基于工程教育的大學數(shù)學教學案例研究

臧順全 王竹霞

摘??要：以工程教育為目標，首先分析教學與科研的關(guān)系，給出教研融合的定積分概念的教學案例。其次針對問題式教學法的優(yōu)勢，在方向?qū)?shù)與梯度教學中通過問題驅(qū)動方式加以實施。由于數(shù)學建模能培養(yǎng)學生的實踐應(yīng)用能力和科學創(chuàng)新能力，最后給出數(shù)學建模能力提升和基于項目驅(qū)動的數(shù)學建模教學案例。

關(guān)鍵詞：工程教育；大學數(shù)學；教學案例；數(shù)學建模；績效評價

2018年，教育部、工業(yè)與信息化部、中國工程院發(fā)布《關(guān)于加快建設(shè)發(fā)展新工科實施卓越工程師教育培養(yǎng)計劃2.0的意見》[1]，意見指出要加快建設(shè)發(fā)展新工科，探索形成中國特色、世界水平的工程教育體系，促進我國從工程教育大國走向工程教育強國。我們發(fā)現(xiàn)，大學數(shù)學在實際教學中仍然存在不少填鴨式的情況，以學生為中心、以成果為導向和以持續(xù)改進為目標的工程教育理念未能充分的貫徹，難以適應(yīng)新發(fā)展的需要。因此，在大學數(shù)學課程教學過程中深入踐行工程教育理念，開展基于工程教育的教學案例研究具有重要的現(xiàn)實意義。

1?基于教研融合的定積分概念教學案例

培養(yǎng)高素質(zhì)人才是大學的使命，對高校教師來說教學和科研應(yīng)該是相輔相成、互相促進的關(guān)系。大學數(shù)學課程作為重要的基礎(chǔ)課程，對培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力有十分重要的作用。在教學過程中，教師要善于發(fā)現(xiàn)課程教學內(nèi)容和科學研究內(nèi)容的相關(guān)性、交叉點，圍繞交叉點對教學內(nèi)容進行深入分析，找到它們之間的融合方式，設(shè)計教學內(nèi)容和科研方向相融合的教學案例[2]。數(shù)學與計算密不可分，科學計算是利用數(shù)學模型和先進的計算能力來分析和解決復雜問題的研究工具[3]，科學計算已成為人m們解決實際問題和科學研究的重要工具，新工科背景下更需要對學生進行科學計算思維的培養(yǎng)和計算方法的訓練，這有助于培養(yǎng)學生的科研思維和實踐創(chuàng)新能力。在《高等數(shù)學》和《線性代數(shù)》等數(shù)學基礎(chǔ)課程中，利用泰勒公式、函數(shù)的冪級數(shù)展開進行近似計算，利用矩形法、梯形法和拋物線法等計算定積分的近似值，二分法和牛頓切線法求非線性方程的近似根，利用高斯消元法解多元的線性方程組，這些內(nèi)容均體現(xiàn)了科學計算的思想。因此，我們從定積分的近似計算為切入點，與科學研究中的數(shù)值計算相融合，設(shè)計教研融合的教學案例。

案例1：在定積分的概念教學內(nèi)容中，積分的思想是分割、近似、求和與極限，它不僅是多元函數(shù)積分學的基礎(chǔ)，也是數(shù)值積分法的核心。我們發(fā)現(xiàn)，定積分的思想與教師研究方向微分方程反問題相關(guān)性強，適合設(shè)計教研融合教學案例。（1）該案例的教學目標是：①理解定積分的概念，會利用定積分的定義計算一些特殊形式的極限；②了解定積分近似計算的思想和信號重建的定積分方程模型求解的思想，會利用線性方程組理論解決一些簡單的實際問題。（2）該案例的教學思想是：①以信號重建引入問題，將數(shù)學理論與實際問題結(jié)合，提升學生學習的積極性；②以微課等形式發(fā)布預習內(nèi)容，為新授內(nèi)容作鋪墊，降低學習新知的難度，有利于學生對新知識體系的自主建構(gòu)。（3）具體的教學實施過程是：①內(nèi)容回顧：簡單定積分的計算。定積分的計算方法有直接積分法、換元法和分部積分法，由于某些定積分不能直接計算，即原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示。對于這些較為復雜的定積分，往往利用數(shù)值積分法和函數(shù)展開成冪級數(shù)計算定積分的近似值。②問題引入：反問題和實際問題。信號重建是由觀測信號復原出原始信號，理論表明信號重建問題可用定積分方程模型描述。根據(jù)微積分的知識，有些積分方程可通過求導后轉(zhuǎn)化為微分方程求解，但信號重建對應(yīng)的積分方程不適合該方法。我們提出如下問題，問題1：定積分怎樣定義？如果無法求得精確值，怎樣計算近似值？問題2：如何實現(xiàn)信號重建？③定積分的引入背景。引入定積分的經(jīng)典背景問題是幾何和物理方面的，如曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程問題。教學中，我們引導學生討論這些問題的解決方法。雖然給出不同背景的問題，但解決問題的思想均是分割、近似、求和和極限，且都得到相同的特殊和式極限。④定積分的定義及應(yīng)用。依據(jù)定積分的引入背景，歸納出基于分割、近似、求和和極限的定積分定義。為了達到學生深入理解定義的目的，需要對定義從以下幾方面進一步研究，分別是：定義為矩形法、定義中的兩個任意、定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)和定積分存在的條件。其次，給出特殊的定積分的定義，如函數(shù)在上定積分的定義，引導學生進行定積分定義的應(yīng)用。應(yīng)用主要是兩方面，分別是求簡單的定積分和求數(shù)列和式極限。⑤定積分的近似計算。定積分的定義往往是由矩形法給出，學生討論發(fā)現(xiàn)定義還有左矩形法、右矩形法、中矩形法、梯形法和拋物線法等，并引導學生給出計算定積分近似值的左矩形法、右矩形法和梯形法公式，通過實例驗證這些方法的有效性，同時向?qū)W生布置數(shù)值實驗問題。⑥信號重建定積分方程模型及應(yīng)用。我們將信號重建問題轉(zhuǎn)化為解線性方程組問題，由線性代數(shù)知識，線性方程組可通過高斯消元法求解，但信號重建中的線性方程組往往是不適定的，因此常借助奇異值分解理論加以求解。最后依據(jù)所發(fā)表論文，向?qū)W生展示信號重建的方法和過程。這樣的教學設(shè)計教師可以將科研問題和學術(shù)思想引入課堂中，使課堂不再枯燥乏味，也能激發(fā)學生的學習興趣。我們發(fā)現(xiàn)，教學是科研的動力，科研則能提升教學質(zhì)量。教學和科研如能發(fā)揮各自優(yōu)勢、協(xié)同育人，就能更好地培養(yǎng)一流人才、成就卓越教師[4]。

2?基于問題驅(qū)動的方向?qū)?shù)與梯度教學案例

傳統(tǒng)的教學模式往往以教師為主導，學生則是填充式、被動的接受知識，這種教學模式的弊端很多，比如難以培養(yǎng)學生的自主學習能力，學生缺乏對問題的獨立思考能力，以及知識綜合應(yīng)用能力和實踐創(chuàng)新能力。新工科背景下，踐行以學生為中心、教師作指導的教學模式是必然趨勢。以學生為中心教學模式是學生主導課堂，教師起點撥和啟發(fā)的作用，教師通過啟發(fā)學生的思維，引導學生找到解決問題的思路，激發(fā)起學生獲取知識的強烈欲望，從而最大限度的培養(yǎng)學生的自主學習能力、獨立思考能力和創(chuàng)新實踐能力。我們發(fā)現(xiàn)，問題式教學法和研究式教學法在大學數(shù)學課程教學中更有利于踐行以學生為中心的教學理念。問題式學習（PBL，Problem-Based?Learning）是以問題為導向的教學方法，它是基于現(xiàn)實世界、以問題為起點、以學生為中心，學生進行自主學習、小組協(xié)作和討論探究相結(jié)合的教學方式[5]。下面以高等數(shù)學中方向?qū)?shù)與梯度知識點，設(shè)計基于問題驅(qū)動的教學案例。

案例2：（1）案例背景。偏導數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標軸方向的變化率，但在實際問題中，往往需要考慮函數(shù)沿任一給定方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大或最小。（2）給出實際問題，提出知識目標。在天氣預報實際問題中，要預報某地的風向和風力，需要分析氣象衛(wèi)星云圖中氣壓的變化，必須知道氣壓在該地沿某一方向的變化率[6]。具體的問題是：①如何描述二元函數(shù)沿不同方向的變化率，即方向?qū)?shù)問題；②函數(shù)沿什么方向變化率最大，即梯度問題。（3）回顧偏導數(shù)知識，引入方向?qū)?shù)。偏導數(shù)實質(zhì)是一元函數(shù)的極限，通常認為一元函數(shù)極限較多元函數(shù)極限簡單。多元函數(shù)沿任一方向的變化率稱為方向?qū)?shù)，為了給出二元函數(shù)沿給定方向的方向?qū)?shù)的定義，將引導學生從一、二元函數(shù)極限的兩個角度考慮問題。通過同學們的交流討論發(fā)現(xiàn)，直接想利用一元函數(shù)極限定義方向?qū)?shù)較為抽象，利用二元函數(shù)極限定義方向?qū)?shù)更容易理解。在教學中，先給出方向?qū)?shù)二元函數(shù)極限的定義，這是很多教材中沒有的。接著借助直線的點向式方程和參數(shù)式方程，將方向?qū)?shù)二元函數(shù)極限的定義轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限的定義，該定義是絕大多數(shù)教材直接給出的。我們的處理方式學生更容易理解方向?qū)?shù)的定義，也明白教材中定義的由來。為了對定義有更深入的理解，進而討論方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關(guān)系。（4）分析存在條件，給出計算方法。一般地，利用方向?qū)?shù)的定義判定存在性和計算很復雜，我們試圖將其轉(zhuǎn)化為與偏導數(shù)和全微分的關(guān)系。①我們基于向量分解的思想將各個偏導數(shù)投影到給定方向上，便可得到方向?qū)?shù)的計算公式。②在證明方向?qū)?shù)存在條件和計算公式時，先引導學生明確問題的起點與終點，經(jīng)學生討論分析得到證明的路徑為全微分。③通過課堂教授例題與學生課堂練習相結(jié)合，對方向?qū)?shù)的計算方法能熟練的掌握。（5）引出梯度概念，研究方向?qū)?shù)的

最大值。由于方向?qū)?shù)計算公式為則可表示為稱向量為函數(shù)在某點處的梯度，于是有其中為梯度與向量的夾角，這便給出了梯度的概念，及方

向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系。由上述關(guān)系，不難給出方向?qū)?shù)最大值（即函數(shù)變化率最大）的結(jié)論，分別是：①函數(shù)沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，即函數(shù)增加最快；②函數(shù)沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，即函數(shù)減少最快。該結(jié)論是梯度在現(xiàn)代科技中廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)，教學中將通過探熱離子移動軌跡和屋中蚊子飛行軌跡等問題展示方向?qū)?shù)與梯度的實際應(yīng)用。（6）分析幾何性質(zhì)，研究梯度方向。借助多元復合函數(shù)的求導法則和多元微分學的幾何性質(zhì)，得到梯度與等值線（面）的切線（平面）是垂直關(guān)系，并且指向等值線（面）數(shù)值較大的方向。該性質(zhì)能使學生更直觀的理解梯度，同時對氣象衛(wèi)星云圖中氣壓的變化影響風向和風力有一定的了解。（7）總結(jié)與展望。對方向?qū)?shù)與梯度的內(nèi)容加以小結(jié)，引導學生歸納出應(yīng)掌握的內(nèi)容和關(guān)系。最后分析本節(jié)知識在地理、醫(yī)學和軍事等方面的應(yīng)用，引導學生進一步學習的方向。

3?基于項目驅(qū)動的數(shù)學建模教學案例

數(shù)學是科學之母，科學技術(shù)中的很多問題通過數(shù)學建模方法建立數(shù)學模型解決。在利用數(shù)學建模解決問題時，首先利用數(shù)學方法和專業(yè)知識從具體問題抽象出數(shù)學模型；其次利用數(shù)學理論、計算方法和計算機工具得到問題的解；最后利用得到的解來解決實際問題。在新工科背景下，數(shù)學建模競賽是培養(yǎng)學生的工程實踐能力與創(chuàng)新能力的重要載體。數(shù)學建模所涉及的知識十分廣泛，能力的提升也不是一蹴而就，而是入門—提升—精通的過程。為了實現(xiàn)這樣的目標，我們在大學數(shù)學基礎(chǔ)課程中強化數(shù)學實驗和數(shù)學建模思想，做好數(shù)學建模的入門關(guān)。在每年的全國大學生數(shù)學建模競賽備戰(zhàn)中，通過常規(guī)培訓和賽前集中培訓，提升學生的數(shù)學建模能力。在數(shù)學建模競賽中，發(fā)現(xiàn)部分學生對數(shù)學建模具有濃厚的興趣，希望進一步提升自身的數(shù)學建模能力，指導教師將接納這部分學生參與相關(guān)的科研項目，使學生真正做到利用數(shù)學知識解決世界問題。下面給出數(shù)學建模能力提升和基于項目驅(qū)動的教學案例。

案例3：數(shù)學實驗到數(shù)學建模的進階之路。（1）數(shù)學實驗與數(shù)學建模簡介。數(shù)學應(yīng)用的實質(zhì)是數(shù)學和所研究問題相結(jié)合的結(jié)果，數(shù)學模型是連接數(shù)學理論和實際問題的橋梁，數(shù)學建模則是應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的重要手段和途徑。數(shù)學實驗是MATLAB、LINGO等工具對大學數(shù)學課程中問題的實現(xiàn)和可視化，這是數(shù)學建模的起點。（2）基于函數(shù)優(yōu)化的數(shù)學實驗。先給出求二元函數(shù)無條件極值的方法，該方法的核心是求偏導數(shù)、求駐點和判定，一、二階偏導數(shù)利用MATLAB中diff函數(shù)實現(xiàn)，求駐點實質(zhì)是解方程組，可以有solve函數(shù)實現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上借助循環(huán)和判定便可求得二元函數(shù)無條件極值。實際中的很多優(yōu)化問題要求極（最）小值，由于沿負梯度方向函數(shù)減少最快，在給定初值情況下逐步按負梯度方向加以搜索，便可得到問題要求的極（最）小值。基于本思想，我們給出梯度下降法，該方法是最優(yōu)化中最經(jīng)典的優(yōu)化方法之一。最后給出函數(shù)優(yōu)化的梯度下降法實例分析。同時我們發(fā)現(xiàn)，基于導數(shù)（梯度）的函數(shù)優(yōu)化方法具有變量多、導數(shù)（梯度）計算困難和約束條件多等缺點，為應(yīng)對這些困難可通過現(xiàn)代智能優(yōu)化算法實現(xiàn)。（3）基于方程求根的數(shù)學實驗。二分法思想簡單，但隔離區(qū)間難確定，且只能求隔離區(qū)間的一個解。牛頓切線法是用切線代替曲線求方程的近似根，具有思想簡單、容易實現(xiàn)的優(yōu)點，但初始值難確定。熱傳導、自動控制、光學和量子力學等領(lǐng)域經(jīng)常遇到超越方程的求解問題，但二分法和牛頓切線法難以求解超越方程，同樣這些問題可通過現(xiàn)代智能優(yōu)化算法實現(xiàn)。（4）基于線性方程組求解的數(shù)值實驗。首先基于MATLAB工具實現(xiàn)高斯消元法，高斯消元法適合求解矩陣的條件數(shù)較小的方程組，但對條件數(shù)很大的方程組會得到錯誤的結(jié)果。由于不適定方程組的條件數(shù)會很大，若對方程組常數(shù)項有微小擾動，它的解會變化很大，因此給出針對不適定線性方程組的正則化方法，最后引導學生對正則化方法進行實例驗證。同時引導學生進行信號恢復模型建立，最終轉(zhuǎn)化為不適定方程組的求解問題。（5）介紹數(shù)學建模的組隊方式、所需知識、所需方法、所需能力和論文撰寫技巧。

案例4：該案例基于教學改革研究項目：“雙一流”背景下高校優(yōu)勢學科建設(shè)績效評價與提升路徑研究。該項目的研究內(nèi)容之一是：以優(yōu)勢學科為例，分析學科建設(shè)的投入和成果，構(gòu)建符合學科實際的學科評價指標體系和投入―產(chǎn)出績效評價模型，通過對模型的求解，得到優(yōu)勢學科建設(shè)績效評價結(jié)果。通過前期的調(diào)研和參考相關(guān)文獻，我們認為在教師的指導下由數(shù)學建模團隊進行相關(guān)研究是可行的。在項目研究過程中，建模團隊建立了基于AHP的學科評估模型，正在對基于學科建設(shè)的投入—產(chǎn)出模型加以修正和完善。

參考文獻：

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基金項目：西安郵電大學教學改革研究項目（JGA201912）;?西安郵電大學研究生教育教學改革項目（YJGJ2022035）

作者簡介：臧順全（1978—?），男，漢族，甘肅武山人，碩士，講師，研究方向：大學數(shù)學的教學和研究工作。