對平行線中“拐點(diǎn)”問題的探索與思考

劉夏天

在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)性質(zhì)時，我發(fā)現(xiàn)有一類題目經(jīng)常出現(xiàn)。在平行線之間或者外部添加一個“拐點(diǎn)”，將這個點(diǎn)與兩條平行線上的點(diǎn)連接，會出現(xiàn)很多角，這些角區(qū)別于我們所學(xué)的同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角，但它們之間又有一定的潛在關(guān)系。因此，我想將這些關(guān)系整理下來，與大家分享。

類型1 已知，如圖1，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數(shù)量關(guān)系。

該類型與上一篇文章《平行線中的魔法》的問題1是一樣的。拐點(diǎn)C 在兩條平行線之間，我們可以過點(diǎn)C，構(gòu)造AB、ED 的平行線CF，如圖2，使∠BCD 分成∠BCF 與∠FCD，隨后可以發(fā)現(xiàn)∠BCF、∠FCD 分別與∠ABC、∠CDE 是內(nèi)錯角的關(guān)系，利用平行線的性質(zhì)，可以得到∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠ABC+∠CDE。

類型2 已知，如圖3，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數(shù)量關(guān)系。

該類型中，拐點(diǎn)C 也在兩條平行線之間，但點(diǎn)B、C、D 之間的位置關(guān)系與類型1稍微有些不同，我們?nèi)匀豢梢杂妙愋?的方法，過點(diǎn)C 構(gòu)造平行線FC，如圖4，但此時∠BCF、∠FCD 分別與∠ABC、∠CDE 是同旁內(nèi)角的關(guān)系，可以得到∠BCF+ ∠ABC=180° ，∠FCD+ ∠CDE=180° 。因此，∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠FCD+∠CDE=180°+180°=360°。

類型3 已知，如圖5，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數(shù)量關(guān)系。

該類型中，拐點(diǎn)C 在兩條平行線之外，當(dāng)然，我們也可以用類型1與類型2的方法，作平行線來解決，但我認(rèn)為有更簡單的方法。此圖形中有一個現(xiàn)成的三角形，不妨設(shè)AB 與CD 的交點(diǎn)為點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)，可得∠CDE=∠CFA，而∠CFA 又是△CFB 的外角，可以得到∠CFA= ∠ABC+ ∠BCD，因此，∠CDE=∠ABC+∠BCD。

以上三個類型的基本題型，就是我通過對平行線中“拐點(diǎn)”問題的探索與思考后，整理出來的。經(jīng)過這番整理與總結(jié)，我感覺自己對這類題目有了更深的理解。

教師點(diǎn)評

在學(xué)習(xí)幾何的過程中，對問題進(jìn)行總結(jié)與提煉，并歸納成基本題型，是對大家抽象思維和概括能力的鍛煉，也能讓大家在做題時有更靈活的思維。期待同學(xué)們能夠在練習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)更多的基本圖形，并能夠自我創(chuàng)新，對基本題型進(jìn)行改編，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（指導(dǎo)教師：許歆余）