羅巴李代數同態的形變理論

摘要： 通過構造羅巴李代數同態的上同調復形， 討論羅巴李代數同態的形式形變， 并證明當形變復形的二階上同調群為0時， 羅巴李代數同態是剛性的.

關鍵詞： 羅巴李代數; 同態; 上同調; 形變

中圖分類號： O154.2" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0473-07

Deformation Theory of Rota-Baxter Lie Algebra Homomorphisms

ZHANG Jingru， DU Lei， ZHAO Zhibing

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230601， China）

Abstract： By constructing the cohomologies complexes of Rota-Baxter Lie algebra homomorphisms， we discuss the formal deformation of Rota-Baxter

Lie algebra homomorphisms and prove that Rota-Baxter Lie algebra homomorphism is rigid when the 2th-cohomology group of the deformation complex is zero.

Keywords： Rota-Baxter Lie algebra; homomorphism; cohomology; deformation

收稿日期： 2023-11-02.

第一作者簡介： 張靜茹（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事環與代數表示論的研究， E-mail： 1263309153@qq.com. 通信作者簡介： 杜磊（1989—）， 男， 漢族， 講師， 從事環與代數表示論的研究， E-mail： 20060@ahu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12371015）和安徽省教育廳重點項目（批準號： 2023AH050059）.

目前， 關于代數形變理論的研究已有很多結果. Gerstenhaber［1］研究了結合代數的上同調理論； Nijenhuis等［2-3］

研究了李代數和分次李代數的上同調理論. 近年來， 形變理論的研究已發展到帶線性算子的代數結構上. 例如： Tang等［4］研究了李代數上的羅巴算子; Das［5］將其發展到結合代數上; N

ijenhuis等［6］考慮了代數同態的形變; Gerstenhaber等［7-8］給出了一個上同調比較定理（CCT）， 用于研究結合代數和代數同態的同時形變. 關于代數同態形變的研

究目前也得到了很多成果. 例如： Frégier［9］提出了李代數同態形變的一個新的上同調理論， 討論了兩個李代數的同時形變以及它們之間

的同態; Yau［10］研究了余代數同態的形變理論; Das［11］構造了李代數同態的上同調復形， 并研究了李代數同態的Abel擴張.

羅巴算子由Baxter［12］首次提出； Rota［13-14］將其應用到代數和組合學中； Semenov-Tyan-Shanskii［15］

研究表明， 二次李代數上的反對稱經典Yang-Baxter方程的算子即為李代數上權為0 的羅巴算子; 文獻［16-17］

研究了任意權的羅巴算子（也稱為加權羅巴算子）; 文獻［18］研究了李群上權為1 的羅巴算子的上同調理論; Das［19］研究了加權羅巴李代數的上同調和形變理論， 并指出當

權為0 時， 其上同調與文獻［20］中引入的上同調一致.

本文考慮羅巴李代數同態的形變， 將代數同態的形變理論推廣到羅巴李代數同態的情形， 構造控制羅巴李代數同態形變的上同調復形， 并用構造出的上同調復形研究其形變問題. 除特

別說明外， 本文中的線性空間、 線性映射、 Hom均定義在特征為0的域F上.

1" 羅巴李代數同態的上同調

定義1［21］" 設A是一個李代數.

1） 如果線性映射T： A→A滿足

［T（x），T（y）］=T（［T（x），y］+［x，T（y）］+λ［x，y］），" x，y∈A，（1）

則稱T是一個權為λ的羅巴算子;

2） 稱李代數A和權為λ的羅巴算子T組成的二元組（A，T）是一個權為λ的羅巴李代數.

定義2［19］" 設（A，TA），（B，TB）是權為λ的羅巴李代數. 如果線性映射： A→B是李代數同態， 并滿

足TA=TB， 則稱是從（A，TA）到（B，TB）的羅巴李代數同態.

記RBλ是權為λ的羅巴李代數的范疇， 定義2中的映射即為該范疇中的態射.

定義3［19］" 設（A，T）是一個權為λ的羅巴李代數. 若M是李代數A上的模， 且TM： M→M滿足

T（x）·TM（m）=TM（T（x）·m+x·TM（m）+λx·m），" x∈A，" m∈M，（2）

則（M，TM）稱為（A，T）上的羅巴李模.

顯然， （A，T）是其自身上的李模.

定義4" 設（M，TM）和（N，TN）是羅巴李代數（A，T）上的羅巴李模. 如果線性映射f： M→N是李模同態， 并滿足TNf=fTM， 則稱f是一個（A，T）-模同態.

命題1［19］" 設（A，T）是一個權為λ的羅巴李代數， 則有以下結論：

1） ［A，［-，-］☆A］是一個李代數， 其中

［x，y］☆A=［T（x），y］+［x，T（y）］+λ［x，y］，" x，y∈A，（3）

記該李代數為A☆.

2） （A☆，T）是權為λ的羅巴李代數， 且映射T： A☆→A是從（A☆，T）到（A，T）的羅巴李代數同態.

命題2［19］" 設（A，T）是權為λ的羅巴李代數， 且（M，TM）是（A，T）上的羅巴李模. 定義左作用如下： 對任意的x∈A， m∈M， 有

xm∶=T（x）·m-TM（x·m），（4）

則該作用使M成為A☆上的李模， 記為M.

文獻［11］考慮了李代數同態： 設〈A，B，〉為李代數同態， 若M是A上的模， N是B上的模， ψ： M→N是線性映射并滿足ψ（x·m）=（x）·ψ（m）， x∈A， m∈M， 則〈M，N，ψ〉

稱為李-模. 定義一個新作用·*： A×N→N， （x， n）x·*n=

（x）·n， 則N為李代數A上的模， 記為N.類似地， 設： （A，TA）→（B，TB）是權為λ的羅巴李代數同態， 若（M，TM）是（A，TA）上的李模， （N，TN）是（B，TB）上的李模， 且

ψ： （M，TM）→（N，TN）為一個（A，TA）-模同態， 則〈M，N，ψ〉稱為一個羅巴李-模， （N，TN）即可視為羅巴李代數（A，TA）上的李模.

定理1" 設： （A，TA）→（B，TB）是一個權為λ的羅巴李代數同態， 則： （A☆，TA）→（B☆，TB）為羅巴李代數同態.

證明： 只需證保持乘法運算. 事實上， 設x1，x2∈A， 則

（［x1，x2］☆A）=" （［TA（x1），x2］+［x1，TA（x2）］+λ［x1，x2］）=

［TA（x1），（x2）］+［（x1），TA（x2）］+λ［（x1），（x2）］=" ［TB（x1），（x2）］+［（x1），TB（x2）］+λ［（x1）

，（x2）］=［（x1），（x2）］☆B.

因此， ： （A☆，TA）→（B☆，TB）是羅巴李代數同態. 證畢.

為區分： （A，TA）→（B，TB）， 本文將： （A☆，TA）→（B☆，TB）記為☆.

定理2" 設ψ： （M，TM）→（N，TN）是（A，TA）-模同態， 則ψ： （M，TM）→（N，TN）是（A☆，TA）-模同態.

證明： 由命題2知， M，N為（A☆，TA）-模， 只需證ψ： （M，TM）→（N，TN）為（A☆，TA）-模同態. 因為TNψ=ψTM， 從而對x∈A， m∈M， 有

ψ（xm）=" ψ（TA（x）·m-TM（x·m））=ψ（TA（x）·m）-ψTM（x·m）=" TA（x）·ψ（m）-TNψ（x·m）

=TA（x）·ψ（m）-TN（x·ψ（m））=xψ（m）.

因此， ψ是（A☆，TA）-模同態. 證畢.

設： （A，TA）→（B，TB）為羅巴李代數同態， 且〈M，N，ψ〉為羅巴李-模. 由定理2知， ψ： （M，TM）→（N，TN）是一個（A☆，TA）-模同態， 即〈

M，N，ψ〉為羅巴李☆-模. 為與〈M，N，ψ〉區分， 本文將其記為〈M，N，ψ☆〉.

設A是一個李代數， M是A上的李模. A的系數在M上的Chevall

ey-Eilenberg上鏈復形為{C·CE（A，M），δ·CE1}， 其中CnCE（A，M）=Hom（∧nA，M）， n≥0. 微分映射δnCE1： CnCE

（A，M）→Cn+1CE（A，M）定義為

（δnCE1f）（x1，…，xn+1）=∑n+1i=1（-1）i+nxi·f（x1，…，i，…，xn+1

）+∑1≤ilt;j≤n+1（-1）i+j+n+1f（［xi，xj］，x1，…，i，…，j，…，xn+1）.

對f∈CnCE（A，M）， x1，…，xn+1∈A.

復形{C·CE（A，M），δ·CE1}的上同調稱為A的系數在M上的Chevalley-Eilenberg上同調， 記為H·（A，M）.

定義5［19］" 設（A，T）是一個權為λ的羅巴李代數， （M，TM）是（A，T）上的模. 對任意的n≥0， 定義

CnCE（A☆，M）=Hom（∧nA，M）， nCE： CnCE（A☆，M）→Cn+1CE（A☆，M），

則上鏈復形{C·CE（A☆，M），·CE}稱為羅巴算子T的系數在（M，TM）上的上鏈復形.設〈A，B，〉為一個李代數同態， 且〈M，N，ψ〉是〈A，

B，〉上的模， 則存在如下3個上鏈復形.

1） {C·CE（A，M），δ·CE1}： A的系數在M上的Chevalley-Eilenberg復形;

2） {C·CE（B，N），δ·CE2}： B的系數在N上的Chevalley-Eilenberg復形;

3） {C·CE（A，N），δ·CE3}： A的系數在N上的Chevalley-Eilenberg復形.

命題3［19］" 設（A，T）是一個權為λ的羅巴李代數， 且（M，TM）是（A，T）上的羅巴李模. 映射Φ·： C

·CE（A，M）→C·CE（A☆，M）定義如下：

1） Φ0=IdM;

2） 當n≥1且f∈CnCE（A，M）時， Φn（f）∈CnCE（A☆，M）為

Φn（f）（x1，…，xn）=f（T（x1），…，T（xn））-∑n-1k=0λn-k-1∑i1lt;…lt;ik

TMf（x1，…，T（xi1），…，T（xik），…，xn）.

則Φn為一個鏈映射， 即nCEΦn=Φn+1δnCE1， n≥0.

定義6［19］" 羅巴李代數系數在其模上的上鏈復形{C·RBλ（A，M），δ·RB}定義為

CnRBλ（A，M）=C0CE（A，M），n=0，CnCE（A，M）Cn-1CE（A

*，M），n≥1.

映射δnRB： CnRBλ（A，M）→Cn+1RBλ（A，M）定義為

δ0RB（f）=（δ0CE（f），-f），" f∈C0RBλ（A，M）;

δnRB（f，g）=（δnCE1（f），n-1CE（g）-Φn（f）），" f∈CnCE（A，M），" g∈Cn-1CE（A☆，M）.

記{C·RBλ（A，M），δ·RB}的上同調群為H·RBλ（A，M）.文獻［11］研究了李代數同態的上同調

理論： 設： A→B是一個李代數同態， 且〈M，N，ψ〉是一個-模， 的系數在〈M，N，ψ〉中的上鏈復形為C·MLA（，ψ）， 其中

CnMLA（，ψ）=0，nlt;0，

C0CE（A，M）C0CE（B，N），n=0，

CnCE（A，M）CnCE（B，N）Cn-1CE（A，N），n≥1.

映射δnMLA： CnMLA（，ψ）→Cn+1MLA（，ψ）定義為

δnMLA（f，g，h）=（δnCE1（f），δnCE2（g），ψf-g∧n-δn-1CE3（h））.

設： （A，TA）→（B，TB）是權為λ的羅巴李代數同態， 且〈M，N，ψ〉為一個羅巴李-模， 則〈M，N，ψ☆〉是羅巴李☆

-模. 因此， 可構造如下的鏈映射.

命題4" 設C·MLA（，ψ）是的系數在ψ上的Chevalley-Eilenberg上鏈復形，

C·MLA（☆，ψ☆）是☆的系數在ψ☆上的Chevalley-Eilenberg上鏈復形. 定義映射π·： C·MLA（，ψ）→C·MLA（☆，ψ☆）如下：

1） π0： C0MLA（，ψ）→C0MLA（☆，ψ☆）為恒等映射;

2） 當n≥1時， πn： CnMLA（，ψ）→CnMLA（☆，ψ☆）定義為

πn（f，g，h）=（Φn（f），Φn（g），Φn-1（h））.

這里， f∈CnCE（A，M）， g∈CnCE（B，N）， h∈Cn-1CE（A，N）.

則π·是一個鏈映射.

證明： 只需證對任意的（f，g，h）∈CnMLA（，ψ）， 有

πn+1δnMLA（f，g，h）=δnMLAπn（f，g，h）.

事實上， 由于Φ·是一個鏈映射， 故有

πn+1δnMLA（f，g，h）=" （Φn+1（δnCE1（f）），Φn+1（δnCE2（g）），Φn（ψf-g∧n-δn-1CE3（h）））=

（nCE（Φn（f）），nCE（Φn（g）），Φn（ψf）-Φn（g∧n）-n-1CE（Φn-1（h）））.

因此只需證Φn（ψf）=ψ（Φn（f））， Φn（g∧n）=（Φn（g））∧n. 由假設可得

Φn（ψf）（x1，…，xn）=" （ψf）（T（x1），…，T（xn））-" ∑n-1k=0λn-k-1

∑i1lt;…lt;ikTNψf（x1，…，T（xi1），…，T（xik），…，xn）=" （ψf）（T（x1），…，T（xn））

-" ∑n-1k=0λn-k-1∑i1lt;…lt;ikψTMf（x1，…，T（xi1），…，T（xik），…，xn）

=" ψΦn（f）（x1，…，xn）.

同理可得Φn（g∧n）=（Φn（g））∧n. 證畢.

下面定義羅巴李代數同態系數在其模上的上鏈復形.

定義7" 設π·： C·MLA（，ψ）→C·MLA（☆，ψ☆）是命題

4中的鏈映射， 將映射錐cone（π·）定義為羅巴李代數同態的系數在ψ上的上鏈復形C·morλ（，ψ）， 即：

1） C0morλ（，ψ）=C0MLA（，ψ）;

2） 當n≥1時， Cnmorλ（，ψ）=CnMLA（，ψ）Cn-1

MLA（☆，ψ☆）， 微分映射ρn： Cnmorλ（，ψ）→Cn+1morλ（，ψ）定義為

ρn（（f1，g1，h1），（f2，g2，h2））=" （δnMLA（f1，g1，h1），-δn-1MLA（f2，g2，h

2）-πn（f1，g1，h1））=" （（δnCE1（f1），δnCE2（g1），ψf1-g1∧n-δn-1CE3（h1）），

（-δn-1CE1（f2）-Φn（f1），-δn-1CE2（g2）-Φn（g1），" -ψf2+g2∧n-1+δn-2CE3（h2）-Φn-1（h1））），（5）

其中（f1，g1，h1）∈CnMLA（，ψ）， （f2，g2，h2）∈Cn-1MLA（☆，ψ☆）.

記{C·morλ（，ψ），ρ·}的上同調群為H·morλ（，ψ）.

2" 羅巴李代數同態的形變

下面討論羅巴李代數同態的形式形變， 并用復形的二階上同調刻畫羅巴李代數同態形變的剛性問題.

設（A，μA，TA）和（B，μB，TB）是權為λ的羅巴李代數， 且： （A，TA）→（B，TB）是羅巴李代數同態. 記X={A，B}， 定義：

μX，t=∑∞i=0μX，iti， μX，0=μX;

TX，t=∑∞i=0TX，iti， TX，0=TX; t=∑∞i=0iti， 0=.

若（A［［t］］，μA，t，TA，t）和（B［［t］］，μB，t，TB，t）是權為λ的F［［t］］-羅巴李代數， 且t： （A［［t］］，μA，t，TA

，t）→（B［［t］］，μB，t，TB，t）是羅巴李代數同態， 則（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）稱為羅巴李代數同態： （A，TA）→（B，TB）的單參數形式形變.

冪級數（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）是： （A，TA）→（B，TB）的單參數形式形變當且僅當對任意的a1，b1，c1∈A， a2，b2，c2∈B， 下列等式成立：

μA，t（a1，μA，t（b1，c1））=-μA，t（b1，μA，t（c1，a1））-μA，t（c1，μA，t（a1，b1）），

μA，t（TA，t（a1），TA，t（b1））=TA，t（μA，t（TA，t（a1），b1）+μA，t（a1，TA，t（b1））+λμA，t（a1，b1）），

μB，t（a2，μB，t（b2，c2））=-μB，t（b2，μB，t（c2，a2））-μB，t（c2，μB，t（a2，b2）），

μB，t（TB，t（a2），TB，t（b2））=TB，t（μB，t（TB，t（a2），b2）+μB，t（a2，TB，t（b2））+λμB，t（a2，b2）），

t（μA，t（a1，b1））=μB，t（t（a1），t（b1）），TB，tt（a1）=tTA，t（a1）.

展開上述等式， 并比較tn的系數， 可得

∑i+j=nμX，i（ax，μX，i（bx，cx））=-∑i+j=n

μX，i（bx，μX，j（cx，ax））-∑i+j=nμX，i（cx，μX，j（ax，bx）），（6）

∑i+j+k=nμX，i（TX，j，TX，k）=" ∑i+j+k=nTX，iμX，j（TX，k，Id）+" ∑i+j+k=nTX，iμ

X，j（Id，TX，k）+λ∑i+j=nTX，iμX，j，（7）

∑i+j=niμA，j=∑i+j+k=nμB，j（j，k），（8）

∑i+j=niTA，j=∑i+j=nTB，ij.（9）

命題5" 設（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）是羅巴李代數同態： （A，TA）→（B，TB）的單參數形式形變， 則（（μA，1，μ

B，1，1），（TA，1，TB，1，0））是上鏈復形C·morλ（，）中的一個2-上閉鏈.

證明： 只需證ρ2（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0））=0. 由定義7得

ρ2（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0））=" （（δ2CE1（μA，1），δ2CE2（μB，1），μA，1-μB，1

∧2-δ1CE3（1）），" （-δ1CE1（TA，1）-Φ2（μA，1），-δ1CE1（TB，1）-Φ2（μB，1），" -TA，1

+TB，1 -Φ1（1）））.

由文獻［11］中關于李代數同態的形變和文獻［19］中關于羅巴李代數形變的結論可知， 只需證

-TA，1+TB，1-Φ1（1）=0.

當n=1時， 式（9）等同于

TA，1+1TA=TB1+TB，1，

即-TA，1+TB，1-Φ1（1）=0.

故（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0））是上鏈復形C·morλ（，）中的一個2-上閉鏈. 證畢.

定義8" 設（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）為羅巴李代數同態： （A，

TA）→（B，TB）的單參數形式形變， 則2-上閉鏈（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0））稱為一個無窮小形變.

設： （A，TA）→（B，TB）是一個羅巴李代數同態， （μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）和（μ′A，t，T′

A，t，μ′B，t，T′B，t，′t）是

兩個單參數形式形變， 則（μ′A，t，T′A，t，μ′B，t，T′B，t，

′t）到（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）的一個形式同構是兩個冪級數（FA，t，FB，t）：

FA，t=∑∞i=0FA，iti： A［［t］］→A［［t］］，" FA，i∈Hom（A，A），" FA，0=IdA，

FB，t=∑∞i=0FB，iti： B［［t］］→B［［t］］，" FB，i∈Hom（B，B），" FB，0=IdB，

使得下列等式成立：

FX，tμ′X，t=μX，t（FX，t，FX，t），（10）

FX，tT′X，t=TX，tFX，t，（11）

tFA，t=FB，t′t.（12）

若存在形式同構FX，t： X［［t］］→X［［t］］， 則稱單參數形式形變（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）和

（μ′A，t，T′A，t，μ′ B，t，T′B，t，′t）是等價的.

命題6" 羅巴李代數同態： （A，TA）→（B，TB）的兩個等價單參數形式形變的無窮小形變屬于同一個上同調類.

證明： 設（FA，t，FB，t）是從（μ′A，t，T′A，t，μ′B，t，T′B，t，′t）到（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）的形式同構， X={A，B}， 則有

μ′X，1=μX，1+μX（FX，1，Id）+μX（Id，FX，1）-FX，1μ′X，

T′X，1=TX，1+TXFX，1-FX，1T′X，

′1=1+FA，1-FB，1′，

即

（（μ′A，1，μ′B，1，′1），（T′A，1，T′B，1，0）

）-（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0））=ρ1（FA，1，FB，1）.

證畢.

定義9" 設： （A，TA）→（B，TB）是一個羅巴李代數同態， 若的任意單參數形式形變等價于（μA，TA，μB，TB，）， 則稱是剛性的.

定理3" 設： （A，TA）→（B，TB）是羅巴李代數同態. 若H2morλ（，）=0， 則是剛性的.

證明： 設（μA，t，TA，t，μB，t，TB，t，t）是羅巴李代數同態： （A，TA）→（B，TB）的一個單參數形式形變， 則（（μA，1，μB，1，1

），（TA，1，TB，1，0））是2-上閉鏈. 由題意可知H2morλ（，）=0， 從而存在（（F′1，G′1，b），（a1，b

1））∈C1morλ（，）， 使得

ρ1 （（F′1，G′1，b），（a1，b1））=（（μA，1，μB，1，1），（TA，1，TB，1，0）），

即

μA，1（x，y）=［x，F′1（y）］-［y，F′1（x）］-F′1（［x，y］），x，y∈A，

μB，1（x，y）=［x，G′1（y）］-［y，G′1（x）］-G′1（［x，y］），x，y∈B，

1（x）=F′1（x）-G′1（x）-［b，（x）］+［（x），b］，x∈A，

TA，1（x）=-Φ1（F′1+δ0CE1（a1）），x∈A，

TB，1（x）=-Φ1（G′1+δ0CE2（b1）），x∈B，b=b1-（a1）.

定義F1=F′1+δ0CE1（a1）， G1=G′1+δ0CE2（b1），

Ft=IdA+F1t， Gt=IdB+G1t. 單參數形式形變（μ′A，t，T′A，t，μ′B，t，T′B，t，′t）滿足

μ′A，t=F-1tμA，t（Ft，Ft），" T′A，t=F-1tTA，tFt，

μ′B，t=G-1tμB，t（Gt，Gt），" T′B，t=G-1tTB，tGt，

′t=G-1ttFt.

因此有

μ′X，t=μX+μ′X，2t2+…，" T′X，t=TX+T′X，2t2+…，

′t=+（G1+1-F1）t+′2t2+….

對a∈A， 有

（G1+" 1-F1）（a）=G1（a）+1（a）-F1（a）=" G′1（a）+δ0CE2

（b1）（a）+F′1（a）-G′1（a）-［b，（a）］+" ［（a），b］-F′

1（a）-δ0CE1（a1）（a）=" ［b1，（a）］-［（a），b1］-［b，（a）］+［（a），b］-（a1·a-a·a1）

=" ［b1，（a）］-［（a），b1］-［b，（a）］+［（a），b］-［（a1），（a）］+［（a），（a1）］

=" ［b1-b-（a1），（a）］-［（a），b1-b-（a1）］=0，

從而′t=+′2t2+….

進一步， 可以驗證（（μ′A，2，μ′B，2′2），（T′A，2，T′B，2，0））也是2-上閉鏈. 最后， 使用歸納法可知其等價于一個平凡形變. 因此， ： （A，TA）→（B，TB）是剛性的. 證畢.

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（責任編輯： 李" 琦）