基于理性擴(kuò)展熱力學(xué)的LS熱聲彈性理論框架

摘要：本文基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和理性擴(kuò)展熱力學(xué)分析流程，將LS（Lord and Shulman）熱彈性理論與聲彈性理論相結(jié)合，建立LS熱聲彈性理論的基本框架，包括運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)與熱力學(xué)、本構(gòu)方程與演化方程、基本場方程四部分。在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，區(qū)分了Lagrange描述和Euler描述，以及3種不同的狀態(tài)和構(gòu)形，同時(shí)針對(duì)熱聲彈性情況定義了兩類從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過程；在力學(xué)與熱力學(xué)部分，給出了質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律以及熵產(chǎn)不等式，從而引出經(jīng)典不可逆熱力學(xué)的局限性；在本構(gòu)方程與演化方程部分，介紹了擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)原理，并基于理性擴(kuò)展熱力學(xué)流程，推導(dǎo)了從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)、從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的熱聲彈性本構(gòu)方程與演化方程，將熱流作為本構(gòu)自變量并考慮了熱流與應(yīng)變和溫度的相關(guān)性；在最后一部分給出了基本場方程的運(yùn)動(dòng)方程形式和適用于數(shù)值模擬的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程。

關(guān)鍵詞：LS理論；熱彈性；聲彈性；連續(xù)介質(zhì)力學(xué)；理性擴(kuò)展熱力學(xué)

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230002

中圖分類號(hào)：P631.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

隨著對(duì)地球深層非常規(guī)油氣資源、深部礦產(chǎn)資源以及深部地?zé)豳Y源勘探需求和開采深度的增加，復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播的物理機(jī)制研究所要考慮的因素也越來越多。在這些因素之中，溫度和壓力的變化對(duì)地震波傳播特性的影響一直是研究的熱點(diǎn)5]。前人為了分別研究彈性波傳播特性與溫度變化、壓力變化的關(guān)系，引入了熱彈性理論11]和聲彈性理論[16]。

熱彈性理論研究物體在彈性范圍內(nèi)溫度變化和應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于熱彈性理論而言，熱傳導(dǎo)過程自發(fā)且不可逆，與熵產(chǎn)有關(guān)，等溫和絕熱條件假設(shè)不復(fù)存在，本構(gòu)關(guān)系除了應(yīng)力和應(yīng)變之外還需要考慮溫度和熵之間的關(guān)系；因?yàn)榻?jīng)典熱力學(xué)理論僅對(duì)熱平衡狀態(tài)有效，不足以描述熱彈性過程，所以需要利用不可逆過程的熱力學(xué)21]來描述。Biot基于不可逆熱力學(xué)原理和傅里葉熱傳導(dǎo)定律，開創(chuàng)了耦合熱彈性理論，為熱彈性理論的快速發(fā)展和應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。然而，由于傅里葉熱傳導(dǎo)定律是擴(kuò)散方程，導(dǎo)致熱傳輸方程是拋物型方程，從而產(chǎn)生熱傳播速度無窮大的悖論。為克服這一悖論，實(shí)現(xiàn)有限的熱傳播速度（即第二聲效應(yīng)），一些學(xué)者提出了廣義熱彈性理論，如對(duì)LS（Lord-Shulman）理論、GL（Green-Lindsay）理論、GN（Green-Naghdi）理論等進(jìn)行研究。其中，LS理論基于修正的傅里葉定律，即Maxwell-Cattaneo-Vernotte（MCV）方程27]，通過引入一個(gè)時(shí)間常數(shù)（熱流弛豫時(shí)間）來表示建立熱傳導(dǎo)穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間延遲，使對(duì)應(yīng)的熱傳輸方程是一個(gè)雙曲型方程，熱傳播具有了波動(dòng)性質(zhì)。盡管MCV方程是允許第二聲效應(yīng)的最簡單、最經(jīng)典的方程，然而，它從拋物型方程到雙曲型方程的轉(zhuǎn)變過程并不嚴(yán)格；這是因?yàn)椴豢赡鏌崃W(xué)沿用了可逆熱力學(xué)的局部平衡假設(shè)，即熱力學(xué)過程的任一時(shí)刻熵產(chǎn)都為正。但在實(shí)際情況中，熵是以振蕩的形式表現(xiàn)的，而非單調(diào)遞增。當(dāng)熱力學(xué)過程時(shí)間與分子碰撞中的弛豫時(shí)間或電子、聲子之間微尺度熱化時(shí)間相當(dāng)時(shí)，熱力學(xué)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變以快速瞬態(tài)形式發(fā)生，在此過程中熱力學(xué)“狀態(tài)”在移動(dòng)之前，可能沒有足夠的時(shí)間達(dá)到熱力學(xué)平衡。結(jié)果，熱力學(xué)過程變得不可逆，因此局部平衡假設(shè)失去依據(jù)，必須擴(kuò)展經(jīng)典不可逆熱力學(xué)的框架，從宏觀擴(kuò)展到介觀狀態(tài)，來解釋快速瞬態(tài)效應(yīng)和短時(shí)響應(yīng)的不可逆性，從根本上消除傅里葉熱傳導(dǎo)定律導(dǎo)致的悖論。

20世紀(jì)60年代以來，處理連續(xù)介質(zhì)的理性熱力學(xué)（rational thermodynamics， RT）提出31]，要求Clausius-Duhem不等式必須對(duì)質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律和本構(gòu)方程的所有解成立，通過Coleman-Noll流程，Clausius-Duhem不等式可以作為本構(gòu)函數(shù)通用性的約束，局部平衡不再需要作為先驗(yàn)假設(shè)。理性熱力學(xué)充分利用了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的物質(zhì)標(biāo)架無差異原則，使本構(gòu)函數(shù)必須不包含慣性項(xiàng)，熱力學(xué)只需確定傳輸系數(shù)的不等式（如熱導(dǎo)率）。Truesdell34]視理性熱力學(xué)為非平衡熱力學(xué)的真正開端。理性熱力學(xué)用良好的論據(jù)和對(duì)基本原理的澄清豐富了熱力學(xué)，適當(dāng)強(qiáng)調(diào)了熵不等式對(duì)本構(gòu)函數(shù)形式起到的限制性作用。還有一個(gè)明確的聲明，即熵不等式必須對(duì)所有的熱力學(xué)過程（即場方程的解）都成立，從而，通過將熵流視為先驗(yàn)的、與熱流無關(guān)的本構(gòu)量，為將Clausius-Duhem不等式修改為真正的熵不等式提供了動(dòng)力36]，并且通過引入Lagrange乘子來利用熵不等式。這種改進(jìn)，即Müller-Liu流程，成為理性擴(kuò)展熱力學(xué)（rational extended thermodynamics， RET）的重要組成部分。Müller和Liu的理性擴(kuò)展熱力學(xué)填補(bǔ)了理性熱力學(xué)與氣體動(dòng)力學(xué)之間的空白。

擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)（extended irreversible thermodynamics， EIT）40]是在經(jīng)典不可逆熱力學(xué)的傳統(tǒng)之下，用耗散通量作為獨(dú)立變量的熱力學(xué)理論。對(duì)于熱彈性固體，經(jīng)典不可逆熱力學(xué)變量包括內(nèi)能、密度、變形張量、絕對(duì)溫度、熵等，而擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)添加了熱流以及熱流通量（flux of heat-flux）作為獨(dú)立變量。Machlup等發(fā)展了取決于通量的廣義熵假設(shè)，這構(gòu)成了擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)的基本假設(shè)。Nettleton提出了一種更直接應(yīng)用于流體的公式。Müller36]受分子運(yùn)動(dòng)論的啟發(fā)，獨(dú)立地提出了類似的模型。隨后，Lambermont等重新發(fā)現(xiàn)了熱傳導(dǎo)的廣義Gibbs方程。1976年以后，廣義熵假設(shè)開始得到廣泛認(rèn)可和接受，激發(fā)了許多研究48]，Jou等50]和Sieniutycz等對(duì)這些后續(xù)的研究進(jìn)行了綜述。Jou等提出了擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)的理性版本，也稱之為理性擴(kuò)展熱力學(xué)，這與Müller和Liu提出的理性擴(kuò)展熱力學(xué)存在密切聯(lián)系。

聲彈性理論基于有限變形連續(xù)介質(zhì)力學(xué)54]，從宏觀唯象角度研究固體應(yīng)力狀態(tài)與彈性波速度之間的關(guān)系。在存在初始應(yīng)力的固體中，彈性波速度不僅取決于材料的密度、二階和三階彈性常數(shù)，還與固體的初始應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。聲彈性理論的發(fā)展源于測量晶體三階彈性常數(shù)和多晶材料殘余應(yīng)力的需要，后來，隨著超聲波原理與技術(shù)應(yīng)用于測量三階彈性常數(shù)，聲彈性理論逐漸成形[16，57]。

已經(jīng)有一些學(xué)者研究過應(yīng)力場和熱場的耦合作用。早期的研究基于有限變形彈性理論和耦合熱彈性理論，不涉及高階彈性常數(shù)66]。后來Iesan69]基于這些研究發(fā)展了預(yù)應(yīng)力作用下的線性熱彈性理論和非線性熱彈性理論。之后又有一些學(xué)者發(fā)展了預(yù)應(yīng)力熱彈性動(dòng)力學(xué)理論74]。隨著三階彈性理論和聲彈性理論的發(fā)展成形，一些學(xué)者在這些理論框架下考慮熱效應(yīng)78]。最近，Chen等基于聲彈性理論和GL熱彈性理論，建立了聲熱彈性模型。但截至目前，尚未有學(xué)者將擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)原理引入預(yù)應(yīng)力作用下的熱彈性理論。

本文基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和理性擴(kuò)展熱力學(xué)分析流程，將LS熱彈性理論與聲彈性理論相結(jié)合，建立LS熱聲彈性（thermoacoustoelasticity， TAE）理論的基本框架，包括運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)與熱力學(xué)、本構(gòu)方程與演化方程、基本場方程四部分。基于理性擴(kuò)展熱力學(xué)流程，推導(dǎo)了從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)、從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的熱聲彈性本構(gòu)方程與演化方程，將熱流作為本構(gòu)自變量并考慮了熱流與應(yīng)變和溫度的相關(guān)性；給出了基本場方程的運(yùn)動(dòng)方程形式和適用于數(shù)值模擬的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程，包括等溫形式的方程和絕熱形式的方程，并基于基本場方程進(jìn)行了平面波分析。

1LS熱聲彈性理論框架

在聲彈性理論中，根據(jù)彈性體機(jī)械變形狀態(tài)，可以定義3種狀態(tài)：自然狀態(tài)、初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，關(guān)于問題的描述，詳見附錄A.1。在熱聲彈性情況下，我們除了考慮3種機(jī)械變形狀態(tài)之外，還需考慮與之耦合的熱狀態(tài)，即溫度、熵、熱流的狀態(tài)。Gurtin等指出，如果溫度為T（上標(biāo)代表參考狀態(tài)）的參考構(gòu)形對(duì)所有擾動(dòng)漸進(jìn)穩(wěn)定，則物體最終應(yīng)該在T松弛到未變形的狀態(tài)，而T同時(shí)也是熱力學(xué)平衡態(tài)溫度，即E→0，T→T（E為應(yīng)變，T為溫度）。此時(shí)的參考構(gòu)形中沒有應(yīng)力，彈性張量是對(duì)稱半正定張量，比熱容非負(fù)。這一參考構(gòu)形被稱為自然參考構(gòu)形。在接下來的熱聲彈性理論中，我們定義自然狀態(tài)為無初始應(yīng)力和初始應(yīng)變、無初始熱流、系統(tǒng)處于熱平衡、溫度保持為自然溫度T的狀態(tài)。從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的過程可以暫且分為比較簡單的兩類，而初始狀態(tài)也相應(yīng)地存在兩類情況。

第一類過程（Type Ⅰ）：加載熱彈性力（固定大小和方向的純機(jī)械力和/或輸入熱源），由于在熱彈性模型中機(jī)械作用和熱作用耦合，因此產(chǎn)生初始應(yīng)力、應(yīng)變、熵變、溫度梯度、熱流，系統(tǒng)構(gòu)形改變；假設(shè)在初始狀態(tài)已經(jīng)達(dá)到熱平衡，溫度梯度和熱流消失。因此可以定義第一類初始狀態(tài)：只有初始應(yīng)力、初始應(yīng)變、初始熵和恒定初始溫度已知，沒有初始熱流和溫度梯度分布的初始狀態(tài)。這個(gè)定義有些類似于傳熱學(xué)的第一類邊界條件，即在邊界上給定了溫度值。

第二類過程（Type Ⅱ）：加載熱彈性力，產(chǎn)生初始應(yīng)力、應(yīng)變、熵變、溫度梯度、熱流，系統(tǒng)構(gòu)形改變；但在初始狀態(tài)，新的熱平衡尚未建立。因此可以定義第二類初始狀態(tài)：具有初始應(yīng)力、初始應(yīng)變、初始熵、初始溫度和初始熱流的初始狀態(tài)。同樣，這類似于傳熱學(xué)的第二類邊界條件，即在邊界上給定了熱流值。

以地球深部作為所要研究的連續(xù)體，如果選取某一時(shí)刻作為初始時(shí)刻，選取該時(shí)刻的狀態(tài)為初始狀態(tài)，則從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的預(yù)變形過程實(shí)際上是第二類過程，因?yàn)榈厍騼?nèi)部總是存在熱流和地溫梯度。

我們?cè)诖思s定，變量的上標(biāo)、、分別表示所處的自然狀態(tài)、初始狀態(tài)和最終狀態(tài)。向量χ、X、x分別代表質(zhì)點(diǎn)位置的自然坐標(biāo)表示、初始坐標(biāo)表示和最終坐標(biāo)表示;3個(gè)向量在各自構(gòu)形中的分量分別用希臘文下標(biāo)、大寫羅馬文下標(biāo)和小寫羅馬文下標(biāo)表示。在本文中，除非特別強(qiáng)調(diào)，對(duì)物理量和物理定律一致使用Lagrange描述。

1.1運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系和守恒定律

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論框架主要分為三部分：運(yùn)動(dòng)學(xué)、守恒定律和本構(gòu)關(guān)系。熱彈性理論、聲彈性理論和熱聲彈性理論都是在該理論框架下構(gòu)建的，并且在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分和守恒定律中的質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律以及角動(dòng)量守恒定律部分，熱聲彈性理論與聲彈性理論一致。我們將LS熱聲彈性理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)和守恒定律的相關(guān)方程寫出如下，其推導(dǎo)過程參見附錄A.2、A.3。

1.2基于理性擴(kuò)展熱力學(xué)的LS熱聲彈性本構(gòu)方程和演化方程

1.3本構(gòu)方程和演化方程的線性化

1.3.1從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)

對(duì)于從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的過程，我們假定存在一個(gè)基于耦合熱彈性理論的靜態(tài)變形過程，服從傅里葉定律，不涉及擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)。于是，以自然構(gòu)形為參考構(gòu)形，初始狀態(tài)下亥姆霍茲自由能的本構(gòu)方程可以表示為

聲彈性理論中只保留線性項(xiàng)，忽略初始應(yīng)力表達(dá)式中的三階彈性常數(shù)項(xiàng)，并將初始應(yīng)變視為小應(yīng)變。我們?cè)跓崧晱椥岳碚撝醒赜眠@些假設(shè)，用eγδ代替Eγδ。而以初始構(gòu)形作為參考構(gòu)形的本構(gòu)方程對(duì)我們而言更為重要，它可以寫成關(guān)于這兩個(gè)模量，還有待于日后在物理模擬方面開展更多研究。

式（23）表明考慮了壓熱效應(yīng)，即初始熱流導(dǎo)致的非均勻初始溫度分布（初始溫度梯度）與應(yīng)變相關(guān)。如果初始溫度分布是均勻的，則不存在熱流，式（24）中的兩個(gè)模量都為0，式（23）退化為傅里葉熱傳導(dǎo)定律。而關(guān)于地溫梯度/熱流密度與地層壓力之間的關(guān)系，還有待于今后開展深入研究。

1.3.2從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)

從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)，我們視為基于LS理論的熱彈性動(dòng)態(tài)變形過程。最終狀態(tài)處于熱力學(xué)非平衡態(tài)，因此使用非平衡溫度作為本構(gòu)變量。而且我們承認(rèn)快速瞬態(tài)熱力學(xué)過程存在的可能性，基于擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)原理，將增量熱流作為本構(gòu)變量。

以初始構(gòu)形作為參考構(gòu)形，參照式（15），得到增量亥姆霍茲自由能的本構(gòu)方程：

上標(biāo)表示“等效”。這一張量將在熵本構(gòu)方程的線性化過程中發(fā)揮重要作用。值得注意的是，MIJ是對(duì)稱正定張量分量，但并不一定是對(duì)角張量分量，只有當(dāng)彈性系數(shù)矩陣對(duì)稱性高于正交各向異性（包括正交各向異性）時(shí)，可以將其視為對(duì)角張量分量。

CIJKL的對(duì)稱性與等溫彈性張量分量相同，滿足CIJKL=CJIKL=CIJLK=CKLIJ。它在聲彈性理論中發(fā)揮重要的作用，被稱為（等溫）等效聲彈性剛度張量分量，在等溫情況下，等效聲彈性剛度張量將使應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系式變?yōu)榫€性本構(gòu)關(guān)系式。于是，式（27）在熱聲彈性理論中通常寫成以下形式，以與熱彈性力學(xué)相類比：

從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)，熱流由MCV方程控制，同時(shí)考慮了熱流與應(yīng)變和溫度的相關(guān)性；但是熱流作為本構(gòu)變量而非本構(gòu)響應(yīng)函數(shù)。增量熱流表示為

1.4熱聲彈性基本場方程

根據(jù)式（32）（34）（36），基于LS理論的熱聲彈性場方程組表示為：

對(duì)于地震波場正演模擬而言，一階速度應(yīng)力微分方程相比于二階熱聲彈性運(yùn)動(dòng)方程，計(jì)算效率更高。在正演模擬過程中我們得到的是Lagrange描述的物理量，但對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言，Euler描述的物理量更有價(jià)值，因此可能需要視情況在兩種物理量之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在熱聲彈性情況中，具有潛在應(yīng)用價(jià)值的演化方程包括熱流和溫度演化方程，應(yīng)當(dāng)列入耦合的一階微分方程組中。接下來介紹兩種形式的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程。

1.4.1等溫形式的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程

考慮二維情況，一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程可以寫為以下形式。

上述方程中，應(yīng)力分量的本構(gòu)方程是用AIJKL表示的，因此可以稱為等溫形式的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程組。然而由AIJKL決定的等溫波速并不出現(xiàn)在熱聲彈性耦合過程中，只有在設(shè)定非耦合情況（即熱膨脹系數(shù)或熱應(yīng)力張量為0）時(shí)，等溫波速才會(huì)出現(xiàn)。

1.4.2絕熱形式的一階速度應(yīng)力熱流溫度微分方程組

實(shí)際上，在熱彈性情況下，等溫壓縮（pressure， P）波速度的作用由絕熱P波速度所替代85]，而剪切（shear， S）波不受熱效應(yīng)影響。考慮各向同性情況，絕熱P波速度與等溫P波速度之間的關(guān)系為：

1.4.3剛性問題

LS熱彈性方程組具有剛性，即傳播矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)部且特征值之間大小相差懸殊。剛性方程組的數(shù)值解存在穩(wěn)定性問題，為了求解剛性方程組，可以采用時(shí)間分裂法將方程組的剛性部分分離出來進(jìn)行解析求解，作為非剛性方程組數(shù)值求解的初始值。

考慮式（50）的一維情況，將方程組寫成矩陣形式：

絕熱形式的方程組（式（50））相比于等溫形式的方程組（式（40）—（44）），物理意義更加明確，強(qiáng)調(diào)了熱流在熱聲彈性理論中的重要性。并且，剛性項(xiàng)集中于熱流的弛豫項(xiàng)，非剛性方程組保持了時(shí)間導(dǎo)數(shù)和空間導(dǎo)數(shù)的一階性，這對(duì)于編程實(shí)現(xiàn)和施加PML（perfectly matched layer）類邊界條件是很有利的。

1.5平面波分析

附錄A.6給出了基于LS熱聲彈性理論的平面波分析流程。考慮沿垂直方向傳播的平面波，可以求解出初始狀態(tài)下的兩種準(zhǔn)橫波（qS波）速度：

式中：M33為Maxwell黏彈模型核函數(shù)；ω為角頻率。式（58）有兩個(gè)解，一個(gè)為彈性（elastic， E）模式（正號(hào)），一個(gè)為熱（thermal， T）模式（負(fù)號(hào)）。

由式（57）（58）可知，qS波速度與初始應(yīng)變相關(guān)。在熱聲彈性情況下，等溫速度不僅由介質(zhì)彈性參數(shù)和密度決定，還由初始應(yīng)力（應(yīng)變）決定。因?yàn)榧俣ǔ跏紤?yīng)力是熱彈性應(yīng)力，包含機(jī)械加載產(chǎn)生的應(yīng)力和由溫差產(chǎn)生的熱變形所對(duì)應(yīng)的熱應(yīng)力，如果初始溫度環(huán)境有變化，qS波也會(huì)隨之變化。所以，熱聲彈性qS波受熱效應(yīng)影響。已知初始應(yīng)力對(duì)聲彈性qP波、qS波都有影響，則可以推斷在熱聲彈性情況下，與溫度相關(guān)的熱彈性初始應(yīng)力也會(huì)對(duì)熱聲彈性S波有影響。但式（58）只能證明熱聲彈性qS波與從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的溫度變化有關(guān)；對(duì)于波傳播研究而言，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的熱效應(yīng)是我們更加關(guān)注的。為了明確“熱效應(yīng)”的概念，我們將從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的靜態(tài)過程中的熱效應(yīng)稱為“靜態(tài)熱效應(yīng)”，而將從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的動(dòng)態(tài)過程中的熱效應(yīng)稱為“動(dòng)態(tài)熱效應(yīng)”。

基于垂直方向傳播的平面波的討論并不全面，因?yàn)槌跏紤?yīng)力可能會(huì)引發(fā)各向異性，至少要在一個(gè)平面中進(jìn)行進(jìn)一步討論。我們選擇XOZ平面，并令入射角為45°。重復(fù)上面的流程，可以得到其中一個(gè)qS波解：

在考慮三維情況時(shí)需要求解速度的12次多項(xiàng)式（速度平方的6次多項(xiàng)式），想要得到速度的顯式方程幾乎是不可能的，只能隱式求解。可以預(yù)期根據(jù)式（61）能夠得到4個(gè)具有物理意義的根，而其中兩個(gè)根與第一準(zhǔn)橫（qS1）波相關(guān)。

Chen等基于GL理論，預(yù)測了聲熱彈性模型中的4種波傳播模式：P波、快S波、次S波和T波，并指出，在預(yù)應(yīng)力熱彈性介質(zhì)中，T波與P波和快S波耦合，引起能量耗散，而次S波不受動(dòng)態(tài)熱效應(yīng)的影響。而在無預(yù)應(yīng)力的情況下，T波只與P波耦合，而不與快S波和第二S波耦合，這對(duì)應(yīng)于Deresiewicz、Rudgers、Carcione等等的觀察結(jié)果。式（61）表明，在二維情況下，qP波、準(zhǔn)熱（qT）波和第一準(zhǔn)橫（qS1）波耦合在一起，并且波速明顯與熱物性參數(shù)（如熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)、比熱容）相關(guān)，可以推測，qP波具有E模式和T模式，而qS1波同樣也有E模式和T模式。因此，為了避免混淆，我們用qPE、qPT、qS1E和qS1T分別表示這些波傳播模式。于是，在LS熱聲彈性情況下，共存在5種波傳播模式，即qPE、qPT、qS1E、qS1T和qS2。

根據(jù)Carcione，可以由復(fù)速度計(jì)算相速度和衰減因子：

2數(shù)值算例與分析

2.1模型參數(shù)與初始應(yīng)力條件設(shè)置

首先考慮基于經(jīng)典不可逆熱力學(xué)的、忽略壓熱效應(yīng)的LS熱聲彈性理論的情況。假設(shè)介質(zhì)在自然狀態(tài)下為各向同性介質(zhì)，自然狀態(tài)下的比熱容、熱導(dǎo)率、定壓熱膨脹系數(shù)等于初始狀態(tài)的對(duì)應(yīng)值。介質(zhì)物性參數(shù)如表1所示。

我們統(tǒng)一假定初始應(yīng)力為熱彈性應(yīng)力，并注意：

1）當(dāng)初始參考溫度等于自然參考溫度時(shí)，則從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)，熱彈性應(yīng)力視為單純的彈性應(yīng)力。

2）當(dāng)初始參考溫度不等于自然參考溫度時(shí)，從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的熱彈性應(yīng)力與這個(gè)過程中的溫差T-T相關(guān)。如果初始狀態(tài)是第一類初始狀態(tài)，即已經(jīng)達(dá)到熱平衡，則在初始狀態(tài)下沒有熱流和溫度梯度，物體中溫度處處相等且等于T；如果初始狀態(tài)是第二類初始狀態(tài)，新的熱平衡尚未建立，則具有初始熱流和初始溫度梯度。

2.2相速度和衰減系數(shù)隨頻率的變化

2.2.1沿垂直方向傳播的平面波

對(duì)于沿垂直方向傳播的平面波，首先考慮相速度隨頻率的變化。當(dāng)K= K=5 m·kg/（s3·K）、初始參考溫度為300 K、其余熱物性參數(shù)（單位體積定容熱容、定壓熱膨脹系數(shù)）取相同的正常值（c=110 m2/（s2·K）、α=3×10-6K-1）、靜水壓力分別為0、10和30 MPa時(shí)，相速度隨頻率變化的曲線如圖1a、b所示。由圖1a、b可知，靜水壓力0 MPa相當(dāng)于LS廣義熱彈性情況。在低頻情況下，qPE波相速度為絕熱速度vqPE，隨著頻率增加，相速度增加直至高頻極限vqPESymboleB@。這與Carcione等針對(duì)LS熱彈性情況得到的結(jié)果相似。而隨著靜水壓力的增大：qPE波、qPT波、qS1波、qS2波相速度都有所增加，其中qS1波、qS2波相速度曲線在圖中重合；qPE波、qPT波相速度拐點(diǎn)向高頻方向移動(dòng)。衰減系數(shù)隨頻率的變化如圖1c、d所示。根據(jù)式（57）（58）（63）（64），可知在平面波沿垂直方向傳播的情況下，qS1波和qS2波的速度為實(shí)速度，沒有虛部，因此沒有衰減；而qPE波、qPT波的速度為復(fù)速度，存在虛部并因此存在衰減。所以，在圖1c、d中沒有qS1波和qS2波衰減系數(shù)曲線，只有qPE波、qPT波衰減系數(shù)曲線。在低頻情況下，qPT波衰減系數(shù)處于高值，隨著頻率增加而逐漸減小；qPE波衰減系數(shù)隨著頻率增加，將出現(xiàn)一個(gè)衰減峰。隨著靜水壓力的增大，qPE波、qPT波的衰減系數(shù)曲線拐點(diǎn)向高頻方向移動(dòng)，qPE波衰減峰頻率增大，峰值減小。初始應(yīng)力不僅改變了密度、等效彈性系數(shù)，還改變了熱應(yīng)力張量和體積熱容，從而影響了衰減系數(shù)。

接下來考慮在水平方向加載單軸壓力的情況。當(dāng)水平方向單軸壓力分別為0、10和30 MPa時(shí)，相速度隨頻率變化的曲線如圖2a、b所示，衰減系數(shù)隨頻率的變化如圖2c、d所示。圖2曲線的總體特征與圖1相似，只有細(xì)微的差別。當(dāng)施加水平方向的單軸壓力之后，qS波分裂為波速不同的qS1E波和qS2波，其中vqS1Egt;vqS2。當(dāng)水平方向單軸壓力為0 MPa時(shí)，qS1E波、qS2波相速度曲線重合。隨著水平方向單軸壓力的增大，對(duì)于沿垂直方向傳播的平面波，qPE波、qS1E波、qS2波相速度減小，qPT波相速度增大，相速度拐點(diǎn)和衰減峰向低頻方向移動(dòng)但不明顯，峰值增大。水平單軸應(yīng)力使得各向同性介質(zhì)表現(xiàn)得像具有水平對(duì)稱軸的橫向各向同性介質(zhì)，產(chǎn)生了S波分裂現(xiàn)象。

當(dāng)Z方向單軸壓力分別為0、10和30 MPa時(shí)，相速度隨頻率變化的曲線如圖3a、b所示，衰減系數(shù)隨頻率的變化如圖3c、d所示。圖3與圖2相比，曲線總體特征不變，但差別比較明顯。由于單軸壓力加載方向與波傳播方向相同，S波分裂現(xiàn)象消失，qS1E波與qS2波相速度曲線重合，并且沒有衰減。隨著垂直方向單軸壓力的增大，qPE波、qPT波、qS1E波和qS2波相速度明顯減小。qPE波、qS1E波和qS2波相速度拐點(diǎn)和衰減峰向低頻方向移動(dòng)，峰值增大；qPT波相速度拐點(diǎn)向高頻移動(dòng)，衰減系數(shù)曲線向低頻方向移動(dòng)。

Chen等研究在單軸加載條件下，基于GL理論的聲熱彈性介質(zhì)中波的特性，發(fā)現(xiàn)施加應(yīng)力使得各向同性的熱彈性介質(zhì)變得不均勻，導(dǎo)致快S波具有由熱損耗引起的小弛豫峰；E波和快波在地震頻率和超聲頻率之間具有強(qiáng)烈的擴(kuò)散性，T波僅在低頻段具有強(qiáng)烈的擴(kuò)散性；施加應(yīng)力可以明顯提高P波、E波和第二S波在全頻段的傳播速度，對(duì)于具有小體積比熱容的熱彈性介質(zhì)而言，在測井頻率（約103Hz）以上，施加應(yīng)力將略微增加T波速度；增加應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致P波衰減因子減少，快S波衰減因子增加，T波衰減幾乎與應(yīng)力無關(guān)。但在預(yù)應(yīng)力熱彈性介質(zhì)中，增加應(yīng)力不能使3種波的衰減峰移動(dòng)。降低體積比熱容會(huì)增加P波和快S波的衰減系數(shù)，但幾乎不能改變T波的衰減系數(shù)。本文與Chen等的工作類似，但是基于LS理論，這導(dǎo)致基本方程組不同，所得到的平面波分析結(jié)果可能也有差異。

（已經(jīng)達(dá)到熱平衡）時(shí)的熱聲彈性平面波相速度（圖4a）和衰減系數(shù)（圖4b）隨頻率的變化。由圖4可知，初始溫度對(duì)qPE波和qPT波相速度的影響比較明顯，但對(duì)qS1E波、qS2波相速度沒有影響，因此，qS1E波、qS2波與圖1中顯示的規(guī)律相同，兩條相速度曲線重合。另外，值得注意的是，qPE波的弛豫峰頻率約為42.361 MHz，并不隨著初始溫度的增加而移動(dòng)，但是衰減峰向低頻方向移動(dòng)，峰值明顯減小。這是因?yàn)槌谠シ逦恢萌Q于熱導(dǎo)率和熱流弛豫時(shí)間，在靜水壓力相同的情況下，初始狀態(tài)的熱導(dǎo)率和熱流弛豫時(shí)間都相同；但衰減峰取決于衰減因子和相速度，二者都與參考溫度相關(guān)。在熱彈性理論中，弛豫峰與衰減峰可被視為近似相同，但在基于LS理論的熱聲彈性情況中存在差別。

最后，考察當(dāng)初始溫度為300 K、外界加載溫度分別為300、1 300和2 300 K時(shí)的熱聲彈性平面波相速度（圖5a）和衰減系數(shù)（圖5b）隨頻率的變化。在初始時(shí)刻，會(huì)分別產(chǎn)生溫度差0、1 000和2 000 K以及其對(duì)應(yīng)的熱應(yīng)力。由圖5可知，1 000 K的初始溫差對(duì)相速度和衰減系數(shù)的影響較小，不如初始溫度的影響那般明顯。qS1E波、qS2波與圖1中顯示的規(guī)律相同，兩條相速度曲線重合。隨著溫差的增大，qPE波、qPT波、qS1E波、qS2波相速度均減小。這種條件設(shè)置類似于熱沖擊實(shí)驗(yàn)，但在實(shí)際巖石的熱沖擊實(shí)驗(yàn)中，熱沖擊會(huì)對(duì)巖石造成損傷，除了熱聲彈性效應(yīng)之外，還需要考慮更復(fù)雜的機(jī)制（如熱破裂、相變等）。

與Carcione等、侯婉婷等和李元燮等針對(duì)基于LS廣義熱彈性理論的平面波分析結(jié)果相比，本文基于LS熱聲彈性理論的平面波分析體現(xiàn)了初始溫差和初始應(yīng)力對(duì)相速度和衰減系數(shù)的影響。這對(duì)于解釋高溫高壓巖石波速實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有一定的意義。

2.2.2在二維平面中傳播的平面波

對(duì)于各向異性情況，沿單一方向傳播的平面波分析并不能全面地反映波傳播特征；接下來，觀察二維相速度曲線以考察應(yīng)力誘導(dǎo)的各向異性特征。假定主應(yīng)變方向與材料各向異性主軸方向重合，令自然坐標(biāo)軸與初始坐標(biāo)軸重合（但自然坐標(biāo)與初始坐標(biāo)仍有差異）。

1）人工地震頻率條件

首先，指定主頻f0=25 Hz，K=5 m·kg/（s3·K），其余熱物性參數(shù)不變。圖6a顯示了預(yù)應(yīng)力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)平面波入射角為0，即波傳播方向與Z軸夾角為0（β=0°）時(shí)，XOY平面中的相速度隨方位角（φ）的變化；圖6b顯示了同樣條件下，平面波方位角為0，即波傳播方向與X軸夾角為0（φ=0°）時(shí)，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6a可知，入射角為0意味著平面波沿Z軸傳播，qS1E波與qS2重合。隨著靜水壓力的增大，qPE波和qS1E波相速度增大。qPT波、qS1T波呈現(xiàn)擴(kuò)散振型，顯示為圖中心處的小紅點(diǎn)，相速度非常小。由圖6b可知，平面波沿X軸傳播，qPE波相速度面呈現(xiàn)花瓣形狀，在與Z軸平行和相垂直的方向，相速度達(dá)到最大值，而在與Z軸成45°夾角的方向，相速度具有最小值。同時(shí)，qS波分裂為qS1E波和qS2波，其中：qS2波相速度面形態(tài)與圖6a相同，因?yàn)樵撃Ｊ讲皇軇?dòng)態(tài)熱效應(yīng)影響；qS1E波相速度面呈現(xiàn)花瓣?duì)睿⑶译S著靜水壓力的增大，qS1E波相速度增大，花瓣趨向于十字形，在與Z軸平行（β=0°）和垂直（β=90°）的方向，qS1E波相速度具有最小值，而在與Z軸成45°夾角的方向，相速度達(dá)到最大值。出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)轳詈狭藷釓椥孕?yīng)，并且我們假定熱物性參數(shù)的張量都是對(duì)角張量，只有在材料主軸上有值。熱膨脹效應(yīng)發(fā)生在材料的主方向上，Maxwell黏彈模型核與靜水壓力產(chǎn)生的初始應(yīng)變相關(guān)，這決定了E波相速度比較明顯的各向異性，因此在β=0°，90°方向上qPE波相速度達(dá)到最大值。qS波的分裂現(xiàn)象印證了Chen等的結(jié)論，即在初始應(yīng)力作用下，存在一種傳播速度較快的S波，和另一種不受熱效應(yīng)影響的S波。

圖6c顯示了預(yù)應(yīng)力為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)入射角為0時(shí)，XOY平面中的相速度隨方位角的變化；圖6d顯示了同樣條件下，當(dāng)方位角為0時(shí)，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6c可知：平面波沿Z軸傳播，qS1E波與qS2波重合。隨著Z方向單軸壓力的增大，qPE波和qS1E波在XOY平面中的相速度明顯減小，這對(duì)應(yīng)于一維情況下的觀察結(jié)果；qPT波、qS1T波呈現(xiàn)擴(kuò)散振型。由圖6d可以看出：隨著Z方向單軸壓力的增大，β=0°方向的qPT波相速度明顯減小，但β=90°方向qPT波相速度只是略微減小；qS1E波相速度曲線呈現(xiàn)花瓣形，相速度最大值所對(duì)應(yīng)的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小。

圖6e顯示了預(yù)應(yīng)力為X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)入射角為0時(shí)，XOY平面中的相速度隨方位角的變化；圖6f顯示了同樣條件下，當(dāng)方位角為0時(shí)，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6e可知：隨著X方向單軸壓力的增大，qPE波和qS1E波在XOY平面中的相速度只是略微減小，這對(duì)應(yīng)于一維情況下的觀察結(jié)果；qPT波、qS1T波呈現(xiàn)擴(kuò)散振型。由圖6f可以看出：隨著X方向單軸壓力的增大，β=90°方向的qPE波相速度明顯減小，但β=0°方向qPE波相速度只是略微減小；qS1E波相速度曲線呈現(xiàn)花瓣形，相速度最大值所對(duì)應(yīng)的與Z方向的夾角隨著X方向單軸壓力的增大而增大。

25 Hz頻率對(duì)應(yīng)于典型的地震勘探頻率條件，同時(shí)在本文LS熱聲彈性背景下屬于低頻條件。在這樣的條件下，通常只能觀察到擴(kuò)散型的qPT波、qS1T波。但初始應(yīng)力對(duì)于相速度平面形態(tài)的影響比較明顯。

2）井中超聲頻率條件

接下來指定超聲頻率f0=3.5 MHz，K=5×106 m·kg/（s3·K），其余熱物性參數(shù)不變。圖7a顯示了預(yù)應(yīng)力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)入射角為0時(shí)，XOY平面中相速度隨方位角的變化；圖7b為圖7a的局部放大圖。由圖7a和7b可知，在f0=3.5 MHz，K=5×106 m·kg/（s3·K）的情況下，qS1E波與qS2波重合，qPE波、qS1E波、qS2波相速度都隨靜水壓力的增大而有所增大，并且出現(xiàn)了明顯的qPT波，具有恒定的相速度而非擴(kuò)散振型，隨著靜水壓力的增大而增大。

圖7c顯示了預(yù)應(yīng)力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)方位角為0時(shí)，YOZ平面中相速度隨入射角的變化；圖7d是圖7c的局部放大圖。由圖7c和7d可知，qPT波相速度曲線趨于正方形，在β=0°，90°時(shí)相速度最大；除此之外，還出現(xiàn)了qS1T波，相速度曲線呈現(xiàn)花瓣形狀，在β=0°，90°時(shí)相速度最小，接近于0，而在β=45°時(shí)相速度達(dá)到最大值。隨著靜水壓力的增大，qS1T波相速度增大，但與其他波模式相比并不明顯。

圖7e和圖7f顯示了預(yù)應(yīng)力分別為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa）和X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)入射角為0時(shí)，XOY平面中相速度隨方位角的變化。圖7g和7h顯示了預(yù)應(yīng)力分別為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa）和X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當(dāng)方位角為0時(shí)，YOZ平面中相速度隨入射角的變化，并且是局部放大圖。由圖7g可知：隨著Z方向單軸壓力的增大，qPT波相速度在β=0°方向減小，而在β=90°，270°方向相速度最大；qS1T波相速度曲線呈現(xiàn)花瓣形狀，隨著單軸壓力的增大，相速度最大值所對(duì)應(yīng)的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小。圖7g、圖7h中的qS1T波相速度隨壓力的變化規(guī)律與圖6d、6f中的qS1E波相似，相速度最大值所對(duì)應(yīng)的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小、隨著X方向單軸壓力的增大而增大。

3.5 MHz是典型的超聲頻率。在超聲頻率下，如果熱導(dǎo)率和/或比熱容非常高，將有可能觀察到波動(dòng)振型的qPT波、qS1T波。這適用于超高速加熱、微尺度傳熱的熱彈性問題。絕大多數(shù)金屬礦物的熱導(dǎo)率量級(jí)對(duì)于熱彈性波場特征的影響都不明顯。在迄今為止的地球物理學(xué)應(yīng)用之中，滿足這樣條件的場景并不多見。

3結(jié)論與展望

本文將LS熱彈性理論與聲彈性理論相結(jié)合，建立LS熱聲彈性理論的基本框架。經(jīng)過平面波分析以及二維相速度平面分析，推測在LS熱聲彈性介質(zhì)中總共有5種波傳播模式：qPE、qPT、qS1E、qS1T、qS2。其中前4種模式與動(dòng)態(tài)熱效應(yīng)耦合，最后一種模式不受動(dòng)態(tài)熱效應(yīng)影響。

在LS熱聲彈性情況中，靜水壓力會(huì)引發(fā)各向異性，出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)轳詈狭藷釓椥孕?yīng)，并且假定熱物性參數(shù)的張量都是對(duì)角張量，只有在材料主軸方向上有值。因此，如果只考慮材料主軸方向而不考慮其他方向，靜水壓力并不會(huì)引發(fā)各向異性，但如果考慮任意方向則顯然并非如此。在超聲頻率、極高熱導(dǎo)率情況下觀察到了qS1T波，在靜水壓力條件下45°入射角方向上相速度達(dá)到最大值，而在材料主軸方向上近乎為0。而在恰當(dāng)?shù)膯屋S壓力作用下，qS1T波相速度最大值所在的軸向?qū)⑾虿牧系奶囟ㄖ鬏S方向傾斜。

擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)克服了經(jīng)典不可逆熱力學(xué)和MCV方程的缺陷，而且理性擴(kuò)展熱力學(xué)為推導(dǎo)本構(gòu)方程和演化方程提供了方法，LS熱彈性理論的熱力學(xué)基礎(chǔ)得以鞏固，同時(shí)，在強(qiáng)調(diào)溫度作用的熱彈性理論基礎(chǔ)之上，擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了熱流的作用。但是，由于擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)引入了熱流作為本構(gòu)自變量，使得方程變得更加復(fù)雜。另外，對(duì)于熱聲彈性理論而言，由于初始狀態(tài)可能存在熱流，有必要考慮壓熱效應(yīng)，這導(dǎo)致出現(xiàn)了一些物理意義不明確的系數(shù)張量，有待于進(jìn)一步研究。

LS理論是最簡單的廣義熱彈性理論，在提出之時(shí)便具有MCV方程所固有的缺陷。雖然在擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)框架下克服了這些缺陷，但理論變得更加復(fù)雜，和實(shí)際應(yīng)用之間存在較大的距離。相比之下，其他廣義熱彈性理論，如GL理論、GN理論、雙相位滯后理論、三相位滯后理論等，具有更堅(jiān)實(shí)的熱力學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)實(shí)際應(yīng)用前景也相當(dāng)廣闊。

本文在熱彈性理論和聲彈性理論適用的條件下，同時(shí)考慮了溫度和初始應(yīng)力對(duì)波傳播特性的影響。研究工作將為后續(xù)的基于熱聲彈性理論的數(shù)值模擬和波傳播分析工作奠定基礎(chǔ)。

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附錄A理論推導(dǎo)流程

A.1問題描述

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)的Lagrange描述和Euler描述、參考構(gòu)形和當(dāng)前構(gòu)形是基本概念。而在勘探地震學(xué)領(lǐng)域，通常在線性彈性假設(shè)下忽略初始應(yīng)力、考慮無窮小的彈性變形，采用Euler描述建立基本方程，來近似Lagrange描述下的對(duì)應(yīng)量，在這種情況下不需要區(qū)分兩種描述，并且無需強(qiáng)調(diào)構(gòu)形之間的區(qū)別。但如果考慮到有限變形，則需要對(duì)Euler描述和Lagrange描述進(jìn)行區(qū)分。在聲彈性理論中，根據(jù)彈性體變形狀態(tài)，可以定義3種狀態(tài)：自然狀態(tài)、初始狀態(tài)和最終狀態(tài)。自然狀態(tài)指無應(yīng)力、應(yīng)變的原始狀態(tài)；初始狀態(tài)指已變形或處于施加載荷作用下達(dá)到平衡的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于時(shí)間t=0時(shí)的狀態(tài)。從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的變形視為靜態(tài)變形，也被稱為預(yù)變形。在這個(gè)過程中，預(yù)變形不一定是無窮小的，也不一定是彈性的，盡管在實(shí)際情況中通常是有限非彈性變形，但在聲彈性理論中我們假設(shè)它是有限彈性變形，這樣根據(jù)已知的初始應(yīng)力就可以推算初始應(yīng)變，使變形成為一個(gè)已知量。由于預(yù)變形與我們所考慮的時(shí)間歷史無關(guān)，故稱為靜態(tài)變形。于是，在聲彈性理論中需要對(duì)Euler描述和Lagrange描述加以區(qū)分。最終狀態(tài)指在初始狀態(tài)時(shí)疊加一個(gè)無窮小的彈性位移、進(jìn)一步變形達(dá)到的狀態(tài)，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的變形過程視為與時(shí)間相關(guān)的動(dòng)態(tài)變形。3種狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)3種構(gòu)形：自然構(gòu)形B、初始構(gòu)形B和最終構(gòu)形B，每一種構(gòu)形都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)參考坐標(biāo)系，因此每一種狀態(tài)都可以用不同的參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來表示。

由于聲彈性理論研究關(guān)注室內(nèi)實(shí)驗(yàn)，需要測量物體從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的應(yīng)變和加載應(yīng)力，因此選取自然構(gòu)形中的坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系會(huì)比較有利。但對(duì)于波傳播研究而言，選取自然構(gòu)形作為參考構(gòu)形會(huì)使問題復(fù)雜化并且意義不大；而選取初始構(gòu)形作為參考構(gòu)形，將初始應(yīng)力和初始應(yīng)變視為已知量，就類似于經(jīng)典無窮小彈性情況下的波動(dòng)研究，研究過程可以簡化。

A.2運(yùn)動(dòng)學(xué)：應(yīng)變位移關(guān)系

熱聲彈性理論中的應(yīng)變位移關(guān)系與聲彈性理論①中的應(yīng)變位移關(guān)系一致。對(duì)于從自然狀態(tài)到初始狀態(tài)的預(yù)變形過程，以自然構(gòu)形作為參考構(gòu)形，可以將初始應(yīng)變分量Eαβ表示為

A.3守恒定律

A.3.1質(zhì)量守恒定律

A.3.2動(dòng)量守恒定律

1）初始應(yīng)力

2）增量應(yīng)力

A.3.3角動(dòng)量守恒定律

3種應(yīng)力量度具有如下對(duì)稱性，即角動(dòng)量守恒定律：

A.3.4熱力學(xué)第一定律：能量守恒定律

對(duì)于熱彈性固體，能量守恒定律表示為動(dòng)能變化率與內(nèi)能變化率之和，等于系統(tǒng)做功的變化率與提供給系統(tǒng)或從系統(tǒng)中輸出能量的變化率之和。我們可以用內(nèi)能平衡方程的局部形式表示熱力學(xué)第一定律。另外，由于聲彈性理論采用增量形式建立方程，在此我們也宜采用增量形式與之匹配。由于涉及熱效應(yīng)，因此有必要對(duì)先前定義的兩類過程進(jìn)行分別討論。

A.3.5熱力學(xué)第二定律：Clausius-Duhem不等式

A.4傅里葉定律與Maxwell-Cattaneo-Vernotte方程：經(jīng)典不可逆熱力學(xué)的局限性

A.5擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)

A.5.1擴(kuò)展不可逆熱力學(xué)基本原理

A.5.2理性擴(kuò)展熱力學(xué)流程

熱流的演化方程可以寫成如下一般形式：

A.6平面波分析流程