存在M的可裂完備A-余分解M→IvT， 使得對所有的i≤-n， vi=idIi.

進而， 若GJ-dimRMlt;∞， 則

GJ-dimRM=sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}.

證明： 1）2）由文獻［17］中定理3.4可得. 2）3）顯然.

3）4）. 設M→I′是dg-內射分解. 由文獻［18］中命題1.3.6的對偶結論可知， 存在內射模E-n和E′-n， 使得Z

-n（I）E′-nZ-n（I′）E-n. 因此由引理2中1）得Z-n（I′）∈GJ.

4）5）. 設M→I是M的dg-內射分解， 則Z-n（I）∈GJ. 因此存在HomR（A，-）-正合的正合序列

…→E1→E0→Z-n（I）→0，

其中每個Ei是內射的. 記復形…→E1→E0→0為X， 則存在復形同態η： I-n→Σ1-nX， 使得下圖可交換：

設T為復形…→（Σ1-nX）2-n→（Σ1-nX）1-n→I-n→I-1-n→…， 則T是正合A-零調復形. 令

vi=ηi，igt;-n，idIi，i≤-n，

則IvT是需證的復形同態.

5）6）. 由5）知， 存在M的完備A-余分解M→Iv（1）T（1）， 使得對所有的i≤-n， v（1）i=idI

i. 令T（2）=Cone（idI1-n）， 則T（2）是可收縮復形， 且對所有的i≤-n， T（2）i=0. 由文獻［11］中事實1.5知T（2）

是層次內射的正合復形， 且對所有的i∈

瘙 綄 ， Zi（T（2））∈GJ. 記自然同態I→I1-n→T

（2）為φ： I→T（2）. 對任意的igt;-n， φi是可裂的且對任意的i≤-n， φi=0. 令T=T（1）T（2）

， v： I→T， 其中vi=（v（1）iφi）， 則vi是可裂單同態且對任意的i≤-n， vi是雙射. 因此M→IvT是可裂的完備A-余分解.

6）2）. 令MiIvT是M的可裂完備A-余分解， 且對所有的i≤-n， vi=idIi， 則對所有的i≤-n， Z

i（I）Zi（T）， Hi（I）Hi（T）. 因此Z-n（I）∈GJ， -inf H（M）=-inf H（I）≤-n. 設X是dg GJ復

形且MX， 則XI， 從而存在擬同構μ： X→I. 由假設可知-inf H（X）=-inf H（I）≤-n. 令A是一個A-模， 則

Ext1R（A，Z-n（X））=" H-1（RHomR（A，Z-n（X）））H-1（RHomR（A，Σn（

-nX）））" H-n-1（RHomR（A，-nX））H-n-1（HomR（A，-nX））

" H-n-1（HomR（A，X））H-n-1（RHomR（A，X））" H-n-1（HomR（A，I））H-1（RHomR（A，Σn（

-nI）））" H-1（RHomR（A，Z-n（I）））=Ext1R（A，Z-n（I）），

其中第一個和最后一個同構根據文獻［19］中A.1.14.1可得， 第二個和第四個同構根據文獻［20］中引理3.5可得. 因為A∈W， -nX是層

次GJ的上有界復形， 故根據文獻［15］中引理3.4得A∈dg ，-n

X∈dg GJ， 根據文獻［20］中引理3.5得

H-n-1（RHomR（A，-nX））H-n-1（HomR（A，-nX））.

因為X∈dg GJ， 故根據文獻［20］中引理3.5得

H-n-1（HomR（A，X））H-n-1（RHomR（A，X））.

又因為Z-n（I）∈GJ， 所以Ext1R（A，Z-n（I））=0. 因此Ext1R（A，Z-n（X））=0， 進而Z-n（X）∈A⊥1.

若μ是單的， 則存在正合序列0→XμI→L→0， 其中L是正合復形. 因為X，I∈dg GJ， 所以由引理1得L∈dg

GJ， 則L∈GJ， Z-n（L）∈GJ. 因此存在正合序列

0→Z-n（X）→Z-n（I）→Z-n（L）→0，

其中Z-n（L），Z-n（I）∈GJ. 由引理2中2）得Z-n（X）∈GJ.

若μ不是單的， 則由引理1知， 存在X的特殊GJ-預包絡X→G. 因此X→GI是單的擬同構， 且

GI∈dg GJ， Z-n（GI）Z-n（G）Z-n（I）.

由上述證明可知Z-n（GI）∈GJ， 從而Z-n（I）∈GJ. 所以2）得證.

設M正合， 且X∈A， 并存在下有界dg-投射復形P， 使得PX， 則對任意的i∈

瘙 綄 ， 有

Hi（RHomR（X，M））=Hi（HomR（P，M））=0.

因此sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}=-∞， 從而

GJ-dimRM=sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}=-∞.

設GJ-dimRM=n， n為整數， 下面證明sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}≤n. 根據3）和引理2中1）， 存在dg-內

射復形I， 使得MI， 且對任意的i≤n， Zi（I）∈GJ. 若對任意的i≥1和X∈A， 有

H-n-i（RHomR（X，M））=" H-n-i（HomR（X，I））=H-1（HomR（X，Σn+i-1（-n-i+1I）））=

H-1（RHomR（X，Z-n-i+1（I））=Ext1R（X，Z-n-i+1（I））=0.

則對任意的X∈A， -inf H（RHomR（X，M））≤n.

設sup{-inf H（RHomR（X，M））X∈A}lt;n， 因為GJ＼|dimRM=n， 故由5）知存在完備的A-余分解M

iIvT， 使得對任意的i≤-n， vi=idIi. 記ε： Z-n（I）→I-n， 則ε是單射. 由于Z-n（I）=Z-n（T）， I-n=T-n， 所以存在

滿射q： T1-n→Z-n（I）和t： I1-n→Z-n（I）， 使得δT1-n=εq， δI1-n=εt. 又由假設H-n（RHomR（T1-n，I））=0知， H

-n（HomR（T1-n，I））=0， 因此存在正合序列

HomR（T1-n，I1-n）→HomR（T1-n，I-n）→HomR（T1-n，I-n-1）.

于是t： HomR（T1-n，I1-n）→HomR（T1-n，Z-n（I））是滿射， 從而存在α： T1-n→I1-n， 使得q=tα. 因為q是滿射， 故t也是滿射， 因此-inf H（M）≤

n-1. 可見q： T1-n→Z-n（I）是特殊的A-預覆蓋， 故t也是特殊的A-預覆蓋， 于是可得Z1-n（I）∈A

⊥1. 由引理2得Z1-n（I）∈GJ， 矛盾. 因此

GJ-dimRM=sup {-inf H（RHomR（X，M））X∈A}.

注1" 1） 考慮交換Noether環上的完備對偶對（F，J）， 其

中F為平坦模類， J為內射模類. 此時Gorenstein（F，J）-投射模為Ding投射模， Goren

stein（F，J）-內射模為Ding內射模. 由定理1知這里的Gorenstein

（F，J）-內射維數恰是文獻［21］中的Ding內射維數.

2） 設環R是Krull維數有限的交換Noether環， 此時Gorenstein（F，J）-內射模為Gorenstein內射模. 由定理1知這里的Gorenstein

（F，J）-內射維數恰是文獻［3］中的Gorenstein內射維數.

推論1" 設M是R-模復形， 則GJ-dimRM≤idRM， 當idRMlt;∞時等號成立.

證明： 設idRM=n， 若n=∞， 則顯然GJ-dimRM≤idRM. 設n=-∞， 則M是正合的. 因此GJ-

dimRM≤idRM=-∞. 設H（M）≠0， idRM=n， 則對任意的ilt;-n， Hi（M）=0， 且存在dg-內射分解M→I， 使得Z-n（I）是內射的.

特別地， Z-n（I）是Gorenstein（L，A）-內射的. 由定理1得GJ-dimRM≤n.

若idRM=nlt;∞， 反設GJ-dimRM=mlt;n， 則存在dg-內射分解M→I′， 使得對任意的ilt;-n， I′i

=0. 由定理1知， Z-m（I′）∈GJ， 對任意的ilt;-m， Hi（M）=0. 特別地， 對任意的ilt;-m， Hi（I′）=0. 所以存在正合序列

0→Z-m（I′）→I′-m→…→I′-n→0.

因為內射模屬于⊥GJ， 所以對任意的-n≤i≤-m， I′i∈⊥GJ， 從而存在正合序列

0→Z-m（I′）→I′-m→Z-m-1（I′）→0，

其中Z-m-1（I′）∈⊥GJ， 故0→Z-m（I′）→I′-m→Z-m-1（I′）→0是可裂的.

于是可知Z-m（I′）是內射的， 進而有n≤m， 矛盾. 表明m=n.

根據定理1易得：

推論2" 設（Xi）i∈I是一族R-模復形， 則

GJ-dimR∏i∈IXi≤sup{GJ＼|dimR（Xi）i∈I}.

3" 相對Tate上同調

作為復形Gorenstein（L，A）-內射維數的應用， 下面討論相對于完備A-余分解的Tate上同調.

引理3" 設MiIvT和

分別是M和的完備A-余分解， 則對任意的復形同態μ： M→， 存在同倫意義下的唯一的同態μ， 使得下

圖左邊的方塊同倫交換， 且對μ存在同倫意義下的唯一同態， 使得下圖右邊的方塊同倫交換：

若μ=idM， 則μ和是同倫等價.

證明： 類似文獻［11］中引理5.3的對偶可證.

定義6" 設N是Gorenstein（L，A）-內射維數有限的復形， 且N→I

vT是N的完備A-余分解. 對任意的復形M和任意的n∈

瘙 綄 ， EtnR（M，N）=H-n（HomR（M，T））

稱為n次相對Tate上同調. 對任意的n∈

瘙 綄 ， 同態HomR（M，v）： HomR（M，I）→HomR（M，T）誘導出Abel群同態ExtnR（M，N）→EtnR（M，N）.

注2" 1） 由引理3可知EtnR（-，N）是上同調函子， 其與N的完備A-余分解的選取無關；

2） 若N有完備A-余分解N→IvT， 則IidIIvT是I的完備A-余分解， 且對

任意的復形M和任意的i∈

瘙 綄 ， EtiR（M，N）EtiR（M，I）;

3） 若GJ-dimRN≤n， 則對任意的上有界復形M和igt;n+sup M， ExtiR（M，N）→EtiR（M，N）是雙射.

引理4" 設N： 0→N→N′→N″→0是具有有限Gor

enstein（L，A）-內射維數的復形的正合序列， 則存在下列行正合的交換圖：

其中各列是完備A-余分解.

證明： 類似文獻［11］中引理5.5的對偶可證.

命題1" 設M是R-模復形， N： 0→N→N′→N″→0是R-模復形的正合列.

1） 若M具有有限Gorenstein（L，A）-內射維數， 則存在自然同態Vn（N，M）， 使得下列序列是正合的：

…→EtnR（N′，M）→EtnR（N，M）Vn（N，M）Etn+1R（N″，M）→….

2） 若N，N′和N″具有有限Gorenstein（L，A）-內射維數， 則存在自然同態Vn（M，N）， 使得以下序列是正合的：

…→EtnR（M，N′）→EtnR（M，N″）Vn（M，N）Etn+1R（M，N）→….

證明： 1） 由N的完備A-余分解N→IvT可誘導出如下交換圖：

因為對任意的n∈

瘙 綄 ， Tn和In都是內射的， 所以該交換圖是行正合的， 其中下行導出的同調正合序列即為所證的長正合序列. 自然性顯然.

2） 用HomR（M，-）作用引理4中的交換圖， 因為對任意的n∈

瘙 綄 ， Tn和In都是內射的， 所以可得如下行正合的交換圖：

其中下行導出的同調正合序列即為所證的長正合序列. 自然性顯然.

引理5" 設NiIvT是R-模N的可裂完備A-余分解， 則存在復形的可裂正合序列

0→I→→ΣY→0，

其中=1T， Y是N的真GJ-余分解.證明： 由假設存在非負整數n， 使得對任意的i≤-n， vi是雙射.

令=1T， ： I→是同態， 則對任意的i≤0， i=vi， 對任意的igt;0， i=0. 令Y=Σ-1Coker（

）， 因為Coker（v）是層次內射復形， 所以Y0=C1（T）∈GJ， 且對任意的-n≤i≤-1， Yi是內射的， 對任意的i

≤-n-1， Yi=0. 因此有復形正合列0→I→→ΣY→0， 其中=1T， Y是N的真GJ-余分解.

引理6" 設NiIvT和N′i′I′v′T

′分別是R-模N和N′的可裂完備A-余分解， g： N→N′是R-模同態， 則存在復形同態交換圖：

其中各行如引理5， g和g*由g提升得到， g由g的提升誘導得到.

證明： 根據引理3可得復形同態的交換圖：

則由和的定義可知， g誘導出同態g： →′， 使得下圖可交換：

由Y和Y′的定義可知g誘導出同態g*， 使得引理6中的圖可交換.由定義知g是g的提升， 因為和

′是正合的， 所以g是擬同構. 由誘導的長正合序列可知g*是g的提升.

定義7" 設R-模N有真GJ-余分解N→E， 對任意的R-模M， 定義相對上同調群

ExtnGJ（M，N）=H-n（HomR（M，E））.

定理2" 設R-模N具有有限Gorenstein（L，A）-內射維數n， 則對任意的R-模M存在長正合序列

0→Ext1GJ（M，N）→Ext1R（M，N）→Et1R（M，N）→…

ExtnGJ（M，N）→ExtnR（M，N）→EtnR（M，N）→0.

證明： 設GJ-dimRN≤nlt;∞， 則由定理1和引理5可知存在可裂的復形正合序列

0→I→→ΣY→0，

其中=1T， Y是N的真GJ-余分解. 設M是R-模， 用HomR（M，-）作用上述正合列可得復形的正合序列

0→HomR（M，I）→HomR（M，）→HomR（M，ΣY）→0，

并誘導出正合序列

…→Hi（HomR（M，I））→Hi（HomR（M，））→Hi（HomR（M，ΣY））→….

因此對任意的i≥0， H-i（HomR（M，ΣY））H-i-1（HomR（M，Y））=Exti+1GJ（M，N）， 對

任意的igt;n， H-i（HomR（M，ΣY））=0. 同時對任意的i≥1， H-i（HomR（M，））Ext︿

iR（M，N）， H0（HomR（M，））=0. 于是長正合序列得證.

該長正合序列關于M是自然的. 事實上， 設g： M→M′是R-模同態， 用HomR（M，-）作用正合列0→I→→ΣY→0得下列交換圖：

誘導出所需長正合列的交換圖.

該長正合序列關于N是自然的. 事實上， 設f： N→N′是R-模同態， 用HomR（M，-）作用引理6中的交換圖可得下列交換圖：

誘導出所需長正合列的交換圖.

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（責任編輯：" 趙立芹）