Frobenius擴張下的PGFFIn-模與Gorenstein FIn-平坦模

摘要： 設RS是環的Frobenius擴張， M是一個S-模. 證明如果RS是可分Frobenius擴張， 則SM是投射余可解的

Gorenstein FIn-平坦模（Gorenstein FIn-平坦模）當且僅當RM是投射余可解的Gorenstein FIn-平坦模

（Gorenstein FIn-平坦模）.

關鍵詞： Frobenius擴張; 可分Frobenius擴張; 投射余可解的Gorenstein FIn-平坦模; Gorenstein FIn-平坦模

中圖分類號： O153.3" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0515-06

PGFFIn-Modules and Gorenstein FIn-FlatModules under Frobenius Extensions

FAN Jiamei， BAI Jie， ZHAO Renyu

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let RS be a Frobenius extension of rings and M be an S-module. We prove that if RS is a separa

ble Frobenius extension， then SM is a projectively coresolved Gorenstein FIn-flat module （Gorenstein FIn-flat module）

if and only if RM is a projectively coresolved Gorenstein FIn-flat module （Gorenstein FIn-flat module）.

Keywords： Frobenius extension; separable Frobenius extension; projectively coresolved Gorenstein FIn-flat

module; Gorenstein FIn-flat module

收稿日期： 2023-07-18.nbsp; 網絡首發日期： 2024＼|03＼|08.

第一作者簡介： 樊甲梅（1997—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事環的同調理論的研究， E-mail： 2015293016@qq.com.

通信作者簡介： 趙仁育（1977—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事環的同調理論的研究， E-mail： zhaory@nwnu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 11861055； 12061061）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240305.1451.001.

近年來， 環的Frobenius擴張下的Gorenstein同調性質研究得到廣泛關注［1-7］. 設RS是環的Frobenius擴張， Ren［1］和Zhao［2］

證明了S-模M是Gorenstein投射（內射）的當且僅當M作為R-模是Gorenstein投射（內射）的; Hu等［3］證明了S-模M是Gorenstein平坦的當且僅當M作為R

-模是Gorenstein平坦的.

Bravo等［8］利用有限n-表現模定義了FPn-內射模和FPn-平坦模， 之后， 與這兩類模相關的相對同調代數理

論得到廣泛關注. 作為投射余可解的Gorenstein平坦模（Gorenstein平坦模）的推廣， Estrada等［9］用FPn-內射模代替內射模， 引入并研究了投射余可解的

Gorenstein FIn-平坦模（Gorenstein FIn-平坦模）. 受上述研究工作的啟發， 本文討論投射余可解的Gorenstein FIn-平

坦模和Gorenstein FIn-平坦模在環的Frobenius擴張下的保持性.

1" 預備知識

本文中R和S均是有單位元的結合環， R-?；騍-模均指左R-?；蜃骃-模， 右R-?；蛴襍-模記為Rop-?；騍op-模. 用Mod（R）

（Mod（S））表示R-模（S-模）范疇， RM表示M是R-模， MR表示M是Rop-模， SMR表示M是（S，R）-雙模. 用P（R），

I（R）和F（R）分別表示投射R-模、 內射R-模和平坦R-模的類.

首先介紹Frobenius擴張的相關知識. 用RS表示環擴張l： RS. 自然雙模RSR定義為rsr′=l（r）·s

·l（r′）， 其中r，r′∈R， s∈S. 類似地， 有RS，RSS和SSR等.

定義1［10］" 如果下列等價條件之一成立， 則稱環擴張RS是Frobenius擴張：

1） 函子SSRR-和HomR（RSS，-）自然等價;

2） 函子-RRSS和HomRop（SSR，-）自然等價;

3） RS是有限生成投射模， 且SSR（RSS）*∶=HomR（RSS，R）;

4） SR是有限生成投射模， 且RSS（SSR）*∶=HomRop（SSR，R）;

5） 存在一個（R，R）-同態τ： S→R和S中元素xi，yi， 使得對任意s∈S， 有

∑ixiτ（yis）=s，" ∑iτ（sxi）yi=s.

定義2［11］" 設RS是Frobenius擴張， 如果（S，S）-雙模同態φ： SRS→S， sRs′ss′是可裂滿的， 則稱RS

是可分Frobenius擴張.

設M是S-模， 則存在滿的S-模同態π： SRM→M， sRmsm， 并且π作為R-同態是可裂的， 但

一般地， π作為S-同態未必是可裂的.

引理1［11］" 設RS是Frobenius擴張， 則RS是可分Frobenius擴張當且僅當

對任意S-模M， S-模同態π： SRM→M是可裂滿同態.

下面給出Frobenius擴張的一些實例.

例1" 1） 對任意的有限群G，

瘙 綄 G是

瘙 綄 的可分Frobenius擴張［11］;

2） 商環R［x］/（x2）是環R的Frobenius擴張［11］;

3） 設n是一個正整數， 則環R上的n階全矩陣代數Mn（R）是R上的n階中心對稱矩陣代數Sn（R）的一個可分Frobenius擴張［12］;

4） 設R是一個交換代數， S是R上的一個Azumaya代數， 則S是R的可分Frobenius擴張［10］;

5） 若RS是優越擴張， 則RS是Frobenius擴張; 特別地， 當R是交換環時， RS是可分Frobenius擴張. 文獻［13］給出了優越擴張及優越擴張的實例.

定義3［8］" 設n是非負整數或∞.

1） 如果存在正合列

Fn→Fn-1→…→F1→F0→M→0，

則稱Rop-模M是有限n-表示的， 其中Fi是有限生成自由（或投射）Rop-模， i=0，1，2，…，n.

2） 如果對任意有限n-表示Rop-模M， Ext1Rop（M，E）=0， 則稱Rop-模E是FPn-內射的.

下面將FPn-內射Rop-模的類記為FIn（Rop）. 當n=0時， FP0-內射Rop-模即為內射Rop

-模; 當n=1時， FP1-內射Rop-模即為FP-內射Rop-模; 當n=∞時， FP∞-內射Rop-模即為弱內射Rop

-模［14］或絕對clean模［15］. 顯然，

FI0（Rop）FI1（Rop）…FI∞（Rop）.

引理2" 設R，S是環， N是（R，S）-雙模. 如果RN是平坦的， NS是有限生成

投射的， 則對任意的有限n-表示Rop-模M， MRN是有限n-表示Sop-模.

證明： 設FRm是有限生成自由Rop-模， 則

FRNSRmRNS（RRNS）（m）NS（m）.

于是由NS是有限生成投射模知， FRNS是有限生成投射Sop-模. 進而由RN平坦及有限n-表示模的定義可得MRN是有限n-表示Sop-模.

引理3" 設RS是Frobenius擴張.

1） 如果MS是有限n-表示的， 則MR是有限n-表示的;

2） 如果MR是有限n-表示的， 則MRS是有限n-表示的Sop-模.

證明： 因為RS是Frobenius擴張， 所以RS和SR都是有限生成投射模. 故由引理2知結論成立.

引理4" 設RS是Frobenius擴張， E是Sop-模. 考慮下列陳述：

1） ER是FPn-內射的;

2） ES是FPn-內射的;

3） ERS是FPn-內射Sop-模.

則2）1）3）. 如果ES是ERSS的直和項， 則2）1）3）.

證明： 2）1）. 設ES是FPn-內射的， N是有限n-表示Rop-模， 則由引理3知NRS是有限n-表示Sop-模， 故

Ext1Sop（NRS，E）=0. 由于

Ext1Rop（N，E）Ext1Rop（N，HomSop（RSS，E））Ext1Sop（NRS，E），

所以Ext1Rop（N，E）=0. 因此ER是FPn-內射的.

1）3）. 設N是有限n-表示Sop-模， 則由引理3知NR是有限n-表示的， 故Ext1Rop（N，E）=0. 于是由同構

Ext1Sop（N，ERS）Ext1Sop（N，HomRop（SSR，E））

Ext1Rop（NSS，E）Ext1Rop（N，E）

得Ext1Sop（N，ERS）=0. 因此ERS是FPn-內射Sop-模.

3）1）. 因為ER是ERSR的直和項， 并且由2）1）知ERS作為Rop-模是FPn-內射的. 所以E是FPn-內射Rop-模.

當ES是ERSS的直和項時， 3）2）顯然成立. 從而1）2）3）. 證畢.

2" Frobenius擴張下的PGFFIn-模

下面討論環的Frobenius擴張下的投射余可解的Gorenstein FIn-平坦模， 其中n是非負整數或∞.

定義4［9，16］" 如果存在FIn（Rop）R-＼|正合的投射R-模的正合序列

…→P1→P0→P0→P1→…，

使得MIm（P0→P0）， 則稱R-模M是投射余可解的Gorenstein FIn-平坦模， 簡稱為PGFFIn-模.

下面將PGFFInR-模的類記為PGFFIn（R）.

例2" 1） PGFFI0 R-模即為文獻［17］中的PGF R-模， 且由文獻［18］中引理5.3

知， PGFFI1（R）=PGFFI0（R）. 將PGF R-模的類記為PGF（R）.

2） 當ngt;1時， 由文獻［16］中定理3.6知， PGFFIn R-模即為文獻［16］中的Gorenstein FPn-投射R-模. 特別地， PGFFI∞

R-模即為Gorenstein AC-投射模［15］. 將Gorenstein AC-投射R-模的類記為GPac（R）.

3） 由于FI0（Rop）FI1（Rop）…FI∞（Rop）， 所以由其定義和1）知

GPac（R）=PGFFI∞（R）…

PGFFI2（R）PGFF

I1（R）=PGFFI0（R）=PGF（R）.

下面討論環的Frobenius擴張下的PGFFIn-模. 由文獻［9］中定理2.10和文獻［19］中命題1.4可知下列引理成立.

引理5" PGFFIn（R）關于擴張和直和項封閉.

命題1" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模. 若M∈PGFFI

n（S）， 則M∈PGFFIn（R）.

證明： 設M∈PGFFIn（S）， 則存在FIn（Sop）S--正合的正合序列

P： …→P1→P0→P0→P1→…，

使得MIm（P0→P0）， 其中Pi，Pi∈P（S）， i≥0. 于是有R-模的正合序列

RSSP： …→RSSP1→RSSP0→RSSP0→RSSP1→…，

使得RMIm（RSSP0→RSSP0）， 其中RSSPi，RSSPi∈P（R）， i≥0.

設E∈FIn（Rop）， 則由引理4知， ERSS是FPn-內射Sop-模. 故（ERS）SP正合. 從而由

ER（RSSP）（ERS）SP

知ER（RSSP）正合. 因此M∈PGFFIn（R）. 證畢.

命題2" 設RS是Frobenius擴張， M是R-模， 則M∈PGFFI

n（R）當且僅當SRM∈PGFFIn（S）.

證明： 必要性. 設M∈PGFFIn（R）， 則存在FIn（R）opR--正合的正合序列

P： …→P1→P0→P0→P1→…， 使得MIm（P0→P0）， 其中Pi，Pi∈P（R）. 于是有投射S-模的正合序列

SRP： …→SRP1→SRP0→SRP0→SRP1→…，

使得SRMIm（SRP0→SRP0）. 設E∈FIn（Sop）， 則由引理4知ESSR∈FIn（Rop）， 故E

S（SRP）（ESS）RP正合. 因此SRM∈PGFFIn（S）.

充分性. 設SRM∈PGFFIn（S）， 則由命題1知R（SRM）∈PGFFIn（R）. 而

RM是R（SRM）的直和項， 所以由引理5知M∈PGFFIn（R）. 證畢.

引理6" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模， E∈FIn（Sop

）. 如果M∈PGFFIn（R）， 并且ES是

HomRop（SSR，ER）的直和項， 則對任意i≥1， TorSi（E，M）=0.

證明： 因為E∈FIn（Sop）， 所以由引理4知E∈FIn（Rop）. 由于M∈PGFFIn（R），

所以TorRi（E，M）=0. 從而由

TorSi（HomRop（SSR，E），M）TorSi（ERS，M）TorRi（E，RSSM）

TorRi（E，M）

得TorSi（HomRop（SSR，E），M）=0. 因此， 由ES是HomRop（SSR，ER）的直和

項知，TorSi（E，M）=0.

定理1" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模. 如果對任意的E∈FI

n（Sop）， ES是HomRop（SSR，E）的直和項， 則M∈PGFFIn（S）當且僅當M∈

PGFFIn（R）. 特別地， 如果RS是可分Frobenius擴張， 則

M∈PGFFIn（S）當且僅當M∈PGFFIn（R）.

證明： 由命題1知只需證明充分性. 由引理6知， 對任意的E∈FIn（Sop）， 都有TorSi（E，M）=0， i≥1. 下證存在

FIn（Sop）S--正合的正合序列0→M→P0→P1→…，

其中Pi∈P（S）（i≥0）即可. 因為M∈PGFFIn（R）， 所以由命題2知

HomR（RSS，M）SRM∈PGFFIn（S），

故存在正合序列0→HomR（RSS，M）→P0→L→0，

其中P0∈P（S）， L∈PGFFIn（S）. 對SM， 有S-模的正合序列

0→MiHomR（RSS，M）→H→0，

其中i（m）（s）=sm， m∈M，" s∈S，" H=Coker（i）. 于是有如下S-模的推出圖：

注意到i作為R-同態是可裂的， 所以由引理5和命題1知， H∈PGFFIn（R）. 由命題1知

L∈PGFFIn（R）， 再由引理5知M1∈PGFFIn（R）. 由引理6知，

對任意的E∈FIn（Sop）， TorS1（E，M1）=0. 于是有FIn（Sop）S--正合的正合序列

0→M→P0→M1→0，

其中P0∈P（S）， M1∈PGFFIn（R）. 重復上述過程可得FIn（Sop）S--正合的正合序列

0→M→P0→P1→…，

其中Pi∈P（S）. 綜上， M∈PGFFIn（S）.

當RS是可分Frobenius擴張時， 由引理1知， 對任意的E∈FIn（Sop）， ES都是HomRop（SSR

，E）的直和項. 因此， 當RS是可分Frobenius擴張時， M∈PGFFIn（S）當且僅當M∈PGFFIn（R）. 證畢.

文獻［4］證明了：" 如果在R-模的正合序列0→M1→M2→M3→0中， 若M1，M2∈PGF（R）， 并且對任

意的E∈I（Rop）， 都有TorRi（E，M3）=0， 則M3∈PGF（R）成立， 從而對任意的S-模M， M∈PGF（R

）當且僅當M∈PGF（S）. 注意到當n=0時， FI0（Sop）=I（Sop）， 所以對任意的E∈

FI0（Sop）， Sop-模的序列

0→ESiHomRop（SSR，ER）→Coker i→0

總是可裂的， 即ES是HomRop（SSR，ER）的直和項. 從而由命題2、 定理1和例2可得如下推論.

推論1" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模， 則下列結論等價：

1） M∈PGF（R）;

2） M∈PGF（S）;

3） SRM∈PGF（S）.

由例2中2）和定理1可得如下推論.

推論2［4］" 設RS是可分Frobenius擴張， M是S-模， 則M∈GPac（

S）當且僅當M∈GPac（R）.

3" Frobenius擴張下的Gorenstein FIn-平坦模

定義5［9］" 設n是非負整數或∞， 如果存在FIn（Rop）R--正合的平坦R-模的正合序列

…→F1→F0→F0→F1→…，

使得MIm（F0→F0）， 則稱R-模M是Gorenstein FIn-平坦的.

下面將Gorenstein FIn-平坦R-模的類記為GFFIn（R）.

例3" 1） Gorenstein FI0-平坦R-模即為Gorenstein平坦R-模［1

9］， 并且由文獻［18］中引理5.3知， Gorenstein FI1-平坦R-模也是Gorenstein平坦R-模. 將Gorenstein平坦R-模的類記為GF（R）.

2） Gorenstein FI∞-平坦模即為文獻［20］中的Gorenstein AC-平坦模. 將Gorenstein AC-平坦模的類記為GFac（R）.

3） 由于FI0（Rop）FI1（Rop）…FI∞（Rop）， 所以

GFac（R）=GFFI∞（R）…GF

FI2（R）GFFI1（R）=GFFI0（R）=GF（R）.

由文獻［9］中例2.21可知下列引理成立.

引理7" GFFIn（R）關于擴張與直和項封閉.

類似于命題1、 命題2和定理1可證明下列結論.

定理2" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模， 考慮下列陳述：

1） M∈GFFIn（R）;

2） M∈GFFIn（S）;

3） SRM∈GFFIn（S）.

則有2）1）3）. 進一步， 如果對任意的E∈FIn（Sop）， ES是HomRop（SSR，E）的直和項， 則1）

2）3）成立. 特別地， 如果RS是可分Frobenius擴張，" 則1）2）3）.

由定理2可得下列推論.

推論3［3］" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模， 則下列結論等價：

1） M∈GF（R）;

2） M∈GF（S）;

3） SRM∈GF（S）.

推論4" 設RS是Frobenius擴張， M是S-模， 考慮下列陳述：

1） M∈GFac（R）;

2） M∈GFac（S）;

3） SRM∈GFac（S）.

則有2）1）3）. 進一步， 如果對任意的弱內射Sop-模E， 都有ES是HomRop（SSR，ER）的直和項， 則1）

2）3）成立. 特別地， 當RS是可分Frobenius擴張時， 1）2）3）成立.

參考文獻

［1］" REN W. Gorenstein Projective and Injective Dim

ensions over Frobenius Extensions ［J］. Communications in Algebra， 2018， 46（12）： 5348-5354.

［2］" ZHAO Z B. Gorenstein Homological Invariant Properties under Frobenius Extensions ［J］. Science China： Mathematics， 2019， 62（12）： 2487-2496.

［3］" HU J S， LI H H， GENG Y X， et al. Frobenius Functors an

d Gorenstein Flat Dimensions ［J］. Communications in Algebra， 2020， 48（3）： 1257-1265.

［4］" KONG F D， WU D J. Gorenstein Modules under Frobenius Exten

sions ［J］. Bulletin of the Korean Mathematical Society， 2020， 57（6）： 1567-1579.

［5］" WANG Z P， YANG P F， ZHANG R J. Ding Injective Modules over Frobenius

Extensions ［J］. Bulletin of the Korean Mathematical Society， 2021， 58（1）： 217-224.

［6］" FU D X， XU X W， ZHAO Z B. Generalized Tilting Modules and Frobeniu

s Extensions ［J］. Electronic Research Archive， 2022， 30（9）： 3337-3350.

［7］" ZHAO Z B. GC-Projectivity and Injectivity und

er Frobenius Extensions ［J］. Communications in Algebra， 2022， 50（12）： 5155-5170.

［8］" BRAVO D， PREZ M A. Finiteness Conditions and Cotor

sion Pairs ［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2017， 221（6）： 1249-1267.

［9］" ESTRADA S， IACOB A， PREZ M A. Model Structures

and Relative Gorenstein Flat Modules and Chain Complexes ［J］. Contemporary Mathematics， 2020， 751： 135＼|175.

［10］" KADISON L. New Examples of Frobenius Extensions ［M

］. Providence， RI： American Mathematical Society， 1999： 3＼|4.

［11］" REN W. Gorenstein Projective Modules and Frobenius Exten

sions ［J］. Science China： Mathematics， 2018， 61（7）： 1175-1186.

［12］" XI C C， YIN S J. Cellularity of Centrosymmetric Matrix Algebras and

Frobenius Extensions ［J］. Linear Algebra and Its Applications， 2020， 590： 317-329.

［13］" HUANG Z Y， SUN J X. Invariant Properties of Represenatio

ns under Excellent Extensions ［J］. Journal of Algebra， 2012， 358： 87-101.

［14］" GAO Z H， WANG F G. Weak Injective and Weak Flat Modules

［J］. Communications in Algebra， 2015， 43（9）： 3857-3868.

［15］" BRAVO D， GILLESPIE J， HOVEY M. The Stable Module Ca

tegory of a General Ring ［EB/OL］. （2014-05-22）［2023-04-16］. https：//arxiv.org/pdf/1405.5768.pdf.

［16］" IACOB A. Generalized Gorenstein Modules ［J］. Algebra Colloquium， 2022， 29（4）： 651-662.

［17］" AROCH J， TOVEK J. Singular Compactness and Definability for Σ-Cotorsion a

nd Gorenstein Modules ［J］. Selecta Mathematica， 2020， 26（2）： 23-63.

［18］" ESTRADA S， GILLESPIE J. The Projective Stable Category of a Coheren

t Scheme ［J］. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A， 2019， 149（1）： 15-43.

［19］" HOLM H. Gorenstein Homological Dimensions ［J］. Journal

of Pure and Applied Algebra， 2004， 189（1/2/3）： 167-193.

［20］" BRAVO D， ESTRADA S， IACOB A. FPn-Injective， FPn-Flat Covers and

Preenvelopes， and Gorenstein AC-Flat Covers ［J］. Algebra Colloquium， 2018， 25（2）： 319-334.

（責任編輯： 趙立芹）